一、單元的完備性與協(xié)調(diào)性

在單元的形狀、節(jié)點(diǎn)數(shù)目確定后，單元位移函數(shù)的選取是影響有限元解的精確性的關(guān)鍵?？梢宰C明，在位移函數(shù)滿足以下條件時(shí)，有限元的解答一定是收斂于真實(shí)解的，即隨著單元尺寸的減小，解答將趨于精確解。

從物理意義上講：

1、位移函數(shù)中應(yīng)包含剛體位移，若不包含，則單元節(jié)點(diǎn)位移為單元?jiǎng)傮w位移時(shí)，單元會(huì)產(chǎn)生非零應(yīng)變。

2、位移函數(shù)應(yīng)能反應(yīng)單元的常應(yīng)變狀態(tài)，因?yàn)樵趩卧叽缵呌诹銜r(shí)，單元的應(yīng)變應(yīng)趨于常數(shù)。

3、位移函數(shù)在單元內(nèi)要連續(xù)，在單元之間的邊界上要協(xié)調(diào)。以免連續(xù)模型用離散模型代替后產(chǎn)生不連續(xù)，即單元邊界處產(chǎn)生裂縫或重疊。

滿足1、2的單元稱為完備性單元，滿足條件3的單元稱為協(xié)調(diào)性單元。

從數(shù)學(xué)意義上講：

完備性準(zhǔn)則：若能量泛函（如勢(shì)能）中所出現(xiàn)的位移函數(shù)的最高階導(dǎo)數(shù)是m階。則位移函數(shù)至少是m階完全多項(xiàng)式。

協(xié)調(diào)性準(zhǔn)則：若能量泛函（如勢(shì)能）中所出現(xiàn)的位移函數(shù)的最高階導(dǎo)數(shù)是1階，則位移函數(shù)在單元邊界上保持連續(xù)，也即是位移在整個(gè)求解域內(nèi)連續(xù)，應(yīng)變和應(yīng)力在單元內(nèi)連續(xù)，在單元邊界上不連續(xù)，該類型單元稱為C0型單元。若最高階導(dǎo)數(shù)為2階，則不僅位移函數(shù)在單元邊界上保持連續(xù)，位移函數(shù)的導(dǎo)數(shù)也在單元邊界上保持連續(xù)，也即是位移在整個(gè)求解域連續(xù)，應(yīng)變和應(yīng)力不僅在單元內(nèi)連續(xù)，在單元邊界上也連續(xù)，該類型單元稱為C1型單元。

單元即完備又協(xié)調(diào)構(gòu)成有限元解收斂的充分條件，完備性要求構(gòu)成有限元解收斂的必要條件。

也即是說(shuō)，放松對(duì)協(xié)調(diào)性的要求的一些非協(xié)調(diào)單元，也可以得到收斂解，并且，其收斂的速度比協(xié)調(diào)單元還快、精度更高。

在abaqus中，一階單元為C0型單元。二階單元為C1型單元。非協(xié)調(diào)模式的單元針對(duì)一階單元的邊只能線性的伸長(zhǎng)或縮短而不能彎曲的特性，引入了一個(gè)增強(qiáng)單元變形梯度的附加的自由度，消除懸臂梁在承受彎曲載荷時(shí)產(chǎn)生的剪切自鎖現(xiàn)象。對(duì)變形梯度的增強(qiáng)完全是在一個(gè)單眼的內(nèi)部，與位于邊界上的節(jié)點(diǎn)無(wú)關(guān)。與直接增強(qiáng)位移場(chǎng)的非協(xié)調(diào)模式公式不同。

二、有限元位移解的下限性質(zhì)

有限元解具有下限性質(zhì)，即使有限元的解小于實(shí)際的精確解。這是因?yàn)閷?shí)際結(jié)構(gòu)具有無(wú)限自由度的，當(dāng)用有限元求解時(shí)，結(jié)構(gòu)被離散為有限個(gè)單元的集合后便成為了有限個(gè)自由度。由無(wú)限自由度變?yōu)橛邢拮杂啥认喈?dāng)于對(duì)真實(shí)位移函數(shù)增加了約束，限制了結(jié)構(gòu)變形能力，從而導(dǎo)致結(jié)構(gòu)的剛度增大，使結(jié)構(gòu)變得剛硬，計(jì)算的位移偏小（動(dòng)力問(wèn)題使基頻升高）。但單元的尺寸逐步減小時(shí)，則意味著約束減小，系統(tǒng)的剛度較小，使結(jié)構(gòu)變得柔軟，計(jì)算的位移增大，結(jié)果將趨于真實(shí)解。

二階單元和一階單元相比，二階單元在邊的中點(diǎn)處布置節(jié)點(diǎn)，給單元的變形施加了更小的約束，在相同網(wǎng)格密度的情況下位移的計(jì)算精度要高于一階單元，但二階單元的計(jì)算量要高于一階單元。

然而實(shí)際情況位移解的變化還與單元有一定的關(guān)系。

如圖 1所示，在載荷P的作用下自由端的撓度為3.09mm。分別采用平面應(yīng)力單元和實(shí)體單元，一階和二階，完全和減縮積分單元來(lái)模擬梁自由端的撓度。

關(guān)于各種單元模擬情況下的自由端位移與梁理論解的比值如下圖所示。

從圖 3 可以看出，但使用一階完全積分單元時(shí)，隨著網(wǎng)格細(xì)化，其位移解單調(diào)上升，逐步趨向理論解。從圖 4 可以看出，但使用線性減縮積分單元時(shí)，隨著網(wǎng)格細(xì)化，其位移解單調(diào)下降，逐步接近理論解。從結(jié)構(gòu)平衡方程的角度來(lái)講，在單元?jiǎng)澐执植诘那闆r下，線性完全積分單元計(jì)算的數(shù)值剛度相對(duì)于結(jié)構(gòu)的真實(shí)剛度偏大。而線性減縮積分單元計(jì)算的數(shù)值剛度相對(duì)于結(jié)構(gòu)的真實(shí)剛度偏小。具體看下文的數(shù)值積分。
三、等參單元與數(shù)值積分
當(dāng)采用等參單元時(shí)，在單元?jiǎng)偠染仃嚭偷刃Ч?jié)點(diǎn)載荷的計(jì)算公式中，要進(jìn)行積分運(yùn)算，并且被積函數(shù)的非常復(fù)雜。很難求出原函數(shù)來(lái)精確積分。一般采用數(shù)值積分方法，即在單元內(nèi)選出某些點(diǎn)作為積分點(diǎn)，計(jì)算被積函數(shù)在這些積分點(diǎn)的值，再分別乘以權(quán)系數(shù)，然后求其和作為近似積分值。數(shù)值積分方法很多，在有限元分析中通常采用高斯積分法，它能以較小的積分點(diǎn)達(dá)到較高的計(jì)算精度。
對(duì)于等參單元，在計(jì)算單元?jiǎng)偠葧r(shí)，被積函數(shù)通常不能化為多項(xiàng)式因而難以確定積分點(diǎn)個(gè)數(shù)。但是如果單元很小，以致應(yīng)變和應(yīng)力的中的元素可視為常量時(shí)，則被積函數(shù)中的冪次將取決于剛度矩陣的被積函數(shù)中的雅克比行列式 J 的冪次。 J 的冪次取決于標(biāo)準(zhǔn)單元與等參單元之間的坐標(biāo)變換關(guān)系。對(duì)于 20 節(jié)點(diǎn)空間單元，通常 J 中的局部坐標(biāo)以 5 次冪的形式出現(xiàn)，也即是一維積分點(diǎn)個(gè)數(shù) N 》（ 5+1 ） /2=3 ，才能zuo到精確積分。對(duì)于 8 節(jié)點(diǎn)空間單元，通常 J 中的局部坐標(biāo)以 3 次冪的形式出現(xiàn)。
由于單元中的應(yīng)力和應(yīng)變不是常量，除了僅由一個(gè)積分點(diǎn)的常應(yīng)變單元。故上述積分點(diǎn)的數(shù)目少于精確積分所需的數(shù)目。階次低于精確積分所需階次的高斯積分稱為減縮積分。這種積分方案對(duì)于提高有限元位移解的精度是有益的。因?yàn)闇p縮積分較精確積分所得的積分值偏小。而位移有限單元法中位移函數(shù)用有限自由度來(lái)逼近無(wú)限自由度，使單元的剛度值擴(kuò)大了。從而上述兩種因素引起的誤差被部分的抵消了。
精確積分通常由形函數(shù)中非完全多項(xiàng)式的最高階次所要求，而決定有限元精度的通常是完全多項(xiàng)式的階次。非完全的高次項(xiàng)往往不能提高精度，反而帶來(lái)不利的影響，也就是說(shuō)，積分點(diǎn)的選擇只要能保證形函數(shù)中完全多項(xiàng)式部分的精確積分就可以了。不會(huì)因積分誤差帶來(lái)對(duì)有限元計(jì)算精度的影響。非完全的高次項(xiàng)在積分時(shí)得不到保證相當(dāng)于對(duì)原位移函數(shù)作了調(diào)整，改善了單元分析精度。這種采用減縮積分保證完全多項(xiàng)式的積分精度來(lái)選擇積分點(diǎn)的積分方案稱為優(yōu)化積分方案。
為使求解方程組 K*d=R 成為可能，引入邊界條件后 K 必須是非奇異的。 K 非奇異的條件是 K 的行列式不等于 0 。
若采用精確積分方案計(jì)算 K ，則其非奇異性要求總能得到滿足，因?yàn)槿魏畏莿傮w位移模式對(duì)應(yīng)的精確應(yīng)變能總是大于 0 的。其剛度矩陣 K 必然正定。然而，當(dāng)采用減縮積分時(shí)， K 的非奇異性并不是必然的。例如在模型情況下，對(duì)應(yīng)于某種非剛體位移模式，減縮積分時(shí)高斯積分點(diǎn)上的應(yīng)變正好等于 0 ，此時(shí)的應(yīng)變能為 0 ，這種非剛體位移模式稱為零能量模式。因此采用減縮積分時(shí)，要檢查 K 的非奇異性。一般一階減縮積分在某些特殊情況下會(huì)出現(xiàn)剛度矩陣的奇異。而二階減縮積分不會(huì)出現(xiàn)上述情況。也即是二階減縮積分抵抗沙漏的能力要強(qiáng)于一階減縮積分。
總之，通常有限元網(wǎng)格中的單元均是等參單元，要和標(biāo)準(zhǔn)單元之間進(jìn)行坐標(biāo)變換。這使得計(jì)算單元?jiǎng)偠染仃囀且褂酶咚狗e分，不同階次的單元，位移函數(shù)的階次不同，精確積分所需的積分點(diǎn)個(gè)數(shù)也不同。剛度矩陣是通過(guò)高斯積分（單元上積分點(diǎn)上的函數(shù)值乘以權(quán)系數(shù)）得到的。求解得到的位移是節(jié)點(diǎn)的。由單元所有節(jié)點(diǎn)的位移的變化得到單元積分點(diǎn)處的應(yīng)變。進(jìn)而得到單元積分點(diǎn)上的應(yīng)力。單元節(jié)點(diǎn)上的應(yīng)力是通過(guò)積分點(diǎn)的應(yīng)力外推插值得到的，共享某節(jié)點(diǎn)的所有單元在該節(jié)點(diǎn)上應(yīng)力的平均值為該節(jié)點(diǎn)的應(yīng)力。Abaqus 后處理中顯示的應(yīng)力為節(jié)點(diǎn)的應(yīng)力。所以說(shuō)，單元節(jié)點(diǎn)處的位移是準(zhǔn)確的，單元積分點(diǎn)處的應(yīng)力是準(zhǔn)確的。

基于abaqus的有限元理論詳解.pdf