轉自微信公眾號“敦樸土木”

熟悉巖土工程有限元分析的用戶一定知道，在涉及土層動力分析時，通常需要建立半空間土層模型。理論上來說，半空間模型的范圍越大與實際情況就越接近，因為不嚴格地說，數值分析要模擬的對象本身就是無限寬廣的土層。但是受限于計算能力，我們不可能建立無限寬廣的有限元模型，數值模型必然有其邊界。所以，分析人員就需要對邊界進行相應的處理，以便近似達到模擬無限空間的效果。

我們知道，土層中的振動波可以分為橫波（S波）和縱波（P波）兩大類。無論哪種類型的振動波，在傳遞至有限元模型的邊界處時，若不經處理便都會發生反射，如圖1所示。而在實際情況中，振動波會完全出射，并不會發生反射。所以，我們就需要在邊界處進行相應的設置來消彌振動波在邊界處反射帶來的影響。

圖1 振動波在邊界處的反射

處理該類邊界的方法，通常是在邊界處添加阻尼單元，吸收入射波，如圖2所示。

圖2 DIANA中遠場邊界吸收振動波機制

DIANA中處理的方式略有不同，本期公眾號的內容就是向大家介紹如何在DIANA中實現振動波在邊界處的吸收。出于這一目的，我們建立了一個簡單的測試模型，如圖3所示。建立單層土層模型，僅考慮振動波在豎向的傳遞。對土層模型側面及底部邊界施加固定約束，在頂部施加豎直向下的沖擊荷載。

圖3 遠場吸收邊界測試模型

在未對底部邊界進行處理時，土層內各點處在5秒內的豎向位移如圖4所示。由于振動波在底部邊界處發生反射，且未設置材料阻尼，故能量不發生耗散，振動波在豎向反復傳播。

圖4 未添加遠場邊界時測

試模型內各點位移變化情況

接下來，我們在土層底部添加一個遠場邊界條件。如前文所述，遠場邊界實際上是在邊界處添加阻尼（damper）。但是在添加阻尼時，我們又需要確認阻尼系數的大小，這樣才能正確地模擬出土層的動力響應情況。吸收阻尼系數的大小與土層本身的材料屬性是相關的，其計算方法如下。

c_p與c_s分別對應縱波與橫波的阻尼系數，E 為土體材料彈性模量，μ為泊松比，ρ為密度。

DIANA與其它軟件不同的地方在于，除了使用常規的邊界單元來模擬阻尼外，還可以通過阻尼界面單元將分析模型與理論上無窮厚的土體相連。無窮厚的土體將定義為邊界表面單元，其厚度可設為一個極大值，其材料屬性與土層模型保持一致，如圖5所示。

圖5 無窮厚土體屬性定義

在添加了無窮厚土體模型后，在底部邊界處就無需再設置約束。嚴格意義上來說，這一模型是不完全約束的，但在動力分析中，DIANA支持不完全約束模型的分析。最后，我們來檢查一下阻尼邊界對于振動波的吸收效果。圖6為土層內各點的豎向位移變化情況。由圖6可知，振動波在邊界處未發生反射。由于未設置邊界單元的彈簧剛度，所以土體未回彈，邊界處入射波完全吸收，達到我們的初始預期！

圖6 添加遠場邊界后測

試模型內各點位移變化情況

大家不妨可以試一下DIANA中對于遠場邊界的處理方式，相較于單純地添加一個邊界阻尼單元，DIANA中的這一機制更為合理。此外，DIANA中還提供了完美匹配層（PML）這一功能用于吸收邊界處的入射波，同樣可以起到消彌振動波在邊界處反射的作用。