周期函數的案例
abaqus幅值中周期函數（傅里葉級數）的應用
最近系統具體的學習了相關幅值曲線的知識，分享一個周期函數的知識。附件有具體的傅里葉級數的講解。
ABAQUS交流群：1063594113
隨便在這吐槽一下：竟然有人把這種簡單的知識收費，也是厲害了！
周期信號的傅里葉級數.pdf
comsol脈沖激光設置：教程+模型 ￥15
主要思路就是：
1.激光參數設置，2.設置方波函數，3.設置解析函數，4.設置脈沖激光熱源，5.建立幾何，6模型邊界條件，7.網格劃分和研究步驟設置 8.計算結果
最重要的就是周期脈沖函數設置，一般思路就是先利用comsol里面的矩形波函數，設置出單個脈沖周期；接著在解析函數里面調用矩形波函數，進行周期性拓展。然后利用 脈沖激光=激光高斯熱源×脈沖周期函數。
以下就是計算出來的結果：
基于comsol的階梯脈沖增長函數的設置 ￥800
image_process=/format,webp/resize,w_760" data-initial-src="https://img.jishulink.com/upload/201908/2df50d30c2e548d28ee9b9f8162952ca.png">
</div><p> </p><p>本模型用comsol的內置函數，來搭建這樣的函數，有點樂高積木的意思 。</p><p>1、構建一個方波函數</p><p><img src="https://img.jishulink.com/upload/201908/ccbb478baf114e8ab8d8ab0d7d1a2345.png">2、利用方波函數，配合四舍五入的round函數構建一個每5一個臺階的增長函數。</p><p><img src="https://img.jishulink.com/upload/201908/3759292af2294499ada872f7a3d933d6.png"></p><p>3、之后將上述的增長函數 以15一個周期截斷，并周期循環。</p><p><img src="https://img.jishulink.com/upload/201908/425cc405e2b8400db36395a050918757.png"></p><p>4、在這個周期函數中，額外加一項每15一個周期，逐步逐步上臺階，是周期函數的重心逐漸上移。</p><p>這個增長臺階的函數一樣是采用第二點 的函數做一些變形，將幅值和周期修改為需要的即可。
展開 帖一個某混凝土拱壩工程施工期及運行期溫度場仿真分析數據流
附件中有兩個文件：CA1*為計算數據流，DAQI.FUC為大氣年變化的周期函數.
計算簡介:
1.施工期共分37層,每層1.5米
2.施工期及壩體建成后一個月的時間步長按天考慮,隨后32個月時間步長按月計.
3.計算中多年平均氣溫作為巖體初始溫度場,各層砼澆筑溫度作為其激活時的初始溫度;
4.巖體邊界按絕熱邊界條件(第一類邊界條件);大氣與壩面按對流邊界條件（第一類邊界條件）施加;按分段線性插值函數計水化熱。
附件地址：http://download.caenet.cn/ShowInfoDetail.aspx?ID=9334
展開 
如何模擬高頻時變電流感應加熱？
本來打算采用瞬態模塊，實際想達成的電流效果是這樣的：
f=250Hz
但模擬中發現有兩個問題：
1.當頻率較高時，生成的函數會出錯；
f=2500Hz
2.頻率較高時，為了能對電流曲線充分采樣，步長必須設置比較小，導致計算時間非常長；
由于不是很清楚頻域模塊的具體計算步驟，進行嘗試：將電流定義為一個分段周期函數，改變頻率（不是線圈定義的頻率，而是頻域-瞬態步驟定義的頻率），觀察溫度是否變化。
觀察到以下結果：
1.電流曲線與定義一致；
2.溫度隨頻率設置不同有明顯變化；
故猜測達成了目標電流效果。仍有以下疑惑：
1.按說頻域-瞬態計算邏輯應該是先計算電磁損耗，并以此為基礎計算溫度場，當溫度或材料性質變化達到一定程度時，重新計算電磁損耗，為什么電流曲線沒有體現出這一過程？是不是計算條件設置非常敏感？
2.為什么電流曲線與頻率無關而溫度有關？是否與頻域在生成的圖像的表現方式有關？
總之，希望解決的是這樣一個問題：高頻時變電流感應加熱模擬如何設置？
展開 流體力學與譜方法：挑戰計算精度的極限
從函數圖像上只能看個大概，下面我們來定量看一下Chebyshev-Tau譜方法的精度。表3給出了計算域內的最大誤差隨著節點數變化的情況。
表3 誤差隨節點數增加的變化；Chebyshev-Tau方法。
可以看出，對于譜方法來說，計算誤差隨網格節點數增加的收斂速度是極快的。當n從33增大到65時，誤差竟然減小到原來的將近1/600。理論上來說，n→∞時，譜方法的計算誤差為O(K-n)，其中K是一個大于1的常數。這意味著譜方法的誤差是以指數規律減小的，這與有限差分法中誤差以冪函數規律減小的特性是完全不同的，也是任何階的有限差分法都無法比擬的。譜方法的這種收斂特性叫做譜精度（spectral accuracy）。從前面的分析中容易看出，譜方法能達到譜精度的根本原因在于采用了全局光滑的函數來逼近未知函數。采用全局光滑的函數逼近未知函數之后，殘差也是全局光滑的函數，所以殘差的Chebyshev級數的系數隨著階數的增加是指數衰減的。因此，我們強迫級數的前n-2項等于零，其結果就是讓殘差隨著n的增加以指數規律減小。
上面結合具體的問題介紹了Chebyshev-Tau譜方法，這實際上只是譜方法的冰山一角。譜方法的種類其實很多，可以從離散過程以及展開式所用的基函數這兩個方面來分類。從離散過程分類，有Tau方法、Galerkin方法和配置點法三種類型。至于基函數，當計算域是有限區域的時候，經常使用的就是上面介紹的Chebyshev多項式，所形成的譜方法稱為Chebyshev譜方法，但是如果計算域是無限的且具有周期性，則往往選用三角函數來作為基函數，所形成的譜方法稱為傅里葉（Fourier）譜方法。此外還有無限且不具有周期性的區域、半無限區域等等，也有相應的基函數，這里就不討論了。無論哪種譜方法，由于都是用全局光滑的函數來逼近未知函數，所以其計算精度都是達到譜精度的。
展開 案例分享 | 利用多物理場探索海洋動物的行為
他通過錄制真實金槍魚的視頻，創建了移動中金槍魚的平滑的虛擬表示方法，并使用周期函數近似魚體上每個點的真實運動。
這幫助他進一步研究藍鰭金槍魚的運動，例如確定魚尾推力并分析相當于水下翅膀的胸鰭的向外運動。
胸鰭對金槍魚的游泳能力至關重要，因為它會產生浮力。盡管金槍魚在體內具有氣囊，但不能提供足夠的浮力。因此，這就是金槍魚必須不斷游泳的原因之一。它們在水下使用類似飛機產生升力的機制。高木教授的CFD仿真清楚地表明，將金槍魚的胸鰭向外移動可以產生很大的升力。此外，金槍魚可以通過將胸鰭塞入身體側面的凹痕中來簡化身體，以最大程度地減少阻力。尾鰭附著在金槍魚尾巴根部的隆起，也起著小翅膀的作用。
“對于更大的遷徙魚類，例如，印度洋-太平洋的魚類，其身體上附著了兩層尾鰭，就像雙翼飛機一樣。
令人著迷的是，當我從流體分析的角度來看時，生物體設計背后的原因和目的變得顯而易見。
”高木教授評論說。
MSC Adams幫助拯救纏結的棱皮龜
您喜歡在業余時間釣魚嗎？許多人都喜歡……但是，除了我們要捕撈的魚類以外，對海洋動物來說，這可能是有害的，導致海龜越來越多地被錨繩和電纜纏住。最近，這種現象的發生頻率更高了，但發生的原因知道的很少。此外，這也很難去測量（參考文獻2），并且每年估計將近有4500只海龜由于被錨繩纏住而被意外捕獲。
MMC迫切需要解決的問題是：由于研究人員缺乏有關纏住的信息，他們可以使用仿真軟件采取什么措施來解決此問題并幫助海龜呢？
展開 案例分享 | SC/Tetra結合流體分析在漁業領域的應用
他通過錄制一段真實金槍魚的視頻，并模擬創建了一個運動金槍魚的平滑模擬表示具有周期函數的物體上每個點的運動。這使他能夠進一步研究藍鰭金槍魚的運動，由此對尾鰭的推進力、代替翼的胸鰭張開等各種狀態進行了分析。
尾巴運動的藍鰭金槍魚流體分析
胸鰭對于金槍魚的游泳能力是必不可少的，因為它會產生升力。雖然金槍魚體內有氣囊，但這些囊并不能完全維持保持浮力所需的向上力量。這是原因之一。金槍魚必須不停地游動，是取決于他們類似飛機升降機的結構。高木教授的模擬表明，金槍魚胸鰭向外移動可以產生巨大的升力。此外，金槍魚還可以通過將胸鰭塞入身體兩側的凹陷中來簡化身體以減少阻力。尾梗是連接在金槍魚尾巴根部的凸起，起著小翅膀的作用。“對于像印度洋旗魚這樣的大型洄游魚類來說，兩層尾鰭就像雙翼一樣附著在一起。這非常有趣。當我從流體分析的角度來看生物外形演變背后的原因和目的變得顯而易見，“高木教授評論說。
通過分析揭示了運動背后的邏輯
據高木教授介紹，流體分析產生的定量結果說明了為什么金槍魚在前進時會上下游動。這種特殊的游泳風格早已被科學家注意到，并且被認為此舉能夠提高效率。另一種理論提出，魚使用滑行來休息，這使它們能夠游得更遠。然而，在生物測量技術問世之前，這兩種理論都沒有得到證實。這項技術使實時測量成為可能。
通過將傳感器附加到魚身上并監測它們的運動和環境條件。
利用水深、身體傾斜程度和尾部振動計數的數據，高木教授進行了流體分析，并成功地證實了這一點效率理論。高木教授了解到，通過改變水深來推進，可以減少10~20%移動所需的能量。
從形狀解碼行為機制
高木教授在對一只日本比目魚進行分析時首先對其生活行為研究產生了興趣。
展開 快速傅里葉變換在信號處理中的應用
從純粹的數學意義上看，傅里葉變換是將一個函數轉換為一系列周期函數來處理的。從物理效果看，傅里葉變換是將圖像從空間域轉換到頻率域，其逆變換是將圖像從頻率域轉換到空間域。換句話說，傅里葉變換的物理意義是將圖像的灰度分布函數變換為圖像的頻率分布函數。傅里葉逆變換是將圖像的頻率分布函數變換為灰度分布函數。傅里葉頻譜圖上我們看到的明暗不一的亮點，其意義是指圖像上某一點與鄰域點差異的強弱，即梯度的大小，也即該點的頻率的大小。一般來講，梯度大則該點的亮度強，否則該點亮度弱。這樣通過觀察傅里葉變換后的頻譜圖，也叫功率圖，我們就可以直觀地看出圖像的能量分布：如果頻譜圖中暗的點數更多，那么實際圖像是比較柔和的，這是因為各點與鄰域差異都不大，梯度相對較小；反之，如果頻譜圖中亮的點數多，那么實際圖像一定是尖銳的、邊界分明且邊界兩邊像素差異較大的。
以信號處理過程中的一個例子來詳細說明FFT的效果：假設采樣頻率為Fs，信號頻率為F，采樣點數為N。那么FFT處理之后的結果就是一個點數為N點的復數。每一個點就對應著一個頻率點，而每個點的模值，就是該頻率值下的幅度特性。假設原始信號的峰值為A，那么在處理后除第一個點之外的其他點的模值就是A的N/2倍。而第一個點就是直流分量，它的模值就是直流分量的N倍。而每個點的相位呢，就是在該頻率下的信號的相位。第一個點表示直流分量(即頻率為0Hz)，而最后一個點N的再下一個點(實際上這個點是不存在的，這里是假設的第N+1個點，也可以看做是將第一個點分做兩半分，另一半移到最后)則表示采樣頻率Fs，這中間被N-1個點平均分成N等份，每個點的頻率依次增加。例如某點n所表示的頻率為：Fn=(n-1)*Fs/N。由上面的公式可以看出，Fn 所能分辨到的最小頻率為Fs/N，如果采樣頻率Fs為1024Hz，采樣點數N為1024點，則最小分辨率可以精確到1Hz。
展開 趣談傅里葉。。。
但是這些事情往往又成為了我們格外寶貴的回憶，在我們大腦里隔一段時間就會周期性的蹦出來一下，可惜這些回憶都是零散的片段，往往只有最幸福的回憶，而平淡的回憶則逐漸被我們忘卻。因為，往昔是一個連續的非周期信號，而回憶是一個周期離散信號。
是否有一種數學工具將連續非周期信號變換為周期離散信號呢？抱歉，真沒有。
比如傅里葉級數，在時域是一個周期且連續的函數，而在頻域是一個非周期離散的函數。這句話比較繞嘴，實在看著費事可以干脆回憶第一章的圖片。
而在我們接下去要講的傅里葉變換，則是將一個時域非周期的連續信號，轉換為一個在頻域非周期的連續信號。
算了，還是上一張圖方便大家理解吧：
或者我們也可以換一個角度理解：傅里葉變換實際上是對一個周期無限大的函數進行傅里葉變換。
所以說，鋼琴譜其實并非一個連續的頻譜，而是很多在時間上離散的頻率，但是這樣的一個貼切的比喻真的是很難找出第二個來了。
因此在傅里葉變換在頻域上就從離散譜變成了連續譜。那么連續譜是什么樣子呢？
你見過大海么？
為了方便大家對比，我們這次從另一個角度來看頻譜，還是傅里葉級數中用到最多的那幅圖，我們從頻率較高的方向看。
以上是離散譜，那么連續譜是什么樣子呢？
盡情的發揮你的想象，想象這些離散的正弦波離得越來越近，逐漸變得連續……
直到變得像波濤起伏的大海：
很抱歉，為了能讓這些波浪更清晰的看到，我沒有選用正確的計算參數，而是選擇了一些讓圖片更美觀的參數，不然這圖看起來就像屎一樣了。
不過通過這樣兩幅圖去比較，大家應該可以理解如何從離散譜變成了連續譜的了吧？原來離散譜的疊加，變成了連續譜的累積。所以在計算上也從求和符號變成了積分符號。
展開 如何正確的在項目中接入微信JS-SDK
// data就是上一步說的后端返回的那些數據，包含signature、nonceStr、timestamp const data = await getJsSDK(); wx.config({ debug: true, appId: '你的appId', timestamp: data.timestamp, nonceStr: data.nonceStr, signature: data.signature, jsApiList: [ 'onMenuShareTimeline', // 分享到朋友圈 'onMenuShareAppMessage', // 分享給朋友 'onMenuShareQQ',// 分享到QQ 'onMenuShareWeibo',// 分享到騰訊微博 'onMenuShareQZone',// 分享到QQ空間 ] }); 復制代碼
注入后的生命周期函數
在調用config后會有兩個結果，成（這）功（是）和（廢）失（話）敗。可以通過微信提供的兩個接口來進行事件回調。
wx.ready(function(){ // config信息驗證后會執行ready方法，所有接口調用都必須在config接口獲得結果之后，config是一個客戶端的異步操作，所以如果需要在頁面加載時就調用相關接口，則須把相關接口放在ready函數中調用來確保正確執行。對于用戶觸發時才調用的接口，則可以直接調用，不需要放在ready函數中。
展開 
應用力學的辛數學方法
§1.8 時不變系統
§1.8.1 時不變線性系統的分離變量
§1.8.2 黎卡提微分方程的求解方法
§1.9 結構力學有限元與保辛
§1.9.1 變分原理與正則變換
§1.9.2 區段混合能的偏微分方程
§1.9.3 區段混合能系數矩陣的微分方程組，黎卡提微分方程
§1.9.4 有限元離散系統與保辛
§1.9.5 離散鏈式結構的傳遞求解
§1.9.6 不同維數的體系
參考文獻
第二章 振動理論
§2.1 單自由度體系的振動
§2.1.1 線性振動
§2.1.2 參數共振
§2.1.3 分段常系數周期函數的參數共振
§2.1.4 量子力學克羅尼格一彭尼模型周期勢阱的本征值分析
§2.1.5 非線性振動初步
§2.2 多個自由度線性系統的振動
§2.2.1 無阻尼自由振動、本征解
§2.2.2 約束，本征值計數
§2.2.3 子結構拼裝時的本征值計數
§2.2.3.1 子結構模態綜合法概要
§2.2.3.2 混合能、混合變量時的本征值計數
§2.2.3.3 混合能表示下的子結構拼接與其本征值計數
§2.2.4 對稱陣本征解的子空間迭代法
§2.2.4.1 對質量陣的歸一化算法
§2.2.4.2 子空間投影及本征解
§2.2.4.3 子空間迭代
§2.2.4.4 子空間遷移
§2.2.5 不對稱實矩陣的本征問題
§2.2.6 矩陣的奇異值分解
§2.2.6.1 QR分解
§2.2.6.2 奇異值分解
§2.3 一維多原子鏈的晶格振動
§2.4 周期結構的雜質
§2.4.1 表面局部振動模型
§2.4.2 回轉盤的葉片振動
§2.4.2.1 有異常葉片的回轉盤振動
§2.4.2.2 在本征振型域的分析
§2.5 陀螺系統的微振動
§2.5.1 正定哈密頓函數的情形及本征值的變分原理
§2.5.2 哈密頓函數不正定的本征問題
§2.5.2.1 陀螺力對振動穩定性的影響
§2.5.2.2
展開 王博聊聲學 | 聲場重構技術之二：高階Ambisonics
Jér?me Daniel等發展了高階Ambisonics，基于空間聲場的球諧函數分解，利用一組聲場展開系數向量表示空間聲場信息。這類似于一個函數的泰勒展開，或者周期函數的傅里葉級數。展開系數的階數越高，其空間分辨率越高。聲場的頻率越高，也需要更高階的展開系數來表示。由于該展開系數是僅與頻率有關，而與空間位置無關的一組向量，因此由它表示空間聲場具有簡潔、計算方便等優點。
舉一個例子，自由空間傳播著頻率為1kHz的平面波，將其在球坐標系下進行球諧函數分解，可以得到不同階數N的展開系數。如果利用這些展開系數合成平面波的實部，會得到怎樣的結果呢？我們看圖1，如果用1階展開系數（即N=1），只能在球坐標系的中心處重構平面波；隨著階數的增大，準確重構平面波的范圍越來越大，見圖中黃色圓圈部分。
圖1
如何采集高階聲場信息？
球形陣列是最理想的采集方式，在球坐標系下對球面聲壓進行傅里葉變換，即可得到聲場展開系數。
球形陣列具有諸多優勢，例如：
能夠有效采集來自于360°方向的三維空間聲場信息，非常適合于封閉空間；
球形陣列的信號處理更加簡單和高效，不同類型的球形陣列可以由統一的表達式描述；
由于球面是閉合的，因此球面傅里葉變換不存在傳統陣列的有限孔徑誤差和窗效應，并且球諧函數域本身就是離散的，因此也不存在傳統傅里葉變換的卷繞誤差；
從實際應用的角度，球形陣列的尺寸較小，因此測量更加方便。
常見的商業化的球形陣列有兩種：
空心球形陣列，即傳聲器分布在一個鏤空的球面上。由于其傳聲器、線纜和支架等都裸露在聲場中，會對原始聲場產生散射等干擾。另外，在某些頻率點處，空心球形陣列會產生不穩定輸出，這被稱為球Bessel零點問題，這是空心球形陣列無法避免的。
展開 FEA的核心思想-仿真時間步-隱式算法顯示算法
所以理解有限元你必須要反思你學過的數值方法，比如數值分析的時候你是如何近似一個函數的，如何近似積分，近似導數？我們會發現數值方法的核心是 空間內的一組基來近似 空間內的復雜形式。簡單說就是利用 一組簡單的表達式來近似任何復雜的形式。拉格朗日插值不就是采用非常簡單的基函數來形成的。數值積分我們都是劃歸到了對多項式的積分上。
理解了數值方法的核心再理解有限元就簡單多了，有限元求解的對象是偏微分方程。考慮偏微分方程，最終的解的定義域是在一個區域內的，這個區域內的解析表達式是非常困難的。這時候理所當然大家就會考慮怎么求解這個問題呢？肯定是在這個區域內找一些簡單函數去近似擬合，比如利用多項式 利用周期函數等等。。。。但是在這樣求解的過程中又會發現，我們在整個區域內近似是非常困難的，對于很多問題還是不是那么容易求解，試想一個形狀非常不規則的區域？？？這時候，科學家就會萌生了能否我把整個區域的問題劃分成一系列的簡單區域，簡單區域上問題求解是非常簡單的，最終的結果把所有區域結合起來不就可以了嗎？ 這時候科學家又會聯系到，結構力學中的桿件結構，因為在桿件結構中已經有了這樣的方法。所以經過一系列的推導就有了這樣分片求解問題的方法 即有限元方法。
有限元并沒有什么復雜的，也不要被什么最小勢能，變分原理嚇住，因為這些都是在逐步完善有限元方法過程中理論的完善，最小勢能，變分原理是為了建立有限元的弱形式，或許你會問 弱形式是什么呢？ 舉個例子，如果我們分析的微分方程式二階的，也就是方程中含有關于自變量的二階導數，那么我們建立的近似函數是不是也要具有二階呢？答案是肯定的，事實證明，階段太高是非常不利于問題求解的，那么就會思考可不可有一種等效的形式，但是階次又是比較低的？當然有了，這就是弱形式，試想如果可以用一次函數去近似是不是非常簡單呢？
展開 高階 Ambisonics (HOA) 全解析：比 WFS 更實用的三維聲場重構技術
然而，從準確重構物理聲場的角度看，一階 Ambisonics 存在明顯局限：
只能在聽音區中心極小范圍內準確重構聲場
空間分辨率低，聲源定位精度差
高頻重構能力不足
高階 Ambisonics (HOA)：基于球諧函數的突破
為了解決這些問題，Jér?me Daniel 等人發展了高階 Ambisonics (HOA) 技術。它基于空間聲場的球諧函數分解，用一組聲場展開系數向量來表示完整的空間聲場信息。
這個原理很好理解：就像函數可以用泰勒展開逼近、周期函數可以用傅里葉級數表示一樣，任意空間聲場都可以分解為不同階數的球諧函數疊加。
階數越高，空間分辨率越高，準確重構的聽音區域越大
頻率越高，需要更高階的展開系數才能準確表示
HOA 的核心優勢在于：聲場展開系數僅與頻率有關，與空間位置無關，因此表示方式簡潔、計算效率極高，非常適合實時處理。
我們用一個直觀的例子來說明（如圖1）：自由空間中傳播的 1kHz 平面波，在球坐標系下進行球諧函數分解。
當使用 1 階展開系數 (N=1) 時，只能在球心極小區域準確重構平面波
隨著階數增大 (N=3, N=5...)，準確重構的區域 (黃色圓圈) 顯著擴大
圖1
二、如何采集高階聲場信息？球形陣列全解析
要實現高階 Ambisonics，首先需要準確采集三維空間聲場信息。球形傳聲器陣列是目前最理想、應用最廣泛的采集方案。
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