優(yōu)化就是利用各種優(yōu)化算法求解實際問題的過程。新手在剛開始接觸優(yōu)化問題的時候往往很疑惑，不知道該怎么利用算法解決實際工程問題。今天就結合經(jīng)典的最速下降法（梯度法）來介紹如何用純算法進行優(yōu)化，并將之與optistruct的優(yōu)化結果進行對比。采用的例子見圖1，一個簡單的懸臂梁一段被約束，另一端受到垂向力100N，梁尺寸：長1000mm，截面尺寸40X40mm。現(xiàn)在考慮在不增加重量、甚至減重的情況下如何進行優(yōu)化。

                                      圖1 懸臂梁實例

1.最速下降法優(yōu)化

     1.1 最速下降法介紹

     最速下降法是一種經(jīng)典的優(yōu)化算法，該算法利用迭代點處的一階導數(shù)和二階偏導數(shù)，使得每步搜索方向都沿著函數(shù)值下降最快的方向（即負梯度方向），因此最速下降法又被稱為梯度法。梯度法的優(yōu)點是開始時步長很大，有利于加快計算速度，迭代過程簡單易懂，方法和程序都較為簡單，容易實現(xiàn)；但是梯度法每次迭代都是沿迭代點的負梯度方向搜索，相鄰兩代的搜索方向正交，因此目標函數(shù)的性質(zhì)對收斂速度有極大影響，假設目標函數(shù)的等值線與坐標軸正交，兩步即可完成收斂，若是斜交，則搜索路徑十分曲折，且越是靠近極值點，收斂越慢，因此各大優(yōu)化軟件往往在優(yōu)化開始時使用最速下降法，達到邊界約束時，改用其它算法，如可行方向法，綜合各個算法的優(yōu)點，加快優(yōu)化進程。

     1.2最速下降法的迭代公式

      首先求解出n維目標函數(shù)f在初始點X0的梯度向量：                         

      它是該點函數(shù)值增加最快的方向，它的負方向則是函數(shù)值下降最快的方向。

      由迭代下降公式：

      取搜索方向S(k)為負梯度方向，該方向的單位向量可表示為：

      分母數(shù)值代表該點梯度向量的模。

      確定了搜索方向，還需要確定迭代的最優(yōu)步長，即αk，有兩種方法求取αk，一種是利用一維搜索的黃金分割法，另一種是利用泰勒展開式將X(k+1）在X(k)點展開成二次函數(shù)求取駐點而得。它的解析式見下式：

     式中的H矩陣代表X(k)點的Hesse矩陣。

      1.3最速下降法的計算步驟

      1）設定初始點X0,允許誤差ξ,迭代代數(shù)k=0;

      2）計算迭代點處的梯度和方向；

      3）若滿足收斂條件，結束計算，不滿足收斂，進入下一步；

      4）計算最優(yōu)步長αk；

      5）迭代計算得到下一代的點X(k+1)：

      6)令k=k+1,轉步驟2重新計算。

2.建立懸臂梁的優(yōu)化模型

      2.1結構解析

      懸臂梁一段被完全固定，另一端受到垂向力100N，根據(jù)經(jīng)典材料力學計算公式，其剛度K=3EI/L^3，I=b*h^3/12。

      經(jīng)計算桿端垂向位移為0.744mm,解析解和有限元計算結果完全一致。現(xiàn)在尋求在不增加重量的情況下，提高該懸臂梁的剛度，從剛度的計算公式可知，減小橫截面寬度b，提高截面高度h有利于增加懸臂梁的剛度。

      2.2懸臂梁截面優(yōu)化模型的建立

      所有的優(yōu)化問題都要經(jīng)過轉化為數(shù)學模型方能利用各種優(yōu)化算法進行求解。優(yōu)化數(shù)學模型又包含三個要素：

      1）優(yōu)化變量；

      2）目標函數(shù)

      3）約束

     優(yōu)化變量本例很明了，就是截面尺寸，目標函數(shù)是剛度最大，歸根結底是讓f=b*h^3最大，為了利用基于下降迭代的最速下降法，目標函數(shù)可以定義為f的倒數(shù)或相反數(shù)，此處定義為：g=1/(h^3)*b,之所以將b設立為分子，是因為上文已經(jīng)分析過，增大截面高度更有利于提高剛度，因此如果截面高度增加，為了減輕質(zhì)量或維持質(zhì)量不變，必須減少截面寬度。因此結合實際問題設立合理的目標函數(shù)也是利用好優(yōu)化的一大要點。

      最速下降法的MATLAB實現(xiàn)代碼見圖2，使用optistruct進行詳細優(yōu)化的過程附在其后。