四節(jié)點(diǎn)四邊形單元的案例
四節(jié)點(diǎn)/八節(jié)點(diǎn)四邊形單元懸臂梁的Matlab有限元編程——《Matlab有限元編程從入門(mén)到精通》系列
本文的案例主要以受均布荷載和集中荷載的變截面懸臂梁為研究對(duì)象，通過(guò)matlab編制四節(jié)點(diǎn)和八節(jié)點(diǎn)四邊形單元有限元程序來(lái)對(duì)懸臂梁進(jìn)行受力分析，提供對(duì)應(yīng)有限元基本理論講解的同時(shí)展示相應(yīng)代碼的實(shí)現(xiàn)技巧。
一、問(wèn)題概述
如圖1-1 所示，某變截面懸臂梁長(zhǎng)度為2m，截面面積由0.6m至0.2m線(xiàn)性變化，受作用在自由端節(jié)點(diǎn)的集中荷載2P=kN和豎直方向均布荷載q=1kN/m作用，按平面應(yīng)力問(wèn)題分析，求解自由端節(jié)點(diǎn)撓度。變截面懸臂梁采用C30混凝土，彈性模量為E= 4 3 10 MPa，泊松比為。編制四節(jié)點(diǎn)和八節(jié)點(diǎn)四邊形單元有限元程序，最終得到梁的變形。
圖1-1 變截面懸臂梁
二、求解思路
對(duì)于本問(wèn)題采用基于MATLAB 編制有限元分析程序進(jìn)行求解，其基本組成部分包括前處理模塊、分析主程序模塊和后處理模塊。在前處理模塊中，實(shí)現(xiàn)節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)輸入、單元節(jié)點(diǎn)編號(hào)、網(wǎng)絡(luò)劃分以及邊界條件輸入等工作；在分析主程序模塊中，求解整體剛度方程；在后處理模塊中，實(shí)現(xiàn)結(jié)果顯示、數(shù)據(jù)輸出等工作。本文主要針對(duì)四節(jié)點(diǎn)四邊形單元與八節(jié)點(diǎn)四邊形單元理論和對(duì)應(yīng)的計(jì)算程序進(jìn)行講解。
有限元法的基本步驟：
幾何域離散，獲得標(biāo)準(zhǔn)化的單元；
通過(guò)能量原理（虛功原理或最小勢(shì)能原理，獲得單元剛度方程；
單元的集成（裝配）；
處理位移邊界條件；
計(jì)算支反力；
計(jì)算單元的其他物理量（應(yīng)力應(yīng)變）。
這幾步中，最核心的內(nèi)容是單元研究，具體包括：
節(jié)點(diǎn)描述
場(chǎng)描述
單元剛度方程。
接下來(lái)的內(nèi)容主要以單元的描述為核心內(nèi)容，結(jié)合matlab代碼，為大家講解本案例有限元matlab編程過(guò)程。
展開(kāi) 平面四邊形四節(jié)點(diǎn)單元計(jì)算程序與ANSYS結(jié)果對(duì)比
為什么要導(dǎo)出單元剛度矩陣
在學(xué)習(xí)有限元方法時(shí)，我們會(huì)需要編寫(xiě)程序計(jì)算結(jié)構(gòu)的單元剛度矩陣。此外，當(dāng)我們需要做有限元軟件二次開(kāi)發(fā)時(shí)，我們也需要驗(yàn)證所做的開(kāi)發(fā)是否正確。為了驗(yàn)證程序正確性，我們可以從商業(yè)有限元軟件中導(dǎo)出單元剛度矩陣來(lái)驗(yàn)證程序的計(jì)算結(jié)果。下面簡(jiǎn)單介紹從ansys軟件中導(dǎo)出平面四邊形四節(jié)點(diǎn)單元的單元剛度矩陣。
平面四邊形四節(jié)點(diǎn)單元示例
如圖所示，計(jì)算這兩個(gè)單元組成單元剛度矩陣，并組裝成整體剛度矩陣，求解各個(gè)節(jié)點(diǎn)的位移。
四節(jié)點(diǎn)四邊形單元-有限元編程案例6-Python ￥8.88
本次有限元計(jì)算的幾何模型為：
==> 可以看到網(wǎng)格繪制的是四邊形四節(jié)點(diǎn)的單元，這里設(shè)置的幾何尺寸為2x1。網(wǎng)格點(diǎn)是在邊線(xiàn)的中點(diǎn)上。
==> 邊界條件為左端固定，右端施加有向右端的載荷(數(shù)值大小為1e6）。
==> 有哪位兄弟知道怎么有效地降低截?cái)嗾`差？麻煩給說(shuō)一聲。
平面四邊形單元的剛度矩陣的推導(dǎo) ￥2
==》本博客是對(duì)于四節(jié)點(diǎn)四邊形單元的剛度矩陣的推導(dǎo)，沒(méi)有編程的實(shí)現(xiàn)。
等參數(shù)描述-四節(jié)點(diǎn)四邊形單元-有限元編程-C版 ￥4.88
用C語(yǔ)言做一遍有限元程序，差點(diǎn)沒(méi)把我的苦膽給吐出來(lái)。
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==> 本次編程的幾何模型如上圖所示。
1. 其幾何尺寸為2mx1m 。 左邊界固定，右邊界受到沿x軸的拉力（1e6）。
2. 其對(duì)應(yīng)的網(wǎng)格劃分方式如圖中所示。
3. Abaqus仿真結(jié)果（當(dāng)前只考慮在x方向上的位移。）如下所示：
==> 接下來(lái)便開(kāi)始我們的有限元編程練習(xí)了。
abaqus 2017屈曲分析后處理odb轉(zhuǎn)vtu python文件 ￥100
（1）abaqus 2017屈曲分析后處理odb轉(zhuǎn)vtu python文件
（2）單元介紹
##############################################后處理函數(shù)
# CAX3: 三節(jié)點(diǎn)三角形單元，用于二維和三維分析。
# CAX4R: 四節(jié)點(diǎn)四邊形單元，用于二維和三維分析。
# C3D8: 八節(jié)點(diǎn)六面體單元，用于三維分析。
# C3D8R: 八節(jié)點(diǎn)六面體單元，具有簡(jiǎn)化的積分方案，用于三維分析。
# C3D6: 六節(jié)點(diǎn)楔形單元，用于三維分析。
# C3D4: 四節(jié)點(diǎn)四面體單元，用于三維分析。
# S4: 四節(jié)點(diǎn)殼單元，用于二維和三維分析。
# S3: 三節(jié)點(diǎn)殼單元，用于二維和三維分析。
展開(kāi) 平面四節(jié)點(diǎn)等參單元程序
用C語(yǔ)言編寫(xiě)的程序，計(jì)算結(jié)果寫(xiě)成兩個(gè)文件，一個(gè)輸出節(jié)點(diǎn)位移和單元應(yīng)力，另一個(gè)可以用tecplot打開(kāi)，看位移云圖和應(yīng)力云圖
平面四節(jié)點(diǎn)等參單元.part3.rar
平面四節(jié)點(diǎn)等參單元.part1.rar
平面四節(jié)點(diǎn)等參單元.part2.rar
為什么仿真使用的單元都是三角形和四邊形？
</p><p><br></p><p>高中物理的小球問(wèn)題，都是將小球簡(jiǎn)化為一個(gè)質(zhì)點(diǎn)，那么對(duì)于復(fù)雜結(jié)構(gòu)，使用多個(gè)質(zhì)點(diǎn)，再使用梁將節(jié)點(diǎn)連接起來(lái)，是很自然的思路。</p><p><br></p><p>那么問(wèn)題自然來(lái)到了，由幾個(gè)梁組成的多邊形最合適。</p><h2>3.三角形，四邊形</h2><p>很簡(jiǎn)單，不存在1邊、<span style="color: rgb(25, 27, 31);">2邊的平面。最少要3個(gè)邊才能組成一個(gè)多邊形的面。最少要4個(gè)面才能組成一個(gè)體。</span></p><p><br></p><p>3邊的面是最小的，4邊的面是倒數(shù)第二小的。</p><p><br></p><p><span style="color: rgb(25, 27, 31);">3邊形能組成的最少面的體就是4面體，4邊形對(duì)應(yīng)6面體</span></p><p><br></p><p>（重復(fù)的弧形面不能填充滿(mǎn)平面或空間）</p><p><br></p><p>同樣的，三邊面由3個(gè)節(jié)點(diǎn)組成，在方程中參與計(jì)算的輸入數(shù)據(jù)量就最少。</p><p><br></p><h2>4.為什么有了3邊形，還要4邊形？</h2><p><span style="color: rgb(25, 27, 31);">其實(shí)離散這種近似計(jì)算，使用3456789邊的面都行，3+邊的面形成的單元稱(chēng)為高階單元。提高單元的階數(shù)可以減少方程的未知量，即輸入數(shù)據(jù)的準(zhǔn)備量，即同樣一個(gè)結(jié)構(gòu)離散成一樣的總節(jié)點(diǎn)數(shù)，一個(gè)高階單元的會(huì)包含更多的已知的球桿結(jié)構(gòu)（質(zhì)點(diǎn)——梁），進(jìn)而減少求解方程的時(shí)間。但是事情沒(méi)有那么簡(jiǎn)單，</span>求解方程的時(shí)間減少了，計(jì)算單元特性的時(shí)間增加了。
展開(kāi) 244 基于matlab的實(shí)現(xiàn)四節(jié)點(diǎn)板單元剛度矩陣求解 ￥24.9
基于matlab的實(shí)現(xiàn)四節(jié)點(diǎn)板單元剛度矩陣求解，振動(dòng)模態(tài)分析。可自主輸入材料參數(shù)，板單元長(zhǎng)寬厚尺寸。輸出振型結(jié)果，輸出多少階可自主設(shè)置。最后以可視化的形式展示，程序已調(diào)通，可直接運(yùn)行。
四結(jié)點(diǎn)四邊形等參元插值函數(shù)的計(jì)算
程序名稱(chēng)
shapef(s,t,xl,xsj,shp)――四結(jié)點(diǎn)四邊形等參元插值函數(shù)的計(jì)算
功 能
本程序用以計(jì)算四結(jié)點(diǎn)四邊形等參元的Jacobi矩陣，Jacobi行列式的值及導(dǎo)數(shù)之間的變換。
使用說(shuō)明
子程序語(yǔ)句 subroutine shapef(s,t,xl,xsj,shp)
參數(shù)說(shuō)明
◎ s，t 實(shí)變量，輸入?yún)?shù)，自然坐標(biāo)下所求點(diǎn)的座標(biāo)值。
◎ xl 實(shí)變量，輸入?yún)?shù)，結(jié)點(diǎn)坐標(biāo)。其中xl(1,i)表示x方向坐標(biāo)，xl(2,i)表示y方向坐標(biāo)。
◎ xsj 實(shí)變量，輸出參數(shù)，所求點(diǎn)Jacobi行列式的值。
◎ shp 實(shí)變量，輸出參數(shù)。其中shp（1，i）是插值函數(shù)對(duì)x的偏導(dǎo)，shp（2，i）是插值函數(shù)對(duì)y的偏導(dǎo)，
shp（3，i）是插值函數(shù)。
方法簡(jiǎn)介
四結(jié)點(diǎn)四邊形自然坐標(biāo)下的插值函數(shù)：
由等參元的概念得：
則導(dǎo)數(shù)之間的變換為：
程序（提供下載）
shapef.zip
展開(kāi) 節(jié)點(diǎn)解、單元解以及單元節(jié)點(diǎn)解
Nodal Solu：等值圖方式顯示節(jié)點(diǎn)結(jié)果項(xiàng)，即單元結(jié)果平均處理后的節(jié)點(diǎn)結(jié)果項(xiàng)，如節(jié)點(diǎn)位移、應(yīng)力、應(yīng)變等。一般都用節(jié)點(diǎn)解。
這里再細(xì)說(shuō)一些單元解，經(jīng)過(guò)上面內(nèi)容知道單元解是在節(jié)點(diǎn)的自由度的基礎(chǔ)上推導(dǎo)得到的，那么這個(gè)過(guò)程是怎樣的？
對(duì)于每一個(gè)單元都有其特定的形函數(shù)，當(dāng)確定某種單元進(jìn)行劃分網(wǎng)格時(shí)，即默認(rèn)同意了采用此種單元對(duì)應(yīng)的形函數(shù)來(lái)描述單元，計(jì)算單元解時(shí)需要根據(jù)積分點(diǎn)對(duì)形函數(shù)積分，得到積分點(diǎn)的值為單元值，積分點(diǎn)又叫高斯點(diǎn)。通常單元的高斯點(diǎn)與節(jié)點(diǎn)是不同的，某種單元對(duì)應(yīng)的高斯點(diǎn)也是固定的，比如一個(gè)二位四邊形單元，應(yīng)該有4個(gè)高斯積分點(diǎn)。
不過(guò)，在用Abaqus做分析時(shí)，在選擇單元類(lèi)型是，有相關(guān)的設(shè)置，比如完全積分還是縮減積分，縮減積分是為了較少計(jì)算量，將每個(gè)單元的積分點(diǎn)縮減為一個(gè)，現(xiàn)在其實(shí)計(jì)算機(jī)比較發(fā)達(dá)，這種方法已經(jīng)用的比較少。
從上面也可以看出，從精度來(lái)說(shuō)，節(jié)點(diǎn)位移解高于單元應(yīng)變解，單元應(yīng)變解高于單元應(yīng)力解，單元解之間是不連續(xù)的，而節(jié)點(diǎn)解釋連續(xù)的，通常都是查看節(jié)點(diǎn)解來(lái)進(jìn)行相關(guān)分析的。
轉(zhuǎn)自公眾號(hào)——ABAQUS大世界
旨在分享，若侵即刪.
展開(kāi) ANSYS中單元解、節(jié)點(diǎn)解以及節(jié)點(diǎn)單元解的概念解析
我們知道，在常見(jiàn)的后處理中，結(jié)果查看主要分三個(gè)方面：一、節(jié)點(diǎn)位移解；二、單元解；三、節(jié)點(diǎn)單元解。
那么這三個(gè)解相互之間的關(guān)系是什么呢？誰(shuí)的準(zhǔn)確性更高呢？
要理清三者之間的關(guān)系，首先我們談?wù)動(dòng)邢拊治龅幕舅悸贰Ｓ邢拊治鰰r(shí)，將一個(gè)我們所謂的“相當(dāng)大的”結(jié)構(gòu)劃分為有限個(gè)單元，單元之間通過(guò)節(jié)點(diǎn)相連，計(jì)算中，假定每個(gè)單元的變形和應(yīng)力都是相對(duì)簡(jiǎn)單的，并且可以通過(guò)計(jì)算機(jī)求解出來(lái)，最后在將單元結(jié)果按照一定的規(guī)律組合成整個(gè)結(jié)構(gòu)的求解結(jié)果。
在這分離-結(jié)合的過(guò)程中，出現(xiàn)了兩個(gè)關(guān)鍵詞，節(jié)點(diǎn)和單元。從數(shù)學(xué)角度上來(lái)講，單元也即是一個(gè)個(gè)矩陣，通過(guò)具有一定自由度的節(jié)點(diǎn)相互連接，進(jìn)而形成總的矩陣。有限元求解也即是求解大家最為熟悉的如下方程：
【K】【x】=【F】
其中【K】是剛度矩陣，【x】是節(jié)點(diǎn)自由度矩陣，【F】是外部邊界條件矩陣。
因而，整個(gè)結(jié)構(gòu)最先出現(xiàn)的求解結(jié)果便是 節(jié)點(diǎn)位移解，也可以稱(chēng)之為原始解，是最為精確的解。
有了節(jié)點(diǎn)位移解后，就可以派生出其他解了，因而單元解也可以稱(chēng)之為派生解，它是通過(guò)單元的形函數(shù)推導(dǎo)過(guò)來(lái)，具體過(guò)程這里就不細(xì)說(shuō)，但這就產(chǎn)生了一個(gè)問(wèn)題，相信細(xì)心的朋友會(huì)有所發(fā)現(xiàn)，就是單元應(yīng)力應(yīng)變解在公共節(jié)點(diǎn)上并不連續(xù)，在單元邊界上產(chǎn)生了不連續(xù)的等值線(xiàn)。
理論上，任何結(jié)構(gòu)任何位置處的應(yīng)力應(yīng)變應(yīng)該都是連續(xù)的，而上面所說(shuō)的單元應(yīng)力應(yīng)變解并不連續(xù)，因而就出現(xiàn)了另外一個(gè)解，我個(gè)人稱(chēng)之為節(jié)點(diǎn)單元解，它是單元解在公共節(jié)點(diǎn)上應(yīng)力應(yīng)變值的平均值，通過(guò)平均化就使得公共節(jié)點(diǎn)上的應(yīng)力應(yīng)變值變得唯一，但這樣會(huì)帶來(lái)另外一個(gè)問(wèn)題，就是節(jié)點(diǎn)單元解和節(jié)點(diǎn)有關(guān)，也即是和單元數(shù)目有關(guān)。在某些情況下，可能會(huì)由于網(wǎng)格劃分的影響，導(dǎo)致畸變較大。
展開(kāi) ANSYS中單元解、節(jié)點(diǎn)解以及節(jié)點(diǎn)單元解該怎么理解
總結(jié)起來(lái)，三個(gè)解的概念如下：
節(jié)點(diǎn)解：節(jié)點(diǎn)位移解，原始解，最為精確的解；
單元解：單元的應(yīng)力應(yīng)變，派生解，通過(guò)節(jié)點(diǎn)解推導(dǎo)得到；
節(jié)點(diǎn)單元解：節(jié)點(diǎn)的應(yīng)力應(yīng)變，派生解的平均化顯示。
來(lái)源：ANSYS學(xué)習(xí)與應(yīng)用
