許多細長結(jié)構(gòu)可以使用二維橫截面進行有效建模。一個典型的假設(shè)是平面應(yīng)變近似，它意味著所有平面應(yīng)變分量都是零。這種假設(shè)適用于面外變形被抑制的情況，例如固定結(jié)構(gòu)的末端。然而，在許多情況下，結(jié)構(gòu)會在面外方向上自由擴展。讓我們來討論如何對這種有時被稱為廣義平面應(yīng)變的情況進行建模。

利用平面應(yīng)變、平面應(yīng)力和廣義平面應(yīng)變條件

在平面應(yīng)變條件下，物體不能在面外方向上擴展。在此方向上，通常存在由非零泊松比引起的面內(nèi)應(yīng)變耦合應(yīng)力。另一方面，當(dāng)研究薄板時，平面應(yīng)力假設(shè)更加實用。在這種情況下，材料在面外方向上自由收縮或膨脹，橫向應(yīng)力為零。

如果與面內(nèi)尺寸相比，結(jié)構(gòu)在橫向上很長，但在橫向上仍不受約束，那么上述假設(shè)都不適用。這時我們可以采用廣義平面應(yīng)變條件。

廣義平面應(yīng)變狀態(tài)公式

平面應(yīng)變公式的一種可能的推廣是假設(shè)應(yīng)變獨立于面外坐標(biāo)。在 COMSOL Multiphysics? 軟件中，可以借助截面的二維幾何圖形和固體力學(xué) 接口來實現(xiàn)這個假設(shè)，其中平面應(yīng)變公式是默認選項。

假定應(yīng)變張量的分量僅僅是面內(nèi)坐標(biāo) x 和 y 的函數(shù)（可能是時間）：

(1)

在小應(yīng)變的假設(shè)前提下，應(yīng)變張量的分量與位移場相關(guān)：

(2)

上述方程有下列三維解：

(3)

其中 a、b 和 c 是常數(shù)系數(shù)。

相應(yīng)的平面應(yīng)變是：

(4)

這種應(yīng)變狀態(tài)不同于標(biāo)準(zhǔn)平面應(yīng)變假設(shè)，原因在于法向面外應(yīng)變非零，在橫截面上做線性變化。在截面 z = 0 時，變形位于平面內(nèi)，并且通過面內(nèi)位移分量 u（x，y） 和 v（x，y） 進行充分表征。

法向面外應(yīng)變表達式中的系數(shù) a、b 和 c 可作為額外的自由度（DOF）引入到整個模型中（全局變量）。我們可以使用結(jié)構(gòu)力學(xué) 接口提供的外部應(yīng)變 特征來引入額外的應(yīng)變貢獻。

當(dāng)分析應(yīng)力光學(xué)效應(yīng)時，比如由幾層不同的材料組成的雙折射波導(dǎo)（如絕緣體上硅波導(dǎo)），廣義應(yīng)變公式非常重要。應(yīng)力光學(xué)效應(yīng)教程模型展示了這種情況。

廣義平面應(yīng)變公式的應(yīng)用實例

為了說明這種方法的效率，我們考慮一個簡單的梁狀結(jié)構(gòu)，它由兩個擁有方形橫截面的 1 cm 層組成。這些層由彈性和熱性能差別極大的材料制成的：鋁和尼龍。數(shù)據(jù)來自 COMSOL Multiphysics 軟件內(nèi)置的“材料庫”。面外 z 方向上的長度 L = 20 cm。假定該結(jié)構(gòu)是在高溫下制造的。由于材料的熱膨脹性能不一致，當(dāng)冷卻到工作溫度時，結(jié)構(gòu)中會累積殘余熱應(yīng)力。這使得結(jié)構(gòu)在面外方向上輕微彎曲。

下圖顯示了一個總位移繪圖，以及完整的三維模型和二維廣義平面應(yīng)變條件：

利用給定三維位移場的解析解，將橫截面內(nèi) u（x，y） 和 v（x，y） 的二維解向面外 z 方向拉伸。

三維解需要約 32000 個自由度，而二維解大約只需要 250 個自由度。

下圖顯示沿其中一個邊的面外應(yīng)變和應(yīng)力的變化。

沿 z 軸的應(yīng)變（上）和應(yīng)力（下）。

大約 80% 真實三維結(jié)構(gòu)中的應(yīng)力和應(yīng)變場與廣義平面應(yīng)變理論的預(yù)測相似。只有在應(yīng)力趨于零的自由端附近，應(yīng)變場開始偏離橫截面內(nèi)的線性分布。

在 COMSOL Multiphysics? 中添加廣義平面應(yīng)變條件

為了引入廣義平面應(yīng)變近似所需要的變化，一種方法的第一步是使用二維組件和固體力學(xué) 接口，然后在“模型開發(fā)器”樹中添加以下節(jié)點：

“模型開發(fā)器”樹，顯示添加廣義平面應(yīng)變條件所需的節(jié)點。

除了二維問題的標(biāo)準(zhǔn)設(shè)置之外，您還必須執(zhí)行以下步驟。首先，在全局方程 節(jié)點中，將 a、b 和 c 系數(shù)添加為自由度（DOF）。請注意，本文沒有為這些變量設(shè)置任何方程。因此，除了變量名稱以外，所有輸入字段都保留默認值。

全局方程節(jié)點顯示 a、b 和 c 系數(shù)。

在變量 節(jié)點中，根據(jù) a、b 和 c 定義面外法向應(yīng)變分量 eZ。

變量節(jié)點，顯示變量 eZ 的表達式。

其次，將額外的應(yīng)變分量添加到外部應(yīng)變 節(jié)點的應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系中。請注意，在使用 Hooke 定律計算彈性應(yīng)力應(yīng)變之前，您在此節(jié)點中輸入的任何表達式都將從總應(yīng)變中減去。通常，這個節(jié)點可以用來包含非彈性效應(yīng)；例如由各種機電多物理效應(yīng)引起的應(yīng)變。在這里，我們只是將它作為一種機制來增加額外的平面應(yīng)變分量，在平面應(yīng)變公式中此分量默認為零。

外部應(yīng)變節(jié)點，顯示額外的應(yīng)變分量。

最后，在弱貢獻節(jié)點中，添加由面外應(yīng)力完成的額外的虛擬工作。由此建立了一個（弱貢獻 形式）方程來確定 a、b 和 c，在這里，solid.d 是定義在固體力學(xué) 接口中的 z 方向的厚度。

弱貢獻節(jié)點，顯示弱表達式。

替代方程

您也可以跳過上面的第三步和第四步，直接將應(yīng)變變量 eZ 插入到線性彈性材料節(jié)點的方程中。為此，請確保已啟用方程視圖。

方程視圖設(shè)置。

這樣，z 方向的新應(yīng)變直接變成材料模型的一部分，并且被添加到線彈性材料 節(jié)點所生成的弱表達式中。

結(jié)束語

我們在本文中展示了如何使用 COMSOL Multiphysics 建模功能來模擬面外方向上自由延伸的細長結(jié)構(gòu)。通過使用二維廣義平面應(yīng)變近似，我們能夠顯著減少計算工作量，同時再現(xiàn)結(jié)構(gòu)中可能發(fā)生的面外彎曲——這種三維效應(yīng)在壓電器件和光波導(dǎo)等應(yīng)用中非常重要。我們也可以引入結(jié)構(gòu)的面外剪切，這對于某些壓電產(chǎn)品應(yīng)用非常重要。

來源：COMSOL