1、傳統位移公式

傳統位移單元的積分點和單元的階數相同遵循高斯積分法，這被稱為完全積分。

換句話說,完全積分意味著數值積分方法對未發生幾何扭曲單元的應變能的所有分量是精確的。

注釋Ansys使用14點積分模式，也認為是完全積分。

2、剪切和體積鎖定

傳統基于位移的單元有兩個問題:剪切鎖定和體積鎖定：

剪切鎖定導致彎曲行為過分剛化(寄生剪切應力)。當細的構件承受彎曲時，這是一種幾何特性。

體積鎖定導致過度剛化響應。這是材料當泊松比接近或等于0.5 時的一種材料特性。

剪切鎖定

高階單元完全積分可以解決剪切鎖定問題，低階單元完全積分存在剪切鎖定問題！

剪切鎖定

記住,對一個純彎的梁而言，剪切應變是零。

體積鎖定

材料行為幾乎或完全不可壓縮時(泊松比接近或等于0.5)，在完全積分的單元中發生體積鎖定。

-超彈材料或塑性流動可發生不可壓縮；

-單元中產生的偽壓應力導致單元對不會引起任何體積變化的變形“過度剛化”

-體積鎖定也會引起收斂問各種應力狀態都會發生體積鎖定，包括平面應變、軸對稱及3-D

應力

-對平面應力問題不會發生體積鎖定，因為平面外的應變用于滿足體積不可壓縮條件。

體積鎖定

可以將應力分解為體積分量（-P）和偏應力分量（S）:

體積鎖定

靜水壓力（p）由體積模量（K）和體積應變（evol）的乘積來確定：

1-如果泊松比趨近或等于0.5

-體積模量K 將會非常大或無窮大

-體積應變evol將會趨近或等于0

-這就是所謂的幾乎或完全不可壓縮材料行為

2-幾乎或完全不可壓縮材料存在數值處理上的困難，且會出現過度剛化現象。

-這在體積變形問題中顯而易見。

-從計算的觀點出發，幾乎或不可壓

縮材料問題一般要區別對待。

體積鎖定

用傳統單元靜水壓力結果云圖如下所示

3、單元積分方法

結構單元有兩類：

-高階單元

-低階單元

3.1完全積分（FullintegrationwithBmethod）

B-bar方法（也叫做選擇性縮減積分，持續膨脹單元，常壓逼近）  用低一階的積分方法對體積項積分。

應力狀態可以分為靜水壓力(p)和偏應力分量(s)。

在上述方程中,evol是體積應變e是偏應變。K是體積模量而G是剪切模量

應變通過下列公式跟位移關聯起來：

當計算B時,我們對于體積分量和偏分量部分可用兩種不同的積分階數。

B的體積分量和偏應力分量是采用不同的積分階次來計算的。只有體積分量Bv是用縮減積分，這就是此方法被稱為選擇性縮減積分或者常壓力方法。它又稱為B-bar方法是因為B在體積項上取均值

對Bv進行縮減積分實際上是為了使它“弱化”，因為沒有對其完全積分。這便使得幾乎不可壓縮行為可解并且能夠克服體積鎖定。

然而，因為偏分量Bd保持不變，寄生剪應變依然存在，所以此公式仍然易受剪切鎖定影響。

3.2一致縮減積分（Uniformreducedintegrationwithhourglass  control）

一致縮減積分(URI)采用比實際數值需要的積分階次低一階的積分方法。

這和選擇性縮減積分有點相似，但體積分量和偏分量都有縮減積分由此公式可以導出一個比較柔性的公式用來消除剪切和體積鎖定。

-體積項的縮減積分可用于幾乎不可壓縮問題的求解；

-偏分量的縮減積分可以防止彎曲問題的剪切鎖定。

不幸的是，偏分量的縮減積分會導致零應變能變形模式，稱為零能量模式或沙漏模式。這是不可控制的變形模式，它會導致不符合實際的行為。

如下圖，對于具有一個積分點的低階單元，此兩種變形模式中的單個積分點都未能捕獲任何應變能.

URI單元有很多好處：

–能應用于幾乎不可壓縮問題上來克服體積鎖定

–能應用于彎曲問題而不需要擔心剪切鎖定

–不需添加額外的自由度，并且可以減少單元計算時間和文件尺寸（如*.esav

文件）。對于非線性問題，尤其可以得到高效解。

另外，用戶在用URI時需要考慮下列問題:

–低階URI單元容易沙漏，因此Simulation沒有設置自動啟動。

–低階URI單元有些太柔性化，特別是對于彎曲占優問題，所以有必要進行較細的網格劃分來避免對位移的高估

–低階和高階URI單元的積分公式都比完全積分低一階。這意味著對低階單元應力在1點求值，對高階單元在2x2或2x2x2點求值。因此，需要更多單元來捕捉應力梯度

–URI 不能單獨用于完全不可壓縮分析。對這種情況URI可以和混和u-P聯合求解（以后討論）

3.3增強應變公式（Enhancedstrainformulation）

增強應變公式（又名不協調模式,假設應變）給低階四邊形/六邊形單元添加內部自由度。位移梯度張量用附加的‘增強’項修正,因此得名“增強應變”。

--增強應變單元可用于剪切或體積鎖定時（如彎曲占優勢的問題或幾乎不可壓縮材料行為）；

--可用增強應變單元的四邊形/六邊形單元有兩種:

該公式僅適用于四邊形或六邊形低階單元.

-接近矩形時單元表現最好，而呈梯形時表現不佳，這是增強應變技術的局限性；

-高階單元會出現剪切鎖定。

記住增強應變為彎曲和幾乎不可壓縮應用而設計

-增強應變單獨不能用于完全不可壓縮分析，但也可以與混合U-P

公式結合使用（以后討論）；

-一般在體積變形為主導時不推薦和混合U-P公式結合使用。本例中B-Bar和混合U-P一起使用會更加有效。

增強應變有上述優點，但更耗費計算機時間

-附加內部DOF被凝聚在單元層次，但仍額外消耗計算機時間(和更大的*.esav 文件)

四邊形PLANE182和六邊形SOLID185支持增強應變

-如果單元扭曲，則增強應變在彎曲中將不利，尤其是梯形單元

增強應變的補充說明:

-默認情況下，增強應變法只用于四邊形或六面體，不可用于退

化形狀。退化形狀一般會自動使用退化形函數得到健壯的非線性解。

-使用ETCONTROL,,OFF命令，常規形函數（使用增強應變）  可用于退化形狀，然而我們不建議這么做；

-使用ETCONTROL,,OFF命令，常規形函數（使用增強應變）  可用于退化形狀，然而我們不建議這么做；

3.4簡化增強應變（Simplifiedenhancedstrainformulation）

簡化增強應變（也叫做附加位移形式，“氣泡函數”）可以認為是剛才討論過的增強應變的一個子集。

-對低階四邊形和六面體單元，簡化增強應變具有的額外內部自由度只用來防止剪切鎖定，而不能處理體積鎖定；

-雖然內部自由度是用來增強形函數以提供更多的柔性（在E節中有討論），但這也會導致單元的“軟化”，從而使得體積鎖定會間接的減輕；

-然而，如果考慮材料的不可壓縮性，用戶最好不要用簡化增強應變

因為它不能直接處理體積鎖定。

對四邊形和六面體，下面兩個18x單元可以使用簡化增強應變:

-PLANE182 whenKEYOPT(1)=3

-SOLID185 whenKEYOPT(2)=3

-和增強應變相似，對于扭曲單元簡化增強應變沒多少優勢，特

別是梯形單元.

對于2D單元（PLANE182),要添加4個內部自由度，對于3D單元

（SOLID185），要添加9個內部自由度。這些自由度被濃縮到

單元層級。

簡化增強應變可以用到出現剪切鎖定而沒有體積鎖定的情況

-它是增強應變的一個子集，所以它對于不考慮體積鎖定的問題簡

單且有效

-簡化增強應變可以和混和u-P公式結合用到幾乎或完全不可壓縮材料形式

-這種情況下的應用，簡化增強應變與常規增強應變結合混和u-P

沒有什么區別

-如E節所強調，對于體積項，如果要和混和u-P結合，增強應變就不必用到附加內部自由度。因此，如果要用混和u-P公式則簡化增強應變和增強應變就沒什么區別

4、混合U-P公式

混合U-P單元(又名雜交單元或Herrmann單元)通過求解靜壓力

（或體積應變）做為附加自由度來處理體積鎖定。

-在位移和靜水壓力(或體積應變)自由度上使用不同的插值函數；

ANSYS中有三個不同的混合u-p公式，可用于幾乎或完全不可

壓縮分析

-幾乎不可壓縮彈塑性材料(Mixedu-PI)

-完全不可壓縮超彈性材料(Mixedu-PII)

-幾乎不可壓縮超彈性材料(Mixedu-J)

當完全不可壓縮超彈性材料處于非平面應力狀態時，只有Mixed  u-PII在Simulation中自動激活。

當Mixedu-P啟動后，靜水壓力被當作獨立的自由度求解，矩陣方程是

注意:因為材料完全不可壓縮[Kpp]=0,

因為拉格朗日乘子Lagrange Multipliers(內部自由度DOFP)  保存在總體剛度陣中，因此用這個公式必須用直接求解器。迭代求解器如PCG是不能用于處理病態矩陣結果。

對于超彈性，當前體積和原始體積的比值就是體積比J

其中V和Vo 分別是單元對應的最新體積和原始體積如前一情況，必須滿足體積相容約束

-對完全不可壓縮超彈性材料，不會有體積變化

–使用J，可以確定體積變化

-對于完全不可壓縮的情況，J應當等于1。也就是說最終體積和

原始體積應當相等（無體積變化）

體積比J應為常數（J＝1），這對完全不可壓縮材料是正確的:

這導致了下列體積協調性方程:

默認的Vtol值是1e-5.當這個條件不滿足時，SolutionInformation分支會記錄下來.

如果因為Mixedu-P體積協調條件沒有得到滿足導致收斂失敗，  這時放松容差或許有幫助。

注意:放松容差會有允許材料中有少許的壓縮性。在其他求解收斂項（如增加子步數）都嘗試后，這種方法僅作為最后的辦法。

Simulation用戶不能對體積協調容差（volumetriccompatibility  constraints）進行直接操作,但是可通過CommandObjects完成.

SolutionInformation分支會記錄下這種改變

對于一個完全不可壓縮問題，如果所有的邊界節點都具有確定的位移，則不會有唯一解。這是由于靜壓力（內部自由度）獨立于變形的緣故。靜壓力要通過受力/壓力的邊界條件來確定，否則就不能計算靜壓力——例如，得不到唯一解。對這種問題，若含有至少一個無邊界條件的節點，便可解。

若壓力自由度個數（Nn）大于激活（無約束的）位移自由度個數（Nd），則會出現過約束并導致鎖定。對于2D問題，它們的理想比值（Nd/Np）應為2/1,對于3D問題應為3/1。網格細分可以克服過約束問題，尤其是那些沒有位移約束的區域.

Simulation用Mixedu-P提供了擴展的單元技術解決幾乎不可以壓或者完全不可壓縮材料。

-Mixed u-P,就其本身而言，解決了體積鎖定的問題

-對完全不可以壓縮超彈性材料，Simulation必須用到mixedu-P公式.

-對幾乎不可以壓縮彈塑性材料，Simulation不會自動打開mixed u-  P

-Mixedu-P公式可以和B-bar,URI,EnhancedStrain, 或Simplified  Enhanced Strain 等公式聯合使用于幾乎不可以壓縮材料，用commandobjects的方式

5、單元控制

5.1單元階數控制

5.2單元積分控制

單元控制ElementControl 設置為手動，用戶可以手動切換完全積分和縮減積分項

用戶可零部件分支下的commandobject執行下列keyopt命令來覆蓋默認的keyoption設置:

KEYOPT, ITYPE, KNUM, VALUE

-ITYPE是單元類型編號

-KNUM是KEYOPT編號

-VALUE是KEYOPT值

例如如果單元類型#1是PLANE182,加強應變可以用下列命令啟動:

來源：CAE技術聯盟