這里介紹內容主要參考文獻《On the extension of the Gurson-type porous plasticity models for prediction of ductile fracture under shear-dominated conditions》

    GTN模型作為細觀損傷最經典的模型廣泛應用于金屬材料的損傷行為建模，其理論模型起源于1968年的McClintock模型以及RT模型，其中McClintock首次將金屬的韌性斷裂與微孔洞進行關聯起來，并得到了橢圓柱孔洞的擴張表達形式，而Rice和Tracey則通過變分原理推導出了理想剛塑性材料的孔洞擴展表達方程，其中提到了孔洞擴張與應力三軸度和lode參數有關。Gurson在此基礎上通過分析有限大基體中微孔洞模型，首次建立了孔洞演化和塑性勢的關系，并提出了一套比較完善的損傷本構方程。

    Gurson模型相比于傳統的Mises模型（塑性變形體積不可壓縮）考慮了靜水應力和孔洞體積分數的關系，認為最終的宏觀斷裂是孔洞在塑性變形下體積分數不斷增加，以及孔洞之間相互聚集造成的。并給出了響應的屈服方程：

其中q是Mises等效應力，σH是宏觀靜水應力，σM是基體等效應力，f是孔洞體積分數（f=1材料完全失效，f=0材料完好）。當f=0時模型可以退化為經典的Mises屈服模型。當f逐漸增大時，屈服面逐漸收縮，即材料承載能力隨著材料內部的微孔洞生長逐漸降低。

    Tvergaard以及Needleman發現原始的Gurson模型無法很好的表現金屬材料變形后期材料承載力快速下降的過程，于是引入了三個修正系數q1,q2,q3，以及等效孔洞體積分數的概念，

其中q1,q2,q3可以更好描述孔洞之間的相互作用，K則可以表征孔隙相互聚集后材料承載性能的快速下降過程（K也稱為加速系數）fc為孔隙聚集臨界體積分數（用來區別性能快速下降前后）ff是最終失效對應的體積分數。

可以看到當f*=f，q1,q2,q3=1時，模型退化為原始的Gurson模型，Tvergaard以及Needleman修正后的模型也被廣泛稱為GTN模型。需要注意的是，該模型沒有考慮損傷的各項異性，因為通常很難對損傷的各項異性進行合理的表征

這里需要說明的是原始GTN模型孔洞體積分數通常由兩部分組成，即新孔洞的形成和原始孔洞的生長

通常認為孔洞的生長由宏觀塑性應變的靜水部分控制

而孔洞的形核由塑性應變（應力）的偏應變（應力）控制，并遵循統計規律，并由形核平均應變，平均應變標準差，形核對應的平均體積分數進行統計表征

    GTN模型的提出是細觀力學發展最重要的一個里程碑，后續在該模型的基礎上不同學者在實驗上進行了大量的驗證，并在理論上進行了對應的修正。修正主要集中于低應力狀態下的剪切修正，微尺寸下的尺寸效應問題，以及孔洞形狀演化等方面。這里重點對剪切修正進行說明。

    GTN模型雖然有大量和實驗證明了其理論的可靠性，但模型在低應力甚至負應力狀態下大大低估了損傷的發展，這主要因為原始的GTN模型在進行低應力狀態下失效預測時孔洞體積分數無顯著變化，即材料性能幾乎不發生弱化。這和實驗產生了較大差異，尤其是剪切主導的失效行為。因此不同學者針對該現象進行了不同程度的修正，這里選擇剪切修正中最為經典的四個進行說明

（1）Xue（2008）修正模型

該模型的修正思路是，進入剪切損傷對應的等效體積分數

通過lode參數區分材料的應力狀態，即可以區分不同應力狀態下的剪切對于孔洞體積分數的貢獻

（2）Nahshon和Hutchinson（2008）修正模型

可以看到這種剪切修正模型的實質是引入了應力的第三不變量的方式引入剪切應力對孔洞演化的影響

（3）Kim Lau Nielsen和Viggo Tvergaard（2010）修正模型

該模型主要對Nahshon和Hutchinson（2008）進行了修改，因為作者研究發現，NH模型雖然可以改善原始GTN模型低應力狀態下的損傷預測能力，但該模型高估了中等應力狀態下剪切對于損傷的貢獻，于是引入了剪切項的修正系數，該系數是應力三軸度相關的

（4）zhou（2014）修正模型

盡管以上模型都將剪切對于損傷的貢獻考慮進入了原始的GTN模型，但zhou認為這種修改方式高估了孔洞的發展，因為剪切造成的主要是形狀的改變，并有利于孔洞之間的相互聚集，從而造成了低應力狀態下的損傷，而非引起體積的膨脹，同時，上述修正模型依然無法描述負應力三軸度下的金屬材料損傷行為，因此作者將GTN模型與傳統的Lemaitre損傷概念相結合對GTN模型進行修正，修正后GTN的屈服函數表示為

Ds是剪切引起的損傷，作者把原始的體積分數等效為損傷系數，該損傷系數由孔洞損傷和剪切損傷兩部分組成，孔洞損傷部分遵循原始的GTN模型，Ds損傷表示為

可以看到該模型的適用性極好，且更加符合剪切損傷的特征，下圖是該模型預測純壓縮狀態下金屬的損傷

以上是GTN模型以及其剪切修正模型對應的介紹

下圖展示abaqus內置的GTN模型與編寫的GTN模型以及NH修正模型，zhou修正模型的案例

abaqus內置了原始GTN模型可以通過指定材料對應的應力和塑性應變與GTN組合進行模擬，為了方便對比，這里使用自定義的硬化函數Vuhard（swift硬化模型）結合內置GTN與編寫的Vumat子程序進行對比，分別比較拉伸試樣和剪切試樣，所有參數保持相同，區別在于NH-GTN，和zhou-GTN模型包含剪切修正項

初始拉伸試樣（拉伸變形30%，材料對應為DP600鋼）

Vumat左側，Vuhard+abqus右側，對應結果如下（結果幾乎一致）

拉伸試樣斷裂時應力：

拉伸試樣應力應變曲線

修正的NH-GTN 模型模擬二維平面應變拉伸以及剪切模型效果（在VUMAT中實現）

平面應變拉伸試樣斷裂時應力：

3D剪切試樣平整端口形貌：

修正的zhou-GTN 模型模擬二維平面應變拉伸以及剪切模型效果（在VUMAT中實現）

平面應變拉伸試樣斷裂時應力：

3D剪切試樣平整端口形貌：

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