復數的案例
〔abaqus〕頻率分析與復數頻率分析
則必須要使用復數頻率分析。 complex eigenvalue extraction 在進行復數頻率分析之前，必須要先進行模態分析。
電子電路基礎知識總結（精華版）
復數的基本知識
復數可用于表示有向線段，復數A的模是r ，輻角是Ψ。
復數的表示方式：1.代數式；2.三角式；3.指數式；4.極坐標式。
復數的加減法運算用代數式進行，復數的乘除法運算用指數式或極坐標式進行。
復數的虛數單位j的意義：任一向量乘以+j后，向前(逆時針方向)旋轉了，乘以-j后，向后(順時針方向)旋轉了。
正弦量的相量表示法
相量的意義用復數的模表示正弦量的大小，用復數的輻角來表示正弦量初相位。相量就是用于表示正弦量的復數。為與一般的復數相區別，相量的符號上加一個小圓點。
最大值相量用復數的模表示正弦量的最大值。
有效值相量用復數的模表示正弦量的有效值。
注意問題正弦量有三個要素，而復數只有兩個要素，所以相量中只表示出了正弦量的大小和初相位，沒有表示出交流電的周期或頻率。相量不等于正弦量。
用相量表示正弦量的意義
用相量表示正弦后，正弦量的加減，乘除，積分和微分運算都可以變換為復數的代數運算。相量的加減法也可以用作圖法實現，方法同復數運算的平行四邊形法和三角形法。
交流電路的功率
瞬時功率：p=ui=UmIm·sin(ωt+φ)·sinωt=UIcosφ-UIcos(2ωt+φ)
平均功率：P=UIcosφ平均功率又稱為有功功率，其中 cosφ稱為功率因數。電路中的有功功率也就是電阻上所消耗的功率。
展開 諧波信號為什么要表示成復指數的形式？
簡諧波可以使用余弦、正弦函數或復數表示，不過使用復數形式(根據歐拉公式推導)表達、運算、求解更簡潔。一個諧信號最重要的是振幅A和頻率w，然后是初相位θ。根據歐拉公式A*cos(wt+θ)+i*A*sin(wt+θ)，復指數中同時含有余弦和正弦信號，但正弦和余弦同樣都只含有振幅A、頻率w、初相位θ這三種信息，所以可以看做是兩個相同的信號（重復項）。實際上sin和cos之間只差了π/2的相位，所以不妨將其改為A*cos(wt+θ)+i*A*cos(wt+θ-π /2)，就得到兩個一樣的信號。所以我們既可以采用實部也可以采用虛部來表達我們的真實信號，但是運算的時候，用復指數表達式會更方便，用復指數計算時它會將兩個信號（一般需要將信號加減或求導，根據歐拉公式，復指數實際表示一個以cos為實部以sin為虛部的復數，根據復數的加減法和求導法則得出，復指數的加減和求導都是實部和虛部的同時操作）同時處理的。
例如，對于一個（單自由度單位質量）亞粘滯阻尼系統，其自由振動的方程是一個二階齊次線性常微分方程：
其通解可以用一個復指數諧波表示。將該復指數通解代入方程后，可以發現基于復指數的加減和微分運算會很方便，最終該問題變成一個特征值問題（本征值），求解會更方便，具體看曹樹謙P6。但是在具體寫出并討論解的時候，我們可以取該復指數形式的實部或者虛部，例如曹樹謙P6采用的虛部：
而曾攀P307采用的實部：
而Chopra P38采用實部虛部和的形式：
實際上，取實部和虛部都可以，例如王新敏P48這樣說:
但有一點必須指出，取不同的表達式，其對應的系數是不同的。它們的系數由初始條件決定。
-----可以看出，復指數表示法的方便性在于同頻信號加減和求導。
展開 汽車進氣管用TPEE改性材料的流變性能和熔體強度研究
小幅震蕩速率范圍為100~0.1rad/s，實時記錄樣品復數黏度η’彈性模量G’黏性模量G’’。
熔體拉伸強度測試：熔體強度測試在旋轉流變儀上進行，拉伸應變速率為0.01S-1，0.05S-1，0.1S-1。
國高材分析測試中心旋轉流變儀
02
動態流變性能
聚合物復數粘度對分子結構很敏感，包括分子量，分子量分布，支化結構等。圖1為樣品的復數黏度與角頻率的關系變化圖，可以看出，所制備的一系列樣品均呈現出典型的非牛頓流體特征，隨著角頻率增加，復數粘度降低，樣品呈現剪切變稀現象。隨著角頻率的增大，樣品粘度呈下降趨勢，說明分子結構中存在鏈纏結，在測試過程中，分子鏈解纏結，復數黏度下降。此外，隨著擴鏈劑增加，樣品復數粘度剪切變稀程度增加，這一現象說明樣品具有較長的熔體松弛時間，TPEE分子內形成支化結構，在對樣品施加應變時，由于支化結構的存在，主鏈變形收縮受到限制，從而使得松弛時間范圍變寬，松弛時間延長。
圖1 復數粘度隨角頻率變化
儲能模量是表征彈性體彈性的一個重要參數，對分子鏈結構中支化程度非常敏感。圖2是系列樣品的儲能模量隨角頻率變化圖。在高頻下，各樣品的儲量模量趨同，而在低頻下，儲量模量逐漸拉開差距。對于為改性的TPEE，儲能模量在末端處斜率約為2，為典型的線性結構。在添加擴鏈劑之后，隨著SAG擴鏈劑添加量提高，儲能模量也逐漸提高，低頻段儲能模量斜率逐漸下降，這表明分子結構中形成更加緊密的網狀結構。
圖2 儲能模量隨角頻率變化
損耗角正切是儲能模量和損耗模量的比值，可以表征材料彈性組分在粘彈性中所占的比重。
展開 
為什么要進行傅立葉變換？
每種傅立葉變換都分成實數和復數兩種方法，對于實數方法是最好理解的，但是復數方法就相對復雜許多了，需要懂得有關復數的理論知識，不過，如果理解了實數離散傅立葉變換(real DFT)，再去理解復數傅立葉就更容易了，所以我們先把復數的傅立葉放到一邊去，先來理解實數傅立葉變換，在后面我們會先講講關于復數的基本理論，然后在理解了實數傅立葉變換的基礎上再來理解復數傅立葉變換。
還有，這里我們所要說的變換(transform)雖然是數學意義上的變換，但跟函數變換是不同的，函數變換是符合一一映射準則的，對于離散數字信號處理（DSP），有許多的變換：傅立葉變換、拉普拉斯變換、Z變換、希爾伯特變換、離散余弦變換等，這些都擴展了函數變換的定義，允許輸入和輸出有多種的值，簡單地說變換就是把一堆的數據變成另一堆的數據的方法。
四、傅立葉變換的物理意義
傅立葉變換是數字信號處理領域一種很重要的算法。要知道傅立葉變換算法的意義，首先要了解傅立葉原理的意義。傅立葉原理表明：任何連續測量的時序或信號，都可以表示為不同頻率的正弦波信號的無限疊加。而根據該原理創立的傅立葉變換算法利用直接測量到的原始信號，以累加方式來計算該信號中不同正弦波信號的頻率、振幅和相位。
和傅立葉變換算法對應的是反傅立葉變換算法。該反變換從本質上說也是一種累加處理，這樣就可以將單獨改變的正弦波信號轉換成一個信號。因此，可以說，傅立葉變換將原來難以處理的時域信號轉換成了易于分析的頻域信號（信號的頻譜），可以利用一些工具對這些頻域信號進行處理、加工。最后還可以利用傅立葉反變換將這些頻域信號轉換成時域信號。
從現代數學的眼光來看，傅里葉變換是一種特殊的積分變換。它能將滿足一定條件的某個函數表示成正弦基函數的線性組合或者積分。
展開 實模態與復模態的區別與聯系
02 比例阻尼
該方程的特征值為復數，留數為純虛數，振型為實數。
03 非比例阻尼
該方程的特征值為復數，留數為復數，振型為復數。
二 實模態與復模態的區別與聯系
01 實際結構都是復模態，實模態只是一種近似。
02 實模態和復模態都有模態頻率。
03 實模態振型上各點相位相同或相差180度，復模態振型無此規律。
04 實模態振型的節點是不變的，復模態振型的節點是變化的。
MATLAB基礎入門
>> sd=5+6i
sd =
5.0000 +6.0000i
>> r=real(sd) % 給出復數sd的實部
r =
5
>> im=imag(sd) % 給出復數sd的虛部
im =
6
>> a=abs(sd) % 給出復數sd的模
a =
7.8102
>> an=angle(sd) % 以弧度為單位給出復數sd的相位角
an =
0.8761
本例中，每行命令后面的%表示注釋的意思。MATLAB在執行命令的時候，會將本行%之后的語句忽略。本文采用這種注釋的方式，目的是讓讀者更加清楚地明白函數語句的意義，同時節省篇幅。
【例5】 復數矩陣的生成及運算示例。
>> A=[2,4;1,6]-[3,7;3,9]*i
A =
2.0000 -3.0000i 4.0000 - 7.0000i
1.0000 -3.0000i 6.0000 - 9.0000i
>> B=[2+5i,3+2i;6-9i,3-5i]
B =
2.0000 +5.0000i 3.0000 + 2.0000i
6.0000 -9.0000i 3.0000 - 5.0000i
>> C=B-A
C =
0 + 8.0000i -1.0000 + 9.0000i
5.0000 -6.0000i -3.0000 + 4.0000i
從本例可以看出，復數矩陣的輸入可以有多種形式，讀者可通過后面章節介紹的矩陣構成方法，根據需要生成相應的矩陣。
展開 隔振墊動剛度參數獲取及仿真
2.數據處理
對加速度信號進行傅里葉變換，得頻域復數加速度A1(ω)和A2(ω)，傅里葉變換將時域信號a(t)轉換為頻域信號A(ω)的公式為：
A(ω)是復數，表示為A(ω)=Re(A(ω))+j?Im(A(ω))。
其中：
實部表示加速度信號中與參考信號（如激勵信號）同相的分量；
虛部表示加速度信號中與參考信號正交（相位差90°）的分量；
幅值表示加速度信號在頻率ωω下的振幅大小，計算公式為：
相位?(ω)表示加速度信號相對于參考信號的相位延遲，計算公式為：
以上處理得到復數的加速度信號后根據下面公式H(ω)=A1(ω)/A2(ω)計算傳遞函數，并驗證相干函數（需>0.9）。
3.計算動剛度及阻尼
根據下面公式計算動剛度：
其中mm為負載質量，ω=2πf。
得到的動剛度也是以復數形式，其中
Kd′=Re(Kd?)（儲能剛度）
Kd′′=Im(Kd?)（損耗剛度）
損耗因子tan?δ=Kd′′/Kd′。
4.結果驗證
a.在低頻段（如5Hz），動剛度應接近靜態剛度（可通過獨立靜態測試驗證;
b.檢查傳遞函數的共振頻率是否合理，排除夾具共振干擾。
示例
假設對測點1的加速度信號a1(t)進行FFT后，得到某一頻率ω下的復數加速度：
幅值為：
相位為：
這表示在頻率ω下，測點1的加速度信號幅值為0.583（單位與原始信號一致），相位滯后30.96°。
展開 系統的復域分析：從增益角度理解傳遞函數
拉氏變換的特點是，可以將常微分方程中的微積分環節變為復數域的代數環節（分式的加減乘除），所以在復數域來理解、研究微分方程就簡單得多。更重要的是，時間域的卷積經過拉氏變換就變成了復域的乘積，這使得我們可以定義單純反映系統性質的傳遞函數，相當于將系統單獨拎出來評價、優化。這在設計系統的過程中無疑會大大降低難度、加快設計進程。
以一個彈簧振子系統代表的二階LTI系統為例。其方程可以寫為：
這是一個二階常系數非齊次線性微分方程。可以通過卷積積分（也叫作杜哈梅積分）來得到方程在零初始狀態下的解。然而當F的表達式比較復雜的時候，卷積積分可能會很困難甚至無法得到真正的解析結果。如果對方程兩邊進行拉氏變換，可以得到：
該式體現了拉氏變換到復域的好處：1、微分環節變成復變量與函數的拉氏變換之間的乘積——一種代數運算；2、可以進行多項式合并。系統的傳遞函數定義為：
將上上式表示的F(s)代入，并考慮多項式合并，即可得到系統的傳遞函數為：
依據傳遞函數，就可以在復數域單獨評價、研究系統了。
另外，由于單位脈沖函數δ(t)的拉氏變換為常數1（收斂域為整個復平面），可以得出：系統的傳遞函數等于系統對單位脈沖激勵的響應（單位脈沖響應）的拉氏變換。將L(δ(t))=1替換G(s)=U(s)/F(s)中的F(s)即可得。
二、從增益角度理解傳函
但是本文想從拉普拉斯變換的定義出發，以增益的角度來理解傳遞函數的內涵。
展開 拉普拉斯變換總結
所以，衰減因子β和頻率w是我們假設的兩個變量，考慮到w前面復數i的存在，它們在指數乘法中也變成了β+iw的形式，這就剛好是一個復變量s，所以在拉氏變換中就用復變量s來代替β+iw了，這也是通常說的拉氏變換是將函數變換到復域來進行分析。
二、拉氏變換的收斂域
關于拉氏變換的收斂及收斂域，一般書上介紹比較數學化，這里擬以通俗的方式來進行理解。對拉氏變換收斂域的理解，有利于理解信號與系統、自動控制等領域的系統穩定性、傳遞函數極點等內容。
根據前述拉氏變換的定義，可以將拉氏變換的收斂理解為：對于給定的一個復數域的值s，原函數經過其實部Re(s)代表的指數衰減后，才滿足或者仍滿足古典傅里葉變換的條件，即滿足狄利克雷條件和絕對積分。可以看出，拉氏變換的收斂與否只和復數域的實部Re(s)有關。顯然對于一個給定原函數f(t)，并不是隨便給定一個Re(s)=β就會使其衰減到滿足古典傅里葉變換條件的，所以我們可以這樣通俗定義：在復平面上所有其實部能夠讓函數f(t)衰減后能進行古典傅氏變換的復數組成的集合就是f(t)的拉氏變換收斂域。
拉氏變換收斂域一般為(Re(s)=β0,+∞）的形式，表示取實部大于β0的所有復數。這里進一步理解該形式。基于拉氏變換中指數的負號，可發現實部β取值越靠近實軸的正方向，原函數衰減得越厲害，衰減后也一定滿足古典傅里葉變換條件，所以拉氏變換收斂域的右端是可以取無限開口"+∞）"的。
然而β順著實軸往左取則不一定滿足古典傅氏變換條件。如果β仍處在右邊平面，則β順著實軸往左取表示對原函數的衰減程度越來越小，可能使得原函數衰減后仍不滿足古典條件；如果β運動取值超過虛軸處于左平面了，則反而表示對原函數的“抬升”，更不可能使其變成滿足古典條件了。
展開 為什么要進行傅立葉變換？傅立葉變換有何意義？
每種傅立葉變換都分成實數和復數兩種方法，對于實數方法是最好理解的，但是復數方法就相對復雜許多了，需要懂得有關復數的理論知識，不過，如果理解了實數離散傅立葉變換(real DFT)，再去理解復數傅立葉就更容易了，所以我們先把復數的傅立葉放到一邊去，先來理解實數傅立葉變換，在后面我們會先講講關于復數的基本理論，然后在理解了實數傅立葉變換的基礎上再來理解復數傅立葉變換。
還有，這里我們所要說的變換(transform)雖然是數學意義上的變換，但跟函數變換是不同的，函數變換是符合一一映射準則的，對于離散數字信號處理（DSP），有許多的變換：傅立葉變換、拉普拉斯變換、Z變換、希爾伯特變換、離散余弦變換等，這些都擴展了函數變換的定義，允許輸入和輸出有多種的值，簡單地說變換就是把一堆的數據變成另一堆的數據的方法。
四、傅立葉變換的物理意義
傅立葉變換是數字信號處理領域一種很重要的算法。要知道傅立葉變換算法的意義，首先要了解傅立葉原理的意義。傅立葉原理表明：任何連續測量的時序或信號，都可以表示為不同頻率的正弦波信號的無限疊加。而根據該原理創立的傅立葉變換算法利用直接測量到的原始信號，以累加方式來計算該信號中不同正弦波信號的頻率、振幅和相位。
和傅立葉變換算法對應的是反傅立葉變換算法。該反變換從本質上說也是一種累加處理，這樣就可以將單獨改變的正弦波信號轉換成一個信號。因此，可以說，傅立葉變換將原來難以處理的時域信號轉換成了易于分析的頻域信號（信號的頻譜），可以利用一些工具對這些頻域信號進行處理、加工。最后還可以利用傅立葉反變換將這些頻域信號轉換成時域信號。
從現代數學的眼光來看，傅里葉變換是一種特殊的積分變換。它能將滿足一定條件的某個函數表示成正弦基函數的線性組合或者積分。在不同的研究領域，傅里葉變換具有多種不同的變體形式，如連續傅里葉變換和離散傅里葉變換。
展開 
歡迎大家進行測試：數學表達式編譯計算動態庫FORCAL 
<BR> 復數表達式中可以使用的基本函數如下： <BR> 平方根sq，指數函數exp，自然對數ln，正弦sin，余弦cos，取整函數int，絕對值abs，共軛函數con。 <BR> 復數舉例：2+3i。 <BR> 復數表達式舉例：F(x,y,... ...)=2+3i-sin[x-i]*ln[y]- ... ... 。 <BR> 在復數表達式中不能使用 i 作為自變量，因為 i 已經用來表示虛數。 <BR> 另外，FORCAL編譯器在編譯表達式時能進行兩種形式的代碼優化，其一是預先計算表達式中可以計算的部分，其二是采用格式4表示的數學表達式的可優化形式。 <BR> FORCAL將最大限度地進行第一種代碼優化，但這種自動進行的優化并不徹底，若要獲得最優化的代碼，您需要將表達式中可以計算的部分用括號括起來（一般情況下不需要這樣做）。 <BR> 例如：要想進行徹底的第一種代碼優化，需要將式子： <BR> F(x,y)=x-5-7+y <BR> 寫成：F(x,y)=x-[5+7]+y或F(x,y)=x+[-5-7]+y <BR> 需要注意的是，在進行第一種代碼優化時，只有一級函數可以進行預先計算，二級函數的計算始終只能在編譯后的表達式中進行。 <BR> FORCAL的第二種代碼優化可以保證表達式中的任何相同部分只進行一次計算，從而最大限度地提高了計算速度。 <BR>二、FORCAL的速度： <BR> 由于編譯表達式所占的時間很少，所以這里只比較FORCAL與FORTRAN(或C/C++)的計算速度。
展開 我們為什么要進行傅里葉變換，它的意義是什么？
每種傅立葉變換都分成實數和復數兩種方法，對于實數方法是最好理解的，但是復數方法就相對復雜許多了，需要懂得有關復數的理論知識，不過，如果理解了實數離散傅立葉變換 (real DFT)，再去理解復數傅立葉就更容易了，所以我們先把復數的傅立葉放到一邊去，先來理解實數傅立葉變換，在后面我們會先講講關于復數的基本理論，然后在理解了實數傅立葉變換的基礎上再來理解復數傅立葉變換。
還有，這里我們所要說的變換 (transform) 雖然是數學意義上的變換，但跟函數變換是不同的，函數變換是符合一一映射準則的，對于離散數字信號處理 (DSP)，有許多的變換：傅立葉變換、拉普拉斯變換、Z變換、希爾伯特變換、離散余弦變換等，這些都擴展了函數變換的定義，允許輸入和輸出有多種的值，簡單地說變換就是把一堆的數據變成另一堆的數據的方法。
傅立葉變換的物理意義
傅立葉變換是數字信號處理領域一種很重要的算法。要知道傅立葉變換算法的意義，首先要了解傅立葉原理的意義。傅立葉原理表明：任何連續測量的時序或信號，都可以表示為不同頻率的正弦波信號的無限疊加。而根據該原理創立的傅立葉變換算法利用直接測量到的原始信號，以累加方式來計算該信號中不同正弦波信號的頻率、振幅和相位。
和傅立葉變換算法對應的是反傅立葉變換算法。該反變換從本質上說也是一種累加處理，這樣就可以將單獨改變的正弦波信號轉換成一個信號。
展開 脈沖的自由空間傳輸
建模目的：使用VirutalLab模擬脈沖在自由空間的傳輸
使用工具箱：基本工具箱
脈沖參數：脈沖寬度為10fs，載波波長800nm，包含29個諧波場
自由空間傳輸距離：10mm
VirtualLab脈沖建模的一些概念的介紹
1) 脈沖傳輸
作為任意的電磁場，脈沖由電場矢量E（r, t）和磁場矢量H（r, t），共六個矢量分量來表示，這六個分量均為實值函數，后面我們用函數U（r, t）表示其中任意一個分量
VirtualLab可以模擬脈沖傳輸，在一個輸入平面 定義脈沖，此后脈沖傳輸通過一個系統并在輸出平面 顯示，數學表達式如下：
2) 復數場
傳輸時間用 來表示
脈沖在時間上的寬度為 ，簡稱脈寬，一般脈寬長短依賴于橫向位置并且隨著傳播改變
脈沖的載波頻率為
在光學中使用實數場表示會帶來很多計算上的不便，為方便計算人們往往使用復數場Uc表示光場分量，在VirtualLab中也是這樣。復數場Uc和實數場U之間的關系是：
3) 時間傅里葉變換
任意點處，光場的時域分布和對應的頻域分布由傅里葉變換聯系起來，如下所示：
類似的定義同樣適用于復數場
4) 包絡函數
VirtualLab在模擬中使用了包絡函數 的概念。包絡函數是以 為中心時脈沖時域分布并除去載波因子 后剩余的部分。
展開 我們為什么要進行傅里葉變換？它的意義是什么
每種傅立葉變換都分成實數和復數兩種方法，對于實數方法是最好理解的，但是復數方法就相對復雜許多了，需要懂得有關復數的理論知識，不過，如果理解了實數離散傅立葉變換 (real DFT)，再去理解復數傅立葉就更容易了，所以我們先把復數的傅立葉放到一邊去，先來理解實數傅立葉變換，在后面我們會先講講關于復數的基本理論，然后在理解了實數傅立葉變換的基礎上再來理解復數傅立葉變換。
還有，這里我們所要說的變換 (transform) 雖然是數學意義上的變換，但跟函數變換是不同的，函數變換是符合一一映射準則的，對于離散數字信號處理 (DSP)，有許多的變換：傅立葉變換、拉普拉斯變換、Z變換、希爾伯特變換、離散余弦變換等，這些都擴展了函數變換的定義，允許輸入和輸出有多種的值，簡單地說變換就是把一堆的數據變成另一堆的數據的方法。
傅立葉變換的物理意義
傅立葉變換是數字信號處理領域一種很重要的算法。要知道傅立葉變換算法的意義，首先要了解傅立葉原理的意義。傅立葉原理表明：任何連續測量的時序或信號，都可以表示為不同頻率的正弦波信號的無限疊加。而根據該原理創立的傅立葉變換算法利用直接測量到的原始信號，以累加方式來計算該信號中不同正弦波信號的頻率、振幅和相位。
和傅立葉變換算法對應的是反傅立葉變換算法。
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