求解多項(xiàng)式的案例
用 Mathematica 求解多項(xiàng)式
對(duì)于任意a，b，c，d，假設(shè) x 滿足互反多項(xiàng)式（所以被稱作回文式）
a x^6 + b x^5 + c x^4 + d x^3 + c x x + b x + a
a + b x + c x^2 + d x^3 + c x^4 + b x^5 + a x^6
現(xiàn)在假設(shè) y = x + 1/x （或?qū)懽?x y = x^2 + 1），求六次多項(xiàng)式除以這個(gè)二次多項(xiàng)式（關(guān)于 x）的余式：
Factor[PolynomialRemainder[%, x + 1/x - y, x]]
(-x - y + x y^2) (-2 b + d - 3 a y + c y + b y^2 + a y^3)
求這個(gè)余式意味著減去二次式的倍數(shù)，使得六次多項(xiàng)式將簡(jiǎn)化為關(guān)于 x 的線性多項(xiàng)式. 但是我們假定了二次和六次多項(xiàng)式都是0，所以我們從0減去0，得到x和y之間的可疑關(guān)系， 乘以我們可以求解的 y 的三次式！通過 y = x + 1 / x 來求解x.
回文多項(xiàng)式被稱作互逆多項(xiàng)式的原因是，如果用 1/x 代替 x，兩者具有相同的根，從而將系數(shù)的次序逆轉(zhuǎn)（并除以 x^6）.
這個(gè)令 y = x + 1/x 的技巧可以成功的關(guān)鍵是我們可以將各項(xiàng)用它們的倒數(shù)匹配，并利用關(guān)系：
1/x^3 + x^3 == -3 (1/x + x) + (1/x + x)^3
1/x^2 + x^2 == -2 + (1/x + x)^2
朱利安和我有一個(gè)七次方程求解程序，但他不相信它能找到所有的解. 超過七次以后，能找到一個(gè)強(qiáng)有力的求解器機(jī)會(huì)會(huì)大大減小，TA在理論上可以求解的概率也是如此. 但是如果你的問題不是隨機(jī)組成的，那么總是值得一試.
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多項(xiàng)式是由一組常數(shù)系數(shù)，a、b、c、……（數(shù)值）確定的。
TableForm[{a x + b, a x^2 + b x + c, a x^3 + b x^2 + c x + d, ". . ."}] // TraditionalForm
多項(xiàng)式求解問題就是找到一個(gè)值 x，使這些項(xiàng)的總和等于 0. 根據(jù) x 的最高次數(shù)分別稱為線性、二次、三次、四次、五次、六次、七次、八次...... 多項(xiàng)式。我們稱 y = a x + b 為線性，是因?yàn)樗膱D線是一條直線. 比如令 a = 2，b = 3，
Plot[2 x + 3, {x, -2, 1}]
2 x + 3 = 0 的（唯一）解是 x = -3/2. 一般情況下，有 x = -b/a. 由于含有 x 的平方項(xiàng)，y = a x^2 + b x + c 是二次的. 你會(huì)記得一元二次方程有兩個(gè)通解：
Solve[a x^2 + b x + c == 0, x]
這樣的表達(dá)式被稱為不盡根式. 最常見的應(yīng)用是在幾何上. 圓、拋物線和雙曲線通常由二次多項(xiàng)式指定。當(dāng)我們想知道一個(gè)二次多項(xiàng)式與已知直線何時(shí)相交時(shí)，我們就得到一個(gè)二次方程.
展開 ZEMAX | 如何創(chuàng)建ZOS-API自定義擴(kuò)展將切比雪夫多項(xiàng)式轉(zhuǎn)換為擴(kuò)展多項(xiàng)式
有關(guān)切比雪夫多項(xiàng)式的更多信息，請(qǐng)參閱： 基于切比雪夫多項(xiàng)式的新型自由曲面的設(shè)計(jì)與實(shí)現(xiàn)。
對(duì)該系統(tǒng)進(jìn)行優(yōu)化和公差分析之后，在將自由曲面反射鏡的圖紙發(fā)送給制造商之前，將切比雪夫多項(xiàng)式轉(zhuǎn)換為擴(kuò)展多項(xiàng)式，這樣設(shè)計(jì)的系統(tǒng)就可以通過計(jì)算機(jī)輔助制造方程、模具校正和注塑過程中的模具收縮補(bǔ)償?shù)裙ぞ邔?shí)現(xiàn)。
OpticStudio有內(nèi)置的非球面轉(zhuǎn)換工具，但是沒有將自由曲面轉(zhuǎn)換為其他面型的工具。幸運(yùn)的是，可以使用ZOS-API構(gòu)建工具。
將切比雪夫多項(xiàng)式轉(zhuǎn)換為擴(kuò)展多項(xiàng)式
切比雪夫多項(xiàng)式
切比雪夫多項(xiàng)式由包含X和Y的方程式表示，這使得它們作為直角正交多項(xiàng)式特別實(shí)用。
擴(kuò)展多項(xiàng)式
擴(kuò)展多項(xiàng)式和切比雪夫多項(xiàng)式的定義之間的主要區(qū)別是：
圓錐常數(shù) k
多項(xiàng)式的每個(gè)系數(shù)包含一個(gè)歸一化因子，而切比雪夫包含 x0 和 y0
系數(shù)隨 “i ”變化
轉(zhuǎn)換
利用Mathematica和上述定義，可以計(jì)算得出每個(gè)擴(kuò)展多項(xiàng)式的項(xiàng)等于一個(gè)包含切比雪夫多項(xiàng)式的項(xiàng)的方程。結(jié)果如下：
根據(jù)上述結(jié)果，生成用戶自定義擴(kuò)展，它將通過讀取切比雪夫多項(xiàng)式表面的系數(shù)，并計(jì)算擴(kuò)展多項(xiàng)式表面的系數(shù)來自動(dòng)轉(zhuǎn)換。
用戶自定義擴(kuò)展將在切比雪夫多項(xiàng)式之后添加具有計(jì)算出的系數(shù)的擴(kuò)展多項(xiàng)式表面，以及包含兩個(gè)多項(xiàng)式表面之間矢高差的網(wǎng)格矢高 ( Grid Sag ) 表面。得出的結(jié)果將滿足要求。
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對(duì)該系統(tǒng)進(jìn)行優(yōu)化和公差分析之后，在將自由曲面反射鏡的圖紙發(fā)送給制造商之前，將切比雪夫多項(xiàng)式轉(zhuǎn)換為擴(kuò)展多項(xiàng)式，這樣設(shè)計(jì)的系統(tǒng)就可以通過計(jì)算機(jī)輔助制造方程、模具校正和注塑過程中的模具收縮補(bǔ)償?shù)裙ぞ邔?shí)現(xiàn)。
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將切比雪夫多項(xiàng)式轉(zhuǎn)換為擴(kuò)展多項(xiàng)式
切比雪夫多項(xiàng)式
切比雪夫多項(xiàng)式由包含X和Y的方程式表示，這使得它們作為直角正交多項(xiàng)式特別實(shí)用。
擴(kuò)展多項(xiàng)式
擴(kuò)展多項(xiàng)式和切比雪夫多項(xiàng)式的定義之間的主要區(qū)別是：
圓錐常數(shù) k
多項(xiàng)式的每個(gè)系數(shù)包含一個(gè)歸一化因子，而切比雪夫包含 x0 和 y0
系數(shù)隨 “i ”變化
轉(zhuǎn)換
利用Mathematica和上述定義，可以計(jì)算得出每個(gè)擴(kuò)展多項(xiàng)式的項(xiàng)等于一個(gè)包含切比雪夫多項(xiàng)式的項(xiàng)的方程。結(jié)果如下：
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澤尼克多項(xiàng)式鏡面擬合
有會(huì)使用澤尼克多項(xiàng)式進(jìn)行鏡面擬合的嗎？請(qǐng)有償指導(dǎo)
ZEMAX | 如何使用 Zernike 多項(xiàng)式模擬黑盒光學(xué)系統(tǒng)
OpticStudio 將計(jì)算系統(tǒng)的波前，并匹配對(duì)應(yīng)的澤尼克多項(xiàng)式。
波前的采樣率和澤尼克多項(xiàng)式的項(xiàng)數(shù)可以在參數(shù)設(shè)置菜單中設(shè)置。波前采樣和多項(xiàng)式系數(shù)的關(guān)鍵參數(shù)是 RMS 擬合誤差（ RMS fit error ）和最大擬合誤差（Maxium fit error ）。在本例中使用默認(rèn)采樣和多項(xiàng)式項(xiàng)數(shù)參數(shù)得到如下結(jié)果：
這表示當(dāng)我們?cè)跐赡峥讼禂?shù)表示的波前上減去實(shí)際波前時(shí)，其殘留的誤差在百萬分之一個(gè)波前量級(jí)。這已經(jīng)非常接近了！然而在實(shí)際應(yīng)用時(shí)您需要對(duì)波前采樣率和多項(xiàng)式系數(shù)進(jìn)行調(diào)整以保證多項(xiàng)式較高的匹配度。
我們現(xiàn)在需要將澤尼克多項(xiàng)式系數(shù)轉(zhuǎn)移到近軸等效系統(tǒng)中。我們可以輸出澤尼克數(shù)據(jù)并將其輸入到近軸系統(tǒng)中，但這一過程非常繁瑣。我們可以使用宏來完成這一操作。
下面這個(gè)宏（包含于示例文件中）名為 Zernike Readout.zpl ，它可以提取系統(tǒng)的澤尼克數(shù)據(jù)并保存成 .DAT 格式的文件，該格式文件可以在近軸等效系統(tǒng)中的表面屬性(Surface Properties)->導(dǎo)入( Import )->導(dǎo)入數(shù)據(jù)文件( Import Data File )中導(dǎo)入。宏執(zhí)行該操作的過程如下所示：
首先定義所有需要的變量。
（需要注意的是，ZPL 中設(shè)置的采樣率和最大澤尼克項(xiàng)數(shù)應(yīng)該與您在澤尼克分析中設(shè)置的數(shù)據(jù)相同）隨后，宏會(huì)提取出瞳直徑和澤尼克數(shù)據(jù)：
注意澤尼克表面的歸一化半徑表示出瞳直徑的一半。
展開 基于Mathematica的多項(xiàng)式系數(shù)的位數(shù)之和的并行計(jì)算
本文所介紹的算法可以幫助您探索某種NP問題蘊(yùn)含在多項(xiàng)式內(nèi)的潛在規(guī)律。
多項(xiàng)式是一種常見的數(shù)學(xué)對(duì)象，多項(xiàng)式系數(shù)（又稱組合數(shù)）是指多項(xiàng)式的n次方的展開式的各項(xiàng)系數(shù)，如下圖所示，這是一個(gè)3項(xiàng)式的3次方的展開式。
有多種算法可以計(jì)算多項(xiàng)式系數(shù)（組合數(shù)）之和，但本文要求解的問題是求這個(gè)展開式的各項(xiàng)系數(shù)的位數(shù)之和（十進(jìn)制），這就不得不把每一項(xiàng)系數(shù)的位數(shù)都計(jì)算出來，對(duì)于上圖所示的多項(xiàng)式來說，因?yàn)檎归_式的每一項(xiàng)的系數(shù)都是一位十進(jìn)制整數(shù)，所以位數(shù)之和是10，如下圖所示，可以簡(jiǎn)單地用幾個(gè)函數(shù)在不到1毫秒的時(shí)間內(nèi)計(jì)算出來。
在這個(gè)簡(jiǎn)潔的問題中，蘊(yùn)含了一個(gè)NP問題，由于所有NP問題都可以互相轉(zhuǎn)換，故不再贅述是哪一個(gè)NP問題，只需知道本文要求解的問題目前還沒有多項(xiàng)式級(jí)別的時(shí)間復(fù)雜度的求解算法，這也是NP（非確定性多項(xiàng)式）問題的含義。
若要求解7項(xiàng)式的30次方的多項(xiàng)式系數(shù)的位數(shù)之和（以下簡(jiǎn)稱：位數(shù)之和），計(jì)算時(shí)間就來到了20秒，如下圖所示：
考慮到多項(xiàng)式的結(jié)構(gòu)的對(duì)稱性，可以計(jì)算出系數(shù)相同的項(xiàng)的個(gè)數(shù)，再乘以對(duì)應(yīng)的系數(shù)的位數(shù)，經(jīng)過一系列計(jì)算就能在20毫秒內(nèi)得到位數(shù)之和，比上圖所示的快了近1000倍。這種算法將本文的問題提煉成一個(gè)NP問題，復(fù)雜度取決于有多少種不同的系數(shù)，對(duì)于每一種不同的系數(shù)，算法只需要一次計(jì)算就能求解出這種系數(shù)的位數(shù)之和與帶有這種系數(shù)的項(xiàng)的個(gè)數(shù)。通過觀察多項(xiàng)式展開式的每一項(xiàng)的冪，易知，對(duì)于3項(xiàng)式的3次方的展開式的項(xiàng)來說，只有三種系數(shù)。
但這只不過是把階乘級(jí)的復(fù)雜度降低到指數(shù)級(jí)，而且這種算法的空間復(fù)雜度與其時(shí)間復(fù)雜度一樣高！非常消耗內(nèi)存，因?yàn)橐F舉每一種系數(shù)。
展開 六自由度機(jī)械臂五次多項(xiàng)式軌跡規(guī)劃（Fivejtraj_Function自編寫函數(shù)） ￥56
，定義插補(bǔ)次數(shù)n,根據(jù)驅(qū)動(dòng)器支持的最大插補(bǔ)次數(shù)設(shè)定
Time=[0,0,0,0,0,0;5,5,5,5,5,5;10,10,10,10,10,10];
StopTime=Time(3,1);
FixedStep=0.2;
SimpleNum=0:FixedStep:StopTime;Cunt=length(SimpleNum);
for i=1:n
%% 求每個(gè)關(guān)節(jié)角的五次多項(xiàng)式插補(bǔ)軌跡點(diǎn)
[q(:,i),qd(:,i),qdd(:,i)] = Fivejtraj_Function(Theta(:,i),Time(:,i), ...
