GTN模型的案例
GTN損傷模型介紹及案例演示
abaqus內(nèi)置的GTN模型與編寫的GTN模型以及NH修正模型，zhou修正模型的案例
abaqus內(nèi)置了原始GTN模型可以通過指定材料對應(yīng)的應(yīng)力和塑性應(yīng)變與GTN組合進(jìn)行模擬，為了方便對比，這里使用自定義的硬化函數(shù)Vuhard（swift硬化模型）結(jié)合內(nèi)置GTN與編寫的Vumat子程序進(jìn)行對比，分別比較拉伸試樣和剪切試樣，所有參數(shù)保持相同，區(qū)別在于NH-GTN，和zhou-GTN模型包含剪切修正項(xiàng)
初始拉伸試樣（拉伸變形30%，材料對應(yīng)為DP600鋼）
Vumat左側(cè)，Vuhard+abqus右側(cè)，對應(yīng)結(jié)果如下（結(jié)果幾乎一致）
拉伸試樣斷裂時(shí)應(yīng)力：
拉伸試樣應(yīng)力應(yīng)變曲線
修正的NH-GTN 模型模擬二維平面應(yīng)變拉伸以及剪切模型效果（在VUMAT中實(shí)現(xiàn)）
平面應(yīng)變拉伸試樣斷裂時(shí)應(yīng)力：
3D剪切試樣平整端口形貌：
修正的zhou-GTN 模型模擬二維平面應(yīng)變拉伸以及剪切模型效果（在VUMAT中實(shí)現(xiàn)）
平面應(yīng)變拉伸試樣斷裂時(shí)應(yīng)力：
3D剪切試樣平整端口形貌：
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展開 考慮尺寸效應(yīng)的剪切修正GTN模型：CMSG-GTN
文章名稱《Tearing failure of ultra-thin sheet-metal involving size effect in blanking process: Analysis based on modified GTN model》
DOI：10.1016/j.ijmecsci.2017.08.028
在超薄板沖裁過程中，傳統(tǒng)的損傷理論正面臨挑戰(zhàn)。經(jīng)典GTN模型認(rèn)為，材料斷裂主要源于微孔的形核、長大與聚合，因此它更適合描述以拉伸三軸應(yīng)力為主導(dǎo)的韌性斷裂。但這篇文章研究的對象是厚度僅0.084 mm的AISI 440B超薄不銹鋼板。實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)，這類材料在沖裁時(shí)并沒有表現(xiàn)出典型的“微孔充分長大后再斷裂”的特征，而是呈現(xiàn)出更明顯的撕裂失效與剪切主導(dǎo)破壞特征。也就是說，當(dāng)板厚進(jìn)入超薄尺度后，傳統(tǒng)GTN模型已經(jīng)難以完整解釋實(shí)際斷裂機(jī)制。
針對這一問題，作者構(gòu)建了一套可概括為CMSG-GTN的分析框架：一方面，在傳統(tǒng)GTN模型基礎(chǔ)上引入剪切損傷變量，用于表征低應(yīng)力三軸度條件下的剪切主導(dǎo)失效；另一方面，將機(jī)制型應(yīng)變梯度理論引入有限元分析，以刻畫超薄板在微尺度下顯著存在的尺寸效應(yīng)。前者解決了“傳統(tǒng)GTN不擅長描述剪切斷裂”的問題，后者解決了“常規(guī)塑性理論忽略微尺度強(qiáng)化”的問題。換句話說，作者不是簡單修補(bǔ)GTN模型，而是把“剪切損傷”和“尺寸效應(yīng)”同時(shí)納入同一框架中，用來解釋超薄板沖裁中的真實(shí)失效過程。
在實(shí)驗(yàn)與仿真結(jié)果上，這篇文章給出了幾個(gè)很有價(jià)值的結(jié)論。首先，超薄板沖裁斷口可以分為彎曲區(qū)、光亮區(qū)和斷裂區(qū)，且對稱面比自由面更早發(fā)生斷裂，說明裂紋并不是均勻萌生的，而具有明顯的空間優(yōu)先位置。其次，SEM觀察和數(shù)值模擬都表明，雖然斷口附近能夠看到微孔，但這些微孔尺寸較小、發(fā)展有限，并未達(dá)到主導(dǎo)斷裂的程度；真正推動(dòng)失效的是剪切損傷的快速積累。
展開 GTN損傷模型計(jì)算中的網(wǎng)格依賴性
GTN（Gurson-Tvergaard-Needleman）模型是一種常用的用于描述金屬材料損傷行為的理論模型。GTN模型最初由Gurson于1977年提出，后來由Tvergaard和Needleman進(jìn)行了改進(jìn)和推廣。
GTN模型基于孔隙率（porosity）理論，認(rèn)為材料中存在著許多孔洞或微缺陷，這些孔洞或微缺陷是材料發(fā)生損傷的主要因素。GTN模型假設(shè)材料中的孔洞是圓形的，并假定孔洞之間不存在相互作用。
GTN模型中，通過三個(gè)參數(shù)來描述材料的損傷行為：材料的孔隙率（porosity）、材料的強(qiáng)度（yield strength）和材料的韌性（fracture toughness）。其中，孔隙率是材料中孔隙的占據(jù)體積比，強(qiáng)度是材料的
屈服強(qiáng)度，韌性是材料的斷裂韌性。
GTN模型通過一個(gè)體積分?jǐn)?shù)函數(shù)（void volume fraction function）來描述孔隙率的變化。體積分?jǐn)?shù)函數(shù)與材料中的孔隙率之間存在線性關(guān)系，可以表示為：
f = V_v / V_m
其中，f為體積分?jǐn)?shù)函數(shù)，V_v為材料中的孔隙體積，V_m為材料的總體積。
GTN模型假定材料中的孔隙對應(yīng)于一些虛擬的顆粒，這些顆粒與材料中的晶粒一樣具有一定的大小和形狀。通過定義一個(gè)孔洞半徑，GTN模型可以計(jì)算出材料中的孔洞數(shù)量。
GTN模型中的強(qiáng)度和韌性參數(shù)可以通過實(shí)驗(yàn)測定來確定。一旦確定了這些參數(shù)，就可以使用GTN模型來預(yù)測材料在不同應(yīng)變速率下的應(yīng)力-應(yīng)變曲線、斷裂韌性和孔洞形變行為等。
需要注意的是，GTN模型只適用于具有孔隙的金屬材料，而不適用于其他類型的材料。此外，GTN模型中的一些假設(shè)可能與實(shí)際情況存在一定的差異，因此在實(shí)際應(yīng)用中需要進(jìn)行適當(dāng)?shù)男拚驼{(diào)整。但使用損傷模型計(jì)算時(shí)相比較彈塑性對于網(wǎng)格的要求更加嚴(yán)格，即網(wǎng)格敏感性更高。
展開 剪切修正GTN模型理論與驗(yàn)證
剪切修正模型的數(shù)值實(shí)現(xiàn)------《Nielsen KL, Tvergaard V. Ductile shear failure or plug failure of spot welds modelled by modified Gurson model. Engineering Fracture Mechanics 2010;77:1031–47.》
GTN模型是韌性斷裂的一個(gè)廣為人知的微觀力學(xué)模型，考慮了基體材料的孔洞形核，生長，聚集，其損傷具有明顯的物理意義。然而由于原始gurson模型在低應(yīng)力三軸度下預(yù)測的孔洞形核和孔洞生長非常小，同時(shí)模型假設(shè)為球型孔洞，在低應(yīng)力三軸度下，孔洞通常呈現(xiàn)非球形，因此在剪切為主的損傷問題中，GTN模型的應(yīng)用存在適用性問題，Pardoen and Hutchinson針對空隙形狀發(fā)展了考慮孔洞形狀極其影響機(jī)制的擴(kuò)展GTN模型，Nahshon and Hutchinson提出的考慮剪切效應(yīng)的擴(kuò)展GTN模型，這里主要說明第二類擴(kuò)展，即剪切擴(kuò)展模型。NH-GTN模型雖然可以得到很小，甚至負(fù)應(yīng)力三軸度下的損傷預(yù)測，但模型在高應(yīng)力三軸度下，相同參數(shù)情況下，預(yù)測剪切效應(yīng)過大
針對該問題，作者在文章中提出了擴(kuò)展NH-GTN模型，可以在不改變剪切失效系數(shù)情況下，實(shí)現(xiàn)對低，中，高應(yīng)力三軸度的合理預(yù)測。
展開 
abaqus剪切修正GTN模型的VUMAT子程序開發(fā)
剪切修正模型的數(shù)值實(shí)現(xiàn)------《Nielsen KL, Tvergaard V. Ductile shear failure or plug failure of spot welds modelled by modified Gurson model. Engineering Fracture Mechanics 2010;77:1031–47.》
GTN模型是韌性斷裂的一個(gè)廣為人知的微觀力學(xué)模型，考慮了基體材料的孔洞形核，生長，聚集，其損傷具有明顯的物理意義。然而由于原始gurson模型在低應(yīng)力三軸度下預(yù)測的孔洞形核和孔洞生長非常小，同時(shí)模型假設(shè)為球型孔洞，在低應(yīng)力三軸度下，孔洞通常呈現(xiàn)非球形，因此在剪切為主的損傷問題中，GTN模型的應(yīng)用存在適用性問題，Pardoen and Hutchinson針對空隙形狀發(fā)展了考慮孔洞形狀極其影響機(jī)制的擴(kuò)展GTN模型，Nahshon and Hutchinson提出的考慮剪切效應(yīng)的擴(kuò)展GTN模型，這里主要說明第二類擴(kuò)展，即剪切擴(kuò)展模型。NH-GTN模型雖然可以得到很小，甚至負(fù)應(yīng)力三軸度下的損傷預(yù)測，但模型在高應(yīng)力三軸度下，相同參數(shù)情況下，預(yù)測剪切效應(yīng)過大
針對該問題，作者在文章中提出了擴(kuò)展NH-GTN模型，可以在不改變剪切失效系數(shù)情況下，實(shí)現(xiàn)對低，中，高應(yīng)力三軸度的合理預(yù)測。
展開 Abaqus修正GTN模型的VUMAT子程序
Gurson-Tvergaard-Needleman ( GTN) 模型是研究金屬損傷的重要工具。GTN 模型通過孔洞體積分?jǐn)?shù)的演變來判斷材料的失效， 但不適用于剪切斷裂為主的韌性斷裂。本文在GTN模型中引入剪應(yīng)力的影響，編寫了相關(guān)的VUMAT子程序。
GTN模型的屈服函數(shù)可以用下式表示
其中q1，q2是模型參數(shù)，取q1=1.5，q2=1,σ0為等效應(yīng)力，p為靜水應(yīng)力，q為Mises等效應(yīng)力；f為空洞的體積分?jǐn)?shù)。
p和q可以通過徑向返回算法得到
應(yīng)變控制的孔洞形核系數(shù)
GTN模型可以通過以下4個(gè)方程進(jìn)行描述
Nahshon and Hutchinson考慮了剪應(yīng)力對模型的影響
于是孔隙體積分?jǐn)?shù)的演化可以通過下式描述
仿真計(jì)算得到的結(jié)果如下圖所示
有問題私信或者關(guān)注cae320公眾號(hào)
展開 GTN模型文章推薦（二十）
文章doi：10.1007/s00170-021-07400-z
推薦理由：作者通過應(yīng)變梯度塑性理論MSG與剪切修正GTN模型耦合研究了微成型過程中不同應(yīng)力狀態(tài)下材料的損傷演化問題，并通過與代表不同應(yīng)力狀態(tài)的拉伸試樣對比，驗(yàn)證了新模型在高\(yùn)低應(yīng)力三軸度下均有良好的預(yù)測能力，同時(shí)發(fā)現(xiàn)引入的MSG耦合GTN很好的捕捉了實(shí)驗(yàn)中通過SEM觀測的斷口特征，相比于原始剪切修正GTN，其預(yù)測能力在介觀尺寸更加準(zhǔn)確。
具體介紹如下：
原始的GTN模型的屈服函數(shù)為：
原始的GTN模型建立與經(jīng)典的Mises屈服理論之上，但摒棄了塑性變形過程中的體積不變性原理，考慮的孔洞對材料屈服的影響，當(dāng)?shù)刃Э锥大w積分?jǐn)?shù)為1時(shí)，表示材料完好，此時(shí)材料的屈服退化為經(jīng)典的Mises屈服，當(dāng)?shù)刃w積分?jǐn)?shù)為特定值時(shí)材料完全失效。
其中等效體積分?jǐn)?shù)表示為：
fc是臨界空隙體積分?jǐn)?shù)，當(dāng)?shù)刃w積分?jǐn)?shù)等于臨界體積分?jǐn)?shù)發(fā)生空隙聚集，一般認(rèn)為等效孔隙體積分?jǐn)?shù)在達(dá)到臨界空隙體積分?jǐn)?shù)之前對材料的性能退化影響較小，而達(dá)到后則會(huì)造成材料性能的快速退化，ff是失效空隙體積分?jǐn)?shù)，當(dāng)材料的等效孔洞體積分?jǐn)?shù)達(dá)到該值后材料完全失效。
等效體積分?jǐn)?shù)通常認(rèn)為與兩部分組成，及新空隙形核以及原有孔洞的生長，其演化表示為
原始的GTN模型很好符合了多數(shù)金屬材料的失效過程，因此無論在學(xué)術(shù)研究還是在工程應(yīng)用上，均有廣泛的應(yīng)用，然而研究人員發(fā)現(xiàn)，原始的GTN模型在較低應(yīng)力三軸度下，預(yù)測與實(shí)際情況相差很大，因?yàn)樵谝约羟袨橹鞯慕饘倨茐闹校]有發(fā)現(xiàn)明顯的空洞生長聚集。因此為了拓展模型的預(yù)測范圍，提高模型的預(yù)測精度，一些學(xué)者嘗試在原始GTN屈服函數(shù)中引入新的參數(shù)，來反映剪切對材料性能退化的影響。
展開 基于GTN模型的金屬材料拉伸頸縮現(xiàn)象模擬（原創(chuàng)案例賞析，如轉(zhuǎn)載，請注明出處）
分析類型：基于GTN模型的金屬材料拉伸頸縮現(xiàn)象模擬
分析平臺(tái)：ANSYS17
技術(shù)難點(diǎn)：損傷力學(xué) GTN模型 拉伸頸縮
關(guān)鍵詞：損傷力學(xué) GTN模型 拉伸頸縮 孔洞生長和聚合
完成人：技術(shù)鄰ANSYS專家
業(yè)務(wù)咨詢網(wǎng)址：http://www.yqgqt.org.cn/content/other/402981
技術(shù)背景：延性金屬的微觀損傷
工程意義：金屬損傷
研究對象：金屬圓桿
模擬過程：金屬材料拉伸頸縮現(xiàn)象模擬
GTN模型的適用范圍：延性金屬
微觀尺度的孔洞形核 生長和聚合模型
孔洞的演化方程
微觀塑性應(yīng)變的演化方程
孔洞的形核有兩種：應(yīng)力和應(yīng)變
GTN模型的屈服準(zhǔn)則
單元建模：
采用軸對稱
金屬干的軸對稱模型
GTN模型的材料定義
分析類型：靜力分析，（動(dòng)態(tài)分析還沒有做，后續(xù)做出來再show一下）
邊界條件：下端固定，上端施加位移
計(jì)算結(jié)果
基于GTN損傷模型的延性金屬拉伸頸縮現(xiàn)象模擬
載荷位移曲線
后續(xù)可進(jìn)一步的研究：
1、基于GTN的動(dòng)態(tài)損傷、斷裂分析和裂紋擴(kuò)展研究
2、動(dòng)力學(xué)的GTN模型分析
作者說明：
ANSYS采用GTN的本構(gòu)，利用宏觀的有限元方法實(shí)現(xiàn)模擬微觀尺度的延性金屬的損傷過程，但無法顯示孔洞的形核 生長 聚合甚至裂紋形成等微尺度信息，但可以從宏觀角度以較少的計(jì)算費(fèi)用實(shí)現(xiàn)結(jié)構(gòu)的損傷分析，相比于分子動(dòng)力學(xué)，這個(gè)方面的優(yōu)勢非常明顯。
另外分享一個(gè)基于分子動(dòng)力學(xué)（MD)的金屬拉伸的孔洞形核、生長和聚合的數(shù)值仿真案例
展開 一類非局部GTN模型------考慮應(yīng)變梯度效應(yīng)GTN模型
對于金屬中位錯(cuò)密度的常見值，基于泰勒位錯(cuò)模型的SGP理論的物理有效性下限約為100nm。
通過方式可以改善GTN模型在微尺度下的預(yù)測能力
耦合基于機(jī)制的應(yīng)變梯度塑性理論和GTN模型的案例展示
一個(gè)含孔洞薄板的單軸拉伸模擬
應(yīng)力分布云圖
幾何必須位錯(cuò)密度分布云圖
統(tǒng)計(jì)儲(chǔ)存位錯(cuò)密度分布云圖
孔洞體積分?jǐn)?shù)
值得注意的是使用包含梯度效應(yīng)的模型使用質(zhì)量縮放要十分謹(jǐn)慎，可能造成劇烈的數(shù)值振蕩，同時(shí)多積分點(diǎn)處理是多核運(yùn)算也可能導(dǎo)致錯(cuò)誤的數(shù)值模擬結(jié)果
GTN損傷及修正GTN損傷模型VUMAT子程序
GTN模型損傷子程序
修正GTN模型VUMAT子程序
詳細(xì)了解+Q 1139587955
考慮剪應(yīng)力影響的GTN模型及其在abaqus中VUMAT子程序的實(shí)現(xiàn)
Gurson-Tvergaard-Needleman ( GTN) 模型是研究金屬損傷的重要工具。GTN 模型通過孔洞體積分?jǐn)?shù)的演變來判斷材料的失效， 但不適用于剪切斷裂為主的韌性斷裂。本文在GTN模型中引入剪應(yīng)力的影響，編寫了相關(guān)的VUMAT子程序。
GTN模型的屈服函數(shù)可以用下式表示
其中q1，q2是模型參數(shù)，取q1=1.5，q2=1,σ0為等效應(yīng)力，p為靜水應(yīng)力，q為Mises等效應(yīng)力；f為空洞的體積分?jǐn)?shù)。
p和q可以通過徑向返回算法得到
應(yīng)變控制的孔洞形核系數(shù)
GTN模型可以通過以下4個(gè)方程進(jìn)行描述
Nahshon and Hutchinson考慮了剪應(yīng)力對模型的影響
于是孔隙體積分?jǐn)?shù)的演化可以通過下式描述
仿真計(jì)算得到的結(jié)果如下圖所示
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GTN模型在abaqus的二次開發(fā)
現(xiàn)在比較疑惑的地方在于GTN本身是個(gè)損傷模型，但它會(huì)導(dǎo)致屈服函數(shù)的改變，如果材料的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系用相關(guān)流動(dòng)應(yīng)力模型表示，如Hansel-Spittel高溫本構(gòu)模型，這兩個(gè)模型會(huì)不會(huì)沖突？個(gè)人感覺應(yīng)該不會(huì)，因?yàn)樵赼baqus設(shè)置多孔材料（porous metal plasticity）那里（就是GTN模型）設(shè)置完參數(shù)后也需要提供塑性應(yīng)變和應(yīng)力。那是否在二次開發(fā)（VUMAT和umat）中除了GTN模型，還需要提供相關(guān)的流動(dòng)應(yīng)力模型？按照這個(gè)思路我編寫了一個(gè)含有GTN和Hansel-Spittel高溫本構(gòu)模型的vumat子程序，由于umat需要提供剛度矩陣看了相關(guān)論文還是不知道怎么整，編到最后放棄了。子程序大致思路按照論文《GTN模型的算法研究、程序開發(fā)及試驗(yàn)驗(yàn)證》編寫。最后做出來也不知道對不對，想請各位大神來教教我提供點(diǎn)意見，這啥都不懂一接手就高難度還沒教程太難了......
GTN VUMAT.rar
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鏈接：https://pan.baidu.com/s/1_AK23HgpzhkJusf7h_Escg
提取碼：1234
一起學(xué)習(xí)，共同進(jìn)步。。。
展開 晶體塑性每日文章推薦（十一）
自1978年Gurson模型被提出以來，GTN模型進(jìn)過了多次演化，根據(jù)這些演化的重要性大致可以分為三個(gè)階段：1、20世紀(jì)80年代Tvergaard及Needleman等人對塑性勢函數(shù)的修正并引入孔洞形核及聚合機(jī)制；2、Xue和Nahshon, Hutchinson于2008年為GTN模型引入剪切損傷預(yù)測機(jī)制，增強(qiáng)了模型在低應(yīng)力三軸度下的成形極限響應(yīng)精度；3、Zhou和Malcher于2014進(jìn)一步修正了GTN模型的塑性勢函數(shù)，將傳統(tǒng)的連續(xù)介質(zhì)損傷模型與GTN模型耦合為GTN模型在負(fù)應(yīng)力三軸度下的損傷預(yù)測提供了一種新的方案。此外仍有一些重大的改進(jìn)，例如Gologanu基于GTN模型提出的孔洞三維形狀預(yù)測、Thomason孔洞聚合模型與GTN模型的耦合、為GTN模型耦合動(dòng)態(tài)再結(jié)晶（DRX）進(jìn)而揭示高溫下孔洞的形核及聚合機(jī)制等，這些改進(jìn)大大的推進(jìn)了基礎(chǔ)科學(xué)的研究進(jìn)程。然而對于工程塑性加工鄰域，例如軋制、旋壓、鍛造等負(fù)應(yīng)力三軸度下的成形工藝，GTN模型仍舊具備一定局限性。為此本文在Zhou的模型的基礎(chǔ)上對模型在負(fù)應(yīng)力三軸度下的損傷預(yù)測機(jī)制做出了進(jìn)一步修正。
在Zhou的模型中，GTN模型的塑性勢函數(shù)為：
上式中、和分別為Mises等效應(yīng)力、流動(dòng)應(yīng)力和靜水應(yīng)力，和為有效孔洞體積分?jǐn)?shù)和連續(xù)介質(zhì)剪切損傷演化因子，和為材料常數(shù)。Zhou的模型分離了孔洞演化及剪切損傷的預(yù)測模式，在中高應(yīng)力三軸度下，模型將近似收斂為原始的GTN模型，此時(shí)體積損傷占主導(dǎo)地位，相關(guān)演化方程為
在低、負(fù)應(yīng)力三軸度下剪切損傷占主導(dǎo)地位，相關(guān)演化方程為
由于這種模型分離了體積損傷和剪切損傷，因此總損傷被定義，當(dāng)總損傷值達(dá)到1時(shí)及判定材料失效。
展開 GTN 模型參考vumat
subroutine vumat(
! Read only -
. nblock, ndir, nshr, nstatev, nfieldv, nprops, lanneal,
. stepTime, totalTime, dt, cmname, coordMp, charLength,
. props, density, strainInc, relSpinInc,
. tempOld, stretchOld, defgradOld, fieldOld,
. stressOld, stateOld, enerInternOld, enerInelasOld,
. tempNew, stretchNew, defgradNew, fieldNew,
! Write only -
. stressNew, stateNew, enerInternNew, enerInelasNew)
include 'vaba_param.inc'
DIMENSION PROPS(NPROPS), DENSITY(NBLOCK), COORDMP(NBLOCK),
. CHARLENGTH(NBLOCK), STRAININC(NBLOCK, NDIR+NSHR),
. RELSPININC(NBLOCK, NSHR), TEMPOLD(NBLOCK),
. STRETCHOLD(NBLOCK, NDIR+NSHR),DEFGRADOLD(NBLOCK,NDIR+NSHR+NSHR),
. FIELDOLD(NBLOCK, NFIELDV), STRESSOLD(NBLOCK, NDIR+NSHR),
. STATEOLD
展開 通用的非局部GTN模型模型
參考文獻(xiàn):《Numerical implementation of a non-local GTN model for explicit FE simulation of ductile damage and fracture》
GTN 一類“耦合型”損傷模型在軟化階段會(huì)產(chǎn)生應(yīng)變/損傷高度局部化，解失去橢圓性，導(dǎo)致結(jié)果強(qiáng)依賴單元尺寸（“網(wǎng)格越細(xì)，帶寬越窄、耗能趨零”）——這是做延性斷裂數(shù)值預(yù)測時(shí)公認(rèn)的頑疾
作者沿 Tvergaard–Needleman 的思路，把孔隙率的演化率做非局部積分平均（積分型非局部），并在顯式算法里給出一套能“真正規(guī)模不敏感”的數(shù)值實(shí)現(xiàn)：
1，用權(quán)函數(shù)實(shí)現(xiàn)非局部孔隙率演化
2，提出“交替推進(jìn)”的非局部更新，更加穩(wěn)健
3，彈性區(qū)也更新非局部量
4，鄰接矩陣用“當(dāng)前構(gòu)形”逐步更新（精度更高，計(jì)算成本更大）
通過這一套精心設(shè)計(jì)的非局部數(shù)值方案實(shí)現(xiàn)了全局力學(xué)響應(yīng)隨網(wǎng)格細(xì)化明顯趨于網(wǎng)格無關(guān)，結(jié)果如下所示：
局部和非局部不同網(wǎng)格密度下的當(dāng)前孔洞體積分?jǐn)?shù)分布示意圖：
可以看到不同網(wǎng)格密度下，nonlocal模型的孔隙度幾乎保持不變
幾種不同網(wǎng)格密度下，局部和非局部模型的力位移曲線如下：
非局部模型的不同網(wǎng)格密度下的斷裂行為的一致性也顯著高于局部模型。
然而這類型模型通常計(jì)算的開銷會(huì)顯著高于局部模型，相對困難應(yīng)用于工程規(guī)模的計(jì)算，不過學(xué)術(shù)研究價(jià)值很高。感興趣的可以繼續(xù)在此基礎(chǔ)上進(jìn)行擴(kuò)展分析，如在當(dāng)前模型中引入各向異性屈服，梯度效應(yīng)，剪切損傷之類。這里顯示按照作者思路編寫代碼的實(shí)現(xiàn)效果。
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