傅里葉的案例
幾何傅里葉變換
Frank Wyrowski* and Christian Hellmann**
*Applied Computational Optics Group, Institut fur Angewandte Physik, Friedrich-Schiller-Universitat Jena
**Wyrowski Photonics UG
mailto:frank.wyrowski@uni-jena.de
在系統的不同平面上，電磁場分量的傅里葉變換是連接空間域和k域的物理光學建模中的頻繁操作。我們介紹一個場所謂的幾何區域，在該區域中傅里葉變換可以在不進行積分的情況下得到，總之是以非常有效的數值方式得到。在幾何場域中，場由波前相位控制，因此允許我們將穩定相位的概念應用于傅里葉變換積分，我們將所得到的傅里葉變換算法稱為幾何傅立葉變換，這項技術被證明是快速物理光學的基礎支柱。
1.光學傅立葉變換
在物理光學中，我們處理電磁場的六個復數場分量（分別為E和H）。在空間域，他們表示為
其中 ，傅立葉變換到k域定義為
（2）
其中，我們使用符號
(3)
方程2中積分的數值評估需要對a和k域中的場進行取樣，我們用N表示采樣點的數量，所得的離散傅里葉變換構成了N2運算。然而快速傅里葉變換（FFT）算法在N中是線性的，這在原理上使快速物理光學建模成為可能，但FFT需要的采樣。在光學中，我們通常有強梯度的相位函數，從而導致很大的N值，只有在十分對稱的光學系統中，N才可以很小。因此，盡管FFT在N中是線性的，但是我們很容易在光學上遇到N太大而不能進行快速計算傅里葉變換的問題，這是快速物理光學概念的嚴重阻礙。
展開 [VirtualLab] 幾何傅里葉變換
Frank Wyrowski* and Christian Hellmann**
*Applied Computational Optics Group, Institut fur Angewandte Physik, Friedrich-Schiller-Universitat Jena
**Wyrowski Photonics UG
mailto:frank.wyrowski@uni-jena.de
在系統的不同平面上，電磁場分量的傅里葉變換是連接空間域和k域的物理光學建模中的頻繁操作。我們介紹一個場所謂的幾何區域，在該區域中傅里葉變換可以在不進行積分的情況下得到，總之是以非常有效的數值方式得到。在幾何場域中，場由波前相位控制，因此允許我們將穩定相位的概念應用于傅里葉變換積分，我們將所得到的傅里葉變換算法稱為幾何傅立葉變換，這項技術被證明是快速物理光學的基礎支柱。
1.光學傅立葉變換
在物理光學中，我們處理電磁場的六個復數場分量（分別為E和H）。在空間域，他們表示為
其中 ，傅立葉變換到k域定義為
（2）
其中，我們使用符號
(3)
方程2中積分的數值評估需要對a和k域中的場進行取樣，我們用N表示采樣點的數量，所得的離散傅里葉變換構成了N2運算。然而快速傅里葉變換（FFT）算法在N中是線性的，這在原理上使快速物理光學建模成為可能，但FFT需要的采樣。在光學中，我們通常有強梯度的相位函數，從而導致很大的N值，只有在十分對稱的光學系統中，N才可以很小。因此，盡管FFT在N中是線性的，但是我們很容易在光學上遇到N太大而不能進行快速計算傅里葉變換的問題，這是快速物理光學概念的嚴重阻礙。
展開 幾何傅里葉變換.
Frank Wyrowski* and Christian Hellmann**
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mailto:frank.wyrowski@uni-jena.de
在系統的不同平面上，電磁場分量的傅里葉變換是連接空間域和k域的物理光學建模中的頻繁操作。我們介紹一個場所謂的幾何區域，在該區域中傅里葉變換可以在不進行積分的情況下得到，總之是以非常有效的數值方式得到。在幾何場域中，場由波前相位控制，因此允許我們將穩定相位的概念應用于傅里葉變換積分，我們將所得到的傅里葉變換算法稱為幾何傅立葉變換，這項技術被證明是快速物理光學的基礎支柱。
1.光學傅立葉變換
在物理光學中，我們處理電磁場的六個復數場分量（分別為E和H）。在空間域，他們表示為
其中 ，傅立葉變換到k域定義為
（2）
其中，我們使用符號
(3)
方程2中積分的數值評估需要對a和k域中的場進行取樣，我們用N表示采樣點的數量，所得的離散傅里葉變換構成了N2運算。然而快速傅里葉變換（FFT）算法在N中是線性的，這在原理上使快速物理光學建模成為可能，但FFT需要的采樣。在光學中，我們通常有強梯度的相位函數，從而導致很大的N值，只有在十分對稱的光學系統中，N才可以很小。
展開 快速傅里葉變換在信號處理中的應用
圖1 時域頻域關系圖
這就是傅里葉變換的最基本最簡單的應用，當然這是從數學的角度去看傅立葉變換。在信號分析過程中，傅里葉變換的作用就是將組成這個回波信號的所有輸入源在頻域中按照頻率的大小來表示出來。傅里葉變換之后，信號的幅度譜可表示對應頻率的能量，而相位譜可表示對應頻率的相位特征。經過傅立葉變換可以在頻率中很容易的找出雜亂信號中各頻率分量的幅度譜和相位譜，然后根據需求，進行高通或者低通濾波處理，最終得到所需要頻率域的回波。
傅里葉變換在圖像處理過程中也有非常重要的作用，設信號f是一個能量有限的模擬信號，則其傅里葉變換就表示信號f的頻譜。從純粹的數學意義上看，傅里葉變換是將一個函數轉換為一系列周期函數來處理的。從物理效果看，傅里葉變換是將圖像從空間域轉換到頻率域，其逆變換是將圖像從頻率域轉換到空間域。換句話說，傅里葉變換的物理意義是將圖像的灰度分布函數變換為圖像的頻率分布函數。傅里葉逆變換是將圖像的頻率分布函數變換為灰度分布函數。傅里葉頻譜圖上我們看到的明暗不一的亮點，其意義是指圖像上某一點與鄰域點差異的強弱，即梯度的大小，也即該點的頻率的大小。一般來講，梯度大則該點的亮度強，否則該點亮度弱。這樣通過觀察傅里葉變換后的頻譜圖，也叫功率圖，我們就可以直觀地看出圖像的能量分布：如果頻譜圖中暗的點數更多，那么實際圖像是比較柔和的，這是因為各點與鄰域差異都不大，梯度相對較小；反之，如果頻譜圖中亮的點數多，那么實際圖像一定是尖銳的、邊界分明且邊界兩邊像素差異較大的。
以信號處理過程中的一個例子來詳細說明FFT的效果：假設采樣頻率為Fs，信號頻率為F，采樣點數為N。那么FFT處理之后的結果就是一個點數為N點的復數。每一個點就對應著一個頻率點，而每個點的模值，就是該頻率值下的幅度特性。
展開 
趣談傅里葉。。。
好了，講到這里，相信大家對傅里葉變換以及傅里葉級數都有了一個形象的理解了，我們最后用一張圖來總結一下：
傅里葉分析之掐死教程（完整版）
最后來一張大集合：
四、傅里葉變換（Fourier Transformation）
相信通過前面三章，大家對頻域以及傅里葉級數都有了一個全新的認識。但是文章在一開始關于鋼琴琴譜的例子我曾說過，這個栗子是一個公式錯誤，但是概念典型的例子。所謂的公式錯誤在哪里呢？
傅里葉級數的本質是將一個周期的信號分解成無限多分開的（離散的）正弦波，但是宇宙似乎并不是周期的。曾經在學數字信號處理的時候寫過一首打油詩：
往昔連續非周期，
回憶周期不連續，
任你ZT、DFT，
還原不回去。
（請無視我渣一樣的文學水平……）
在這個世界上，有的事情一期一會，永不再來，并且時間始終不曾停息地將那些刻骨銘心的往昔連續的標記在時間點上。但是這些事情往往又成為了我們格外寶貴的回憶，在我們大腦里隔一段時間就會周期性的蹦出來一下，可惜這些回憶都是零散的片段，往往只有最幸福的回憶，而平淡的回憶則逐漸被我們忘卻。因為，往昔是一個連續的非周期信號，而回憶是一個周期離散信號。
是否有一種數學工具將連續非周期信號變換為周期離散信號呢？抱歉，真沒有。
比如傅里葉級數，在時域是一個周期且連續的函數，而在頻域是一個非周期離散的函數。這句話比較繞嘴，實在看著費事可以干脆回憶第一章的圖片。
而在我們接下去要講的傅里葉變換，則是將一個時域非周期的連續信號，轉換為一個在頻域非周期的連續信號。
算了，還是上一張圖方便大家理解吧：
或者我們也可以換一個角度理解：傅里葉變換實際上是對一個周期無限大的函數進行傅里葉變換。
所以說，鋼琴譜其實并非一個連續的頻譜，而是很多在時間上離散的頻率，但是這樣的一個貼切的比喻真的是很難找出第二個來了。
因此在傅里葉變換在頻域上就從離散譜變成了連續譜。那么連續譜是什么樣子呢？
你見過大海么？
展開 Abaqus非傅里葉熱傳導分析
傳統的熱傳導分析建立在傅立葉定律基礎上，認為熱流溫度梯度為線性分布，而且熱流傳播速度是無限大的。隨著瞬態加熱技術的應用，發現即使在常溫或者高溫下，導熱規律也可能偏離傅里葉定律。非傅里葉導熱模型較傳統的拋物型方程(傅里葉模型)更復雜，其熱傳導特性受到松弛時間的影響。非傅里葉模型具有多種不同形式，目前最常見、最普遍的模型是雙曲型熱傳導模型。
Maxwell首先提出了雙曲型熱傳導模型
能量守恒方程為
聯立式1.1和1.2可得非傅里葉傳熱方程為
式中，T為溫度，t為時間，α為介質的熱擴散率，τ為熱松弛時間。
Abaqus中可以通過UMATHT子程序實現式1.3的熱傳導模型。
建立如下圖所示的有限元模型，模型上下側為溫度邊界。
取τ=0，0.1，0.5，1.5進行計算，平板中心點溫度變化曲線如下圖所示。可以發現，隨著熱松弛時間變大，溫度波動越明顯，達到平衡所需的時間越長。
熱松弛時間τ=0時，式1.1退化為傅里葉傳熱。
可以發現，τ=0時子程序和Abaqus自帶材料屬性計算得到的溫度變化規律一致。
展開 [VirtualLab] 高NA傅里葉顯微鏡單分子成像
摘要
傅里葉顯微鏡廣泛應用于單分子成像、表面等離子體觀察、光子晶體成像等領域，它使得直接觀測空間頻率分布成為可能。
單分子的成像質量取決于高NA 傅里葉顯微鏡系統，例如，在復雜透鏡系統中，每個光學界面的角度相關的菲涅耳損耗和孔徑的衍射。VirtualLab Fusion可以在考慮菲涅耳損耗和孔徑衍射效應的情況下對整個系統進行建模。文中給出了一個案例，并與文獻中的實驗結果進行了比較。
建模任務
在傅里葉平面上成像
在傅里葉平面上成像
方向[0,1,0]的理想vs實驗以及理想vs仿真
? 理想：由 ???? = cos??, ???? = sec?? 計算[Ju?kaitis, Springer US, (2006)]
? 實驗：衍射光闌在傅里葉平面上產生能量密度的波紋。理想模型(紅色曲線)和實驗(黑色曲線)的區別是雙重的：菲涅耳損耗和衍射。
? 仿真：物理光學考慮菲涅耳損耗和物鏡孔徑的衍射，導致在傅里葉平面上產生波紋，與實驗結果吻合較好。
紅色的曲線來自理想系統；黑色曲線來自實驗；藍色和綠色的曲線是從之前的幻燈片中提取的仿真輪廓的相應顏色。
展開 半解析快速傅里葉變換
我們提出了一種處理傅里葉變換的方法，其并不需要二次多項式相位項的抽樣，而是用解析的方法處理。我們提出該理論的同時也給出了幾個例子證明其潛力。
1.簡介
物理光學建模需要頻繁地從空間轉換到角頻域，反之亦然。這可以由電場和磁場分量的傅里葉變換得到。所以，快速傅里葉變換（FFT）算法成了快速物理光學建模的支柱[1]。FFT技術的數值計算量與場分量復振幅所需采樣點的數量近似成線性關系。在光學中，我們經常處理有強波陣面相位的場分量，例如：球形。但是由于2π模，平滑的波陣面相位的復抽樣導致了大量的數值計算工作，甚至在FFT中也是如此。
2.理論2.1 場的表征：提取二次相位
我們從空間域的符號開始，在本文中我們使用符號
對應6個場分量，也就是V = (E, H)：
(1)
在公式1中，我們假設場|
有兩部分：衍射場
和一個平滑的波陣面相位exp(iψ(ρ))。對于得到的結果，我們從波陣面相位中提取二次相位exp(iψ(ρ))并且將余下的部分認為是余項場
。假設exp(iψ(ρ))可由其實數系數C和D = (Dx, Dy)給出：
(2)顯然，在強二次相位情況中，全場
比余項場需要更多的抽樣量。所以，我們的目標是通過FFT且無二次相位項exp(iψ(ρ))抽樣的情況下，計算V?(ρ)的傅里葉變換。
2.2.半解析傅里葉變換
從卷積定理可知： (3)
通常來說，項
必須進行數值計算處理。另一方面，從數學角度[2]我們可知：
(4)
適用于任何復
，只要R{a} ≥ 0且a ≠ 0。
展開 半解析快速傅里葉變換
我們提出了一種處理傅里葉變換的方法，其并不需要二次多項式相位項的抽樣，而是用解析的方法處理。我們提出該理論的同時也給出了幾個例子證明其潛力。
1.簡介
物理光學建模需要頻繁地從空間轉換到角頻域，反之亦然。這可以由電場和磁場分量的傅里葉變換得到。所以，快速傅里葉變換（FFT）算法成了快速物理光學建模的支柱[1]。FFT技術的數值計算量與場分量復振幅所需采樣點的數量近似成線性關系。在光學中，我們經常處理有強波陣面相位的場分量，例如：球形。但是由于2π模，平滑的波陣面相位的復抽樣導致了大量的數值計算工作，甚至在FFT中也是如此。
2.理論
2.1 場的表征：提取二次相位
我們從空間域的符號開始，在本文中我們使用符號對應6個場分量，也就是V = (E, H)：
(1)
在公式1中，我們假設場有兩部分：衍射場和一個平滑的波陣面相位exp(iψ(ρ))。對于得到的結果，我們從波陣面相位中提取二次相位exp(iψ(ρ))并且將余下的部分認為是余項場。假設exp(iψ(ρ))可由其實數系數C和D = (Dx, Dy)給出：
(2)
顯然，在強二次相位情況中，全場比余項場需要更多的抽樣量。所以，我們的目標是通過FFT且無二次相位項exp(iψ(ρ))抽樣的情況下，計算V?(ρ)的傅里葉變換。
2.2.半解析傅里葉變換
從卷積定理可知：
(3)
通常來說，項必須進行數值計算處理。另一方面，從數學角度[2]我們可知：
(4)
適用于任何復，只要R{a} ≥ 0且a ≠ 0。
展開 基于Abaqus的UMATHT子程序進行非傅里葉熱傳導分析
傳統的熱傳導分析建立在傅立葉定律基礎上，認為熱流溫度梯度為線性分布，而且熱流傳播速度是無限大的。隨著瞬態加熱技術的應用，發現即使在常溫或者高溫下，導熱規律也可能偏離傅里葉定律。非傅里葉導熱模型較傳統的拋物型方程(傅里葉模型)更復雜，其熱傳導特性受到松弛時間的影響。非傅里葉模型具有多種不同形式，目前最常見、最普遍的模型是雙曲型熱傳導模型。
Maxwell首先提出了雙曲型熱傳導模型
能量守恒方程為
聯立式1.1和1.2可得非傅里葉傳熱方程為
式中，T為溫度，t為時間，α為介質的熱擴散率，τ為熱松弛時間。
Abaqus中可以通過UMATHT子程序實現式1.3的熱傳導模型。
建立如下圖所示的有限元模型，模型上下側為溫度邊界。
取τ=0，0.1，0.5，1.5進行計算，平板中心點溫度變化曲線如下圖所示。可以發現，隨著熱松弛時間變大，溫度波動越明顯，達到平衡所需的時間越長。
熱松弛時間τ=0時，式1.1退化為傅里葉傳熱。
可以發現，τ=0時子程序和Abaqus自帶材料屬性計算得到的溫度變化規律一致。
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[VirtualLab] 傅里葉變換設置——實例討論
在本文中，我們將通過不同實例的討論來示范如何對VirtualLab Fusion中有三種傅里葉變換算法進行設置。
2. 三種傅里葉變換
? 快速傅里葉變換(FFT)
- 對于不同數值計算，一種標準而高效的算法。
? 半解析傅里葉變換(SFT)
- 一種無需近似的高效重構。
- 二次相的解析處理，類似chirp-z變換。
- 了解更多Z. Wang, et al., Opt. Express 27, 15335-15350 (2019)
? 逐點傅里葉變換(PSF)
- 受靜態相位理論啟發的一種近似方法，但采用純粹的數學形式來表達。
- 對強波前相位是一種高效而精準的方法。
- 了解更多Z. Wang, et al., Opt. Express 28, 10552-10571 (2020)
3. 每個元件的設置
? 傅立葉變換設置
- 對于每個元件和探測器，都可以使用 “傅立葉變換”選項卡。
- VirtualLab Fusion自動選擇所有激活的傅立葉變換選項；不選擇未激活的選項。
- 傅立葉變換的組合影響自由空間中向前傳播過程的建模。(這意味著不僅適用于元件前面的自由空間——它也適用于具有復雜通道配置的情況)
4. 每個元件的設置
? 傅里葉變換設置
?
5. 默認的傅里葉變換設置
? 光源模式和探測器的設置
- 對于光源模式和探測器，默認情況下將激活所有三個傅里葉變換選項。
- 在特殊情況下，對于光源模式或探測器而言，衍射可能無關緊要。
展開 高NA傅里葉顯微鏡單分子成像
摘要 傅里葉顯微鏡廣泛應用于單分子成像、表面等離子體觀察、光子晶體成像等領域，它使得直接觀測空間頻率分布成為可能。單分子的成像質量取決于高NA 傅里葉顯微鏡系統，例如，在復雜透鏡系統中，每個光學界面的角度相關的菲涅耳損耗和孔徑的衍射。VirtualLab Fusion可以在考慮菲涅耳損耗和孔徑衍射效應的情況下對整個系統進行建模。文中給出了一個案例，并與文獻中的實驗結果進行了比較。
建模任務
在傅里葉平面上成像
在傅里葉平面上成像
方向[0,1,0]的理想vs實驗以及理想vs仿真
? 理想：由 ???? = cos??, ???? = sec?? 計算[Ju?kaitis, Springer US, (2006)] ? 實驗：衍射光闌在傅里葉平面上產生能量密度的波紋。理想模型(紅色曲線)和實驗(黑色曲線)的區別是雙重的：菲涅耳損耗和衍射。 ? 仿真：物理光學考慮菲涅耳損耗和物鏡孔徑的衍射，導致在傅里葉平面上產生波紋，與實驗結果吻合較好。
紅色的曲線來自理想系統；黑色曲線來自實驗；藍色和綠色的曲線是從之前的幻燈片中提取的仿真輪廓的相應顏色。 走進VirtualLab Fusion
VirtualLab Fusion的工作流程
? 從Zemax OpticStudio?導入透鏡系統- 從Zemax導入光學系統 [用例] ? 分析實際透鏡系統的成像性能- 分析高NA物鏡聚焦 [用例] VirtualLab Fusion技術
文件信息
延伸閱讀
- 分析高NA物鏡聚焦- 通過瑞利標準對顯微鏡物鏡進行分辨率研究
展開 用上傅里葉變換，很快啊，AI幾秒鐘就能解出偏微分方程(轉載)
傅里葉變換
后來，加州理工大學與普渡大學的團隊，開發了另一種新的方法——“傅里葉神經算子”（FNO）。
FNO比DeepONet在計算上要更加簡單，因為DeepONet還要淺層網絡去近似模擬算子，而FNO有現成的方法可用，就是傅里葉變換。
有些音樂軟件顯示的頻譜圖，其實就是一種傅里葉變換，它把連續變化聲音信號轉換到頻率空間中。
經過傅里葉變換，原來函數之間的卷積，在頻率空間中變成了更簡單的乘積。
FNO的核心是傅里葉層。
傅里葉層會在訓練數據推送到神經網絡的單層之前，對其進行傅里葉變換，然后用一個線性變換R過濾掉其中的高頻部分，再通過傅里葉逆變換的得到原空間的函數。
FNO可以顯著提高求解PDE的速度。在一個求解NS方程的例子中，需要3萬次模擬，FNO求解時間不到一秒，DeepONet耗時2.5秒，而在這種情況下，傳統的求解器需要18個小時。
團隊介紹
該研究的第一作者是Zongyi Li，是加州理工計算機和數學系的一名博士二年級學生。研究方向為機器學習、理論計算機科學和應用數學。
他的導師是英偉達著名女科學家Anima Anandkumar。
作為AI界的風云女性，Anima不僅在研究成果上戰績斐然，在學術圈也是懟天懟地。
此前，她曾在博客公開喊話，強烈反對發論文不給代碼行為，呼吁學術會議強制要求投稿同時必須公開代碼，以對造假論文進行追責、利于行業公平競爭。
并且為了對抗AI學術界對女性的歧視和調侃，她曾在Twitter上大戰LeCun。以一己之力讓頂級學術會議NIPS改了名字，避免了女性參會者的尷尬。
Anima希望學術界更關注女性的學術成就，而不是長相。當有人在她的講座視頻下夸她漂亮時，她的做法是——刪評。
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摘要
傅里葉顯微鏡廣泛應用于單分子成像、表面等離子體觀察、光子晶體成像等領域，它使得直接觀測空間頻率分布成為可能。
單分子的成像質量取決于高NA 傅里葉顯微鏡系統，例如，在復雜透鏡系統中，每個光學界面的角度相關的菲涅耳損耗和孔徑的衍射。VirtualLab Fusion可以在考慮菲涅耳損耗和孔徑衍射效應的情況下對整個系統進行建模。文中給出了一個案例，并與文獻中的實驗結果進行了比較。
建模任務
在傅里葉平面上成像
在傅里葉平面上成像
方向[0,1,0]的理想vs實驗以及理想vs仿真
? 理想：由 ???? = cos??, ???? = sec?? 計算[Ju?kaitis, Springer US, (2006)]
? 實驗：衍射光闌在傅里葉平面上產生能量密度的波紋。理想模型(紅色曲線)和實驗(黑色曲線)的區別是雙重的：菲涅耳損耗和衍射。
? 仿真：物理光學考慮菲涅耳損耗和物鏡孔徑的衍射，導致在傅里葉平面上產生波紋，與實驗結果吻合較好。
紅色的曲線來自理想系統；黑色曲線來自實驗；藍色和綠色的曲線是從之前的幻燈片中提取的仿真輪廓的相應顏色。
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