J積分、應力強度因子和T應力作為重要的斷裂參數被廣泛應用于斷裂力學中，并且在給定載荷條件下對假定缺陷結構的這些參數的準確計算是使用斷裂力學進行設計的一個重要方面。對于這些參數的解析解大多為經驗公式，且只能求一些特殊情況下的解析解，另外研究對象只受低于使其裂尖斷裂的荷載作用，這對利用這些斷裂參數對裂紋擴展機理的深入研究產生了局限性，因此利用ABAQUS有限元軟件求解其數值對基于斷裂參數研究裂紋擴展機理具有重要的現實意義。

• 應力強度因子
  

目前確定材料應力強度因子的方法可分為兩種，一是近場法，另一種是遠場法。所謂近場法就是將得到的裂尖近場信息直接代入應力強度因子的近場解；而遠場法是將試件遠場的信息（如應力，載荷或位移等）代入應力強度因子的遠場解的方法。

（1）應力強度因子的近場解

近場解以裂紋尖端（裂尖）為理論基礎，對于線彈性均勻介質，當載荷隨時間變化，穩定裂紋尖端的漸近位移場與靜態情況完全類似。通過裂紋面上各點處垂直于裂紋面的位移，

由裂縫尖端位移場可得到I型裂紋應力強度因子的近場解：

其中，“＋”對應上裂紋面，“－”對應下裂紋面。

（2）應力強度因子的遠場解

應力強度因子的遠場解與試件的遠場信息，即試件的尺寸、形狀，試件所受的載荷等有關，通常寫成下面的形式：

其中：

式中表示的遠場荷載；a為裂紋長度，為平行于a的構件尺寸，該解析解適用于：

• J積分

    其中J積分由Rice提出，被廣泛接受作為線形和非線性材料響應的力學參數,它與裂紋擴展的能量釋放率相關，并且作為裂尖變形強度的度量參數，與應力強度因子也相關，且其是基于能量守恒概念引入的參數，因而對裂紋尖端應力奇異性的依賴程度較低，所以相比于應力強度因子，處理非線性斷裂問題時無需對裂紋尖端點特殊處理，因此基于J積分在斷裂評估方面的優點和重要性,J積分數值計算方法的準確性對斷裂力學實際應用尤為重要。

等效區域積分法是ABAQUS計算J積分的主要數值方法，等效區域積分法是一個圖1所示的在包含裂紋尖端的回路上的能量積分，即：

為了便于數值計算可將回路積分轉換為圖1所示的積分區域為A的區域積分，即：

   

其中：是用于確保被回路包圍的等效積分區域足夠光滑的權函數，等效積分區域如圖1所示，在上時，；在C上時=0，是裂紋擴展方向上的單位矢量；是在裂紋面和上的表面張力；為單位體積所受的體力，為熱應變；，對彈性材料，是彈性應變能。

 

圖1 等效積分區域    

為了計算這個積分,在ABAQUS中需要定義包圍裂紋尖段節點的單元環帶作為等效積分域，且可以多個創建不同的回路積分域（圍線積分域），因此該積分的求解也稱為圍線積分求解,第一回路積分域由直接與裂紋尖端節點連接的單元組成,第二個積分域由那些與第一積分域單元共用節點的單元組成,對于下一個積分域以此類推。

• 應力強度因子與J積分的關系

     對于線彈性材料I裂紋應力強度因子與等效區域積分J（J積分）間的關系為：

；

其中對于平面應力問題，；對于平面應變問題，；

為I裂紋應變能釋放率，研究表明對線彈性材料其在數值上等于J積分值。

問題描述

本文給出了四個示例用于驗證ABAQUS對圍線積分的計算能力，并與部分對應解析解進行了對比。第一個示例是在模式I加載下的線彈性，平面應變，雙邊裂縫試樣，Bowie（1964）為其應力強度因子提供了一系列解析解;第二個是軸對稱試樣，帶有幣型裂紋;第三個是模式I加載下的單邊裂縫試樣;第四個是雙材料試樣，沿兩個材料之間的界面具有界面裂縫。對于第一種情況，還使用三維模型，在厚度方向上具有一層單元，以驗證軟件計算J積分作為沿裂紋前沿的位置的函數的能力。在這種情況下，J積分沿裂縫前沿應該是恒定的，即與從二維平面應變分析獲得的值相同。另外，子模型技術用于演示如何在裂紋尖端周圍獲得更準確的結果。基于傳統的有限元方法研究了所有四個實例。此外，還基于擴展有限元方法（XFEM）研究了第一和第三示例。

模擬說明 | 雙邊裂縫試樣模型

• 幾何模型與網格劃分
  

第一個例子的幾何結構如圖2所示，平面應變結構是板的一部分，在其中心線處有對稱的邊緣裂縫，其寬度為板的一半。通過施加到試樣頂部和底部表面的均勻拉力實現模式I加載。 當使用常規有限元方法時，由于關于于x =0和y =0的對稱性，可以僅取模擬板的右上象限進行模擬計算，四分之一模型的網格如圖3所示。在全模型裂縫的情況下，左側和右側圍線積分在Abaqus/CAE中定義，如圖4所示，裂紋擴展的法線或q向量可用于定義裂紋擴展方向。

圖2 雙邊裂縫試樣幾何模型

圖3 雙邊裂縫試樣有限元模型

圖4 粗體所示的縫裂間隙、左右裂縫尖端及q矢量的定義

裂縫尖端周圍的區域可以如圖5所示進行分區，并用四邊形主導單元進行掃掠網格劃分。

圖5 裂縫尖端分區及掃掠網格劃分技術

• 邊界條件及荷載

加載對稱邊界條件，如圖6所示；頂面加載100lb/in2的拉應力。

圖6 邊界條件與荷載

• 模擬結果

試樣變形云圖如圖7所示。

圖7 位移云圖

對于雙邊裂縫試樣的四分之一模型，對稱性用于計算輪廓積分結果。因此，圍線積分的結果在輸出之前乘以2，輸出結果如圖8所示：

圖8 應力強度因子與J積分數值計算結果

J積分，應力強度因子和T應力應該是路徑無關的，ABAQUS可以根據要求對多個圍線進行積分計算，第一圍線積分區域通常位于裂紋尖端處，第二個積分域由那些與第一積分域單元共用節點的單元組成,對于下一個積分域以此類推。圍線積分應該與路徑無關，從圖8所示結果亦可得證，因此各圍線之間的值的變化可以作為用于確定裂縫參數的網格質量的指標。

來源：ABAQUS大世界