在進(jìn)行網(wǎng)格劃分時，用戶需根據(jù)分析步的類型，網(wǎng)格位移插值函數(shù)的階數(shù)選擇網(wǎng)格的類型（如圖1所示）。通常ABAQUS會默認(rèn)采用縮減積分單元（Reduced Integration），本文主要介紹相關(guān)概念。以下內(nèi)容參考了《塑性非線性分析原理》等書籍。

 

圖1

 

一、完全積分Full Integration和縮減積分Reduced Integration的區(qū)別

根據(jù)有限元理論，對平面4節(jié)點(diǎn)單元，如果在一個方向上采用2個高斯積分點(diǎn)，其所計算的剛度矩陣是精確的。因此，4節(jié)點(diǎn)4邊形的2*2=4個高斯積分點(diǎn)方案為完全積分方案，而縮減積分方案（4節(jié)點(diǎn)4邊形采用1*1個高斯積分點(diǎn)）不能對剛度矩陣進(jìn)行精確積分。（圖2）

 

圖2

 

二、完全積分方案中的剪切自鎖shear locking現(xiàn)象

 

當(dāng)模擬具有彎曲特征的問題時，如果采用完全積分方案單元（如平面4節(jié)點(diǎn)應(yīng)變單元CPE4，平面4節(jié)點(diǎn)應(yīng)力單元CPS4，三維9節(jié)點(diǎn)單元C3D8等）進(jìn)行網(wǎng)格劃分，會出現(xiàn)剪切自鎖的現(xiàn)象，此時加密網(wǎng)格也不能解決問題。為了說明問題，考察如圖3所示的純彎梁。由于平面4節(jié)點(diǎn)單元采用線性的位移插值函數(shù)，因此變形后的網(wǎng)格必為一梯形。變形后單元的內(nèi)角不再保持為直角，也即產(chǎn)生了剪應(yīng)變，這與實(shí)際情況不同。換句話說，這類單元在剪切時過于剛硬，與實(shí)際情況不同。由于采用了完全積分方案，剛度矩陣被精確積分，剪切自鎖現(xiàn)象將對計算結(jié)果產(chǎn)生影響。即使加密網(wǎng)格，計算結(jié)果也不會有明顯的改善。讀者可以自行對一懸臂梁算例進(jìn)行驗(yàn)證。

 

需要指出如果采用平面8節(jié)點(diǎn)單元，如CPE8，位移在邊上2次分布，可以反映彎曲特征，不會產(chǎn)生剪切自鎖現(xiàn)象。

 

圖3

 

三、縮減積分方案中的沙漏現(xiàn)象Hourglass

如果采用縮減積分方案，平面4節(jié)點(diǎn)單元只在單元中心點(diǎn)設(shè)置一個積分點(diǎn)，該點(diǎn)變形后的剪切應(yīng)變?yōu)?，不會出現(xiàn)剪切自鎖現(xiàn)象。未能對剛度矩陣進(jìn)行精確積分的誤差可以通過加密網(wǎng)格來彌補(bǔ)，也即加密縮減積分網(wǎng)格的數(shù)量可以有效改善計算結(jié)果。

 

但是同時注意到，單元中心點(diǎn)（積分點(diǎn)）x和y方向上的長度也沒有變化（圖4），基于該點(diǎn)所計算的整個單元的應(yīng)變能將等于0，單元表現(xiàn)為零剛度，單元過軟，稱為沙漏hourglass現(xiàn)象。在網(wǎng)格較粗時，零剛度現(xiàn)象將通過網(wǎng)格進(jìn)一步擴(kuò)散，從而產(chǎn)生無意義的結(jié)果。為了限制沙漏現(xiàn)象的擴(kuò)展，ABAQUS引進(jìn)了“防沙漏剛度”Hourglass stiffness，一般情況下采用默認(rèn)值即可，如果確有需要可在圖1中的Hourglass control選項(xiàng)中設(shè)置。

 

圖4

四、小結(jié)

如果模型中有比較明顯的彎曲現(xiàn)象，為避免出現(xiàn)剪切自鎖現(xiàn)象，優(yōu)先選擇二階單元，或者采用縮減積分方案（網(wǎng)格需要更細(xì)，通常厚度方向4層以上）。

來源： ABAQUS在巖土工程中的應(yīng)用