將同幾何分析(IGA)引入到有限元分析(FEA)的框架中，目的是使數值分析模型與計算機輔助設計(CAD)的幾何模型相同。與標準的、低階的有限元單元相比，許多研究論文已經證明了使用更高階和更高連續性的基函數是有益和優越的分析特性。B-樣條曲線(B-splines)和非均勻有理B樣條曲線 (NURBS)是CAD中使用最廣泛的幾何描述，近幾年基于NURBS的有限元技術快速發展并被應用到LS-DYNA中。同時，LS-DYNA也開發了一些適合分析的非結構樣條，以滿足更復雜的工業幾何形狀和精細化分析的需要。本文（上下篇）將主要介紹：

• LS-DYNA中IGA方法概述

• IGA的基本概念

• 如何使用IGA

• IGA在LS-DYNA中的一些功能

• 演示IGA在碰撞模擬、鈑金成形到頻域分析中的應用等

* 上一篇閱讀：LS-DYNA IGA同幾何分析介紹（上）

LS-DYNA中IGA功能

• 支持顯式和隱式動力學計算（也可以進行顯隱轉換）；

• 并且通過*IGA關鍵字支持許多類型的幾何形狀；

• 對于shell element計算有幾種拓展技術：

1. 三個自由度的rotation Free（無旋轉）殼單元；

2. 六個自由度的Mindlin-reissner殼單元；

3. Continuum殼單元-應力三軸性，復合損傷三維應力狀態；

4. 實體單元

• 支持LS-DYNA現有材料模型中的200多種材料模型；

• 精確的幾何形狀上進行接觸計算；

• 與傳統結構有限元分析進行耦合，以及與LS-DYNA中的其他求解器耦合，如流體或頻域分析求解器。

  
  

• IGA同幾何分析其實是一種高階的單元，有很多與傳統FEA類似的性質：

1. 都是基于weak form；

2. 與connectivity matrix 連接矩陣概念類似。有限元中的element，相當于IGA中的non-zero knot span（不為零的節點長度）；FEA中的node節點，相當于IGA中的Control point；

3. 類似的數值積分；

4. 實現的算法類似，Loop over循環所有的element、每一個積分點；

5. 支持網格細化 h- 和 p-refinement；

• IGA與傳統FEA不同之處在于：

1. 幾何圖形沒有在節點上插值-考慮邊界條件。從B-樣條曲線可以看到Control point并不在曲線上，只是用來控制曲線的形狀；

2. 基函數可以在不同的單元之間變化（如邊上的element和中間的element的基函數不一樣）；

3. 除了h-和p- refinement之外，IGA還有k-refinement

IGA優勢

• 使用與CAD相同的幾何模型進行計算，減少前處理工作量；

• 對于復雜的模型可以進行精準建模以及單元之間高階連續性；

• 對于結構大變形，可以很好地模擬大變形后的曲面；

• 模態分析的高階結果非常準確；

• 在最粗糙的離散水平上捕獲的精確幾何，無需CAD的細化；

• 優秀的空間近似準確性和穩定性；

• 顯式動力學計算中，與有限元相比，可以用更少的同幾何單元（單元尺寸更大）來計算，從而使用大的顯式時間步長提高計算效率，也不需要沙漏控制；

• 隱式計算中，IGA無需精細的網格（不需要網格收斂性驗證工作），即使是較粗網格我也能夠代替原來的幾何形狀，進而減少計算時間；因為幾何形狀是非常Smooth流暢的，可以improved conditioning (iterative solver)

  
  

行業應用-顯式動力學、頻域分析、板料成形

碰撞分析案例。擠壓模型的屈曲變形，通過前處理軟件得到四個patches之后，利用LS-DYNA中penalty based連接或者Smooth+T joints將四個patches連接起來形成一個IGA part，與FEA模型相比，IGA 模型更加平滑。

該模型的參數設置，材料、邊界加載，以及IGA和FEA的設置如上圖所示。IGA分別采用4mm/6mm單元大小，FEA采用4mm單元大小，對比結果。

左下第一個（灰色）模型為FEA 4毫米網格模型，藍色和綠色分別為6毫米和4毫米的IGA模型，右上角為三個模型各自的受力曲線，從2個方向來觀察變形。可以看到IGA跟FEA的變形過程非常相近。同樣的結果IGA可以使用較粗的網格，且同樣尺寸網格的IGA的時間步長比FEA大。

上圖展示了三種情況下模型計算時間對比。由于IGA是高階的element，所以它在每個時間步長的計算時間也相對FEA稍長。為了減少計算時間，LS-DYNA提出了一種方法enhanced time step estimate + extended option，在前處理軟件中將板料的外圍一圈trim裁切，僅保留中間部分IGA殼單元（通常中間部分的element時間步長比邊上要大）。Trim掉之后整體的時間步長也更高。右側圖標第四列即為使用該方法改進之后的計算時間，使用這個新的方法使得IGA比有限元計算時間更短。

• 總結來看

• IGA的計算結果與FEA非常相近；

• 每個時間步長的數值結果更高；

• 相同網格尺寸下更大的時間步長>2.5；

• 提高計算效率的潛力巨大；

• 直接的好處

• 同樣網格下IGA的幾何形狀比FEA更準確；

• IGA使用較粗的網格計算，粗的網格意味著DOFs（自由度）更少，計算更快；

• 同樣網格下更大的時間步長/更少的質量增加；

• T-joint將4個Patch連接在一起，并且連接是獨立于網格的T-joint的建模，局部改變網格，連接無需更改

  
  

IGA和FEA混合模型，汽車前艙部分的某個結構，原來的整個模型為FEA模型，現在將其中兩塊部分以1:1的比例替換成IGA模型，無需改變原來部件之間的連接關鍵詞（焊點、螺栓或剛體等），同時時間步長不會減少（甚至可能提高）。

計算該模型需要IGA具備這些能力：支持材料模型*Mat_024、接觸、時間步長評估和質量縮放、SPR3焊點（IGA/IGA以及IGA/FEA之間）、剛體連接到IGA殼單元中、MPP并行計算等等，現在LS-DYNA的IGA具備這些功能。

焊點連接。可利用關鍵字*CONTACT_TIED_SHELL_EDGE_TO_SURFACE_BEAM_OFFSET或者*CONSTRAINED_INTERPOLATION_SPOTWELD(*CONSTRAINED_SPR3)。這里使用后者來實現這個焊點連接。

在FEA中定義焊點可能需要稍密的網格（依賴于網格）。IGA中是mesh-independent spotweld，用戶無需生成interpolation mesh，interpolation mesh由求解器自動生成，焊點自動加在插值網格上，用戶可以自定義插值網格的疏密等信息。如果需要考慮熱影響區，可以使用關鍵字*DEFINE_HAZ_TAILOR_WELDED_BLANK,這個關鍵字也會自動鏈接到求解器生成的插值網格。

第2種螺栓連接。*CONTACT_TIED_SHELL_EDGE_TO_SURFACE_xxx將IGA的part ID填入該關鍵字即可。

第3個部件之間的剛體連接，可以直接匹配到到IGA的part上，IGA中沒有FEA所有的* node,因此在使用*CONSTRAINED_NODAL_RIGID_BODY關鍵詞時，需要引入關鍵字*IGA_POINT_UVW，從而將FEA的*node通過罰函數方法直接固定到IGA殼單元上，其他無需要改變任何其他keyword。

從FEA到IGA，僅需改變幾個關鍵字，就可以直接用來運行計算模型。視頻中展示了正面和側面的撞擊結果，IGA與有限元的結果也是非常相近，并且考慮了所有部件之間的連接。從而可知，IGA與FEA的混合模型可直接用于MPP計算，且計算結果不遜于FEA。

小結：前處理軟件生成的IGA model替換到原來的FEA，變成了IGA與FEA的混合模型，無需改變太多keyword的設置，連接是獨立于網格的，也不需要更密的網格，擁有更大的時間步長，變形曲面形態更準確。

頻域分析案例

LS-DYNA頻域分析起源于波音公司的N-FEARA代碼，有比較全面的功能，如頻率響應函數，SSD，隨機振動等。可以應用在：NVH、噪音分析、聲學分析、疲勞分析、地震工程方面的分析等等。驗證IGA是否可以在頻域中分析，目前已實現的是先用IGA模型進行模態分析，得到model Stress應力，再映射到插值網格上，然后進行各種各樣的頻域分析，輸出結果。IGA最終的目標是直接在IGA上進行模態分析和各種頻域計算。

下文將通過兩個例子展示IGA在頻域領域的計算結果。上圖為SSD案例IGA模型與FEA模型計算對比。

左上角為IGA包含1,444個control points計算結果，另外三個分別是FEA包含1,444、5,776、12,996個網格（不斷細化）的計算結果。中間圖表中，藍色為FEA曲線結果，隨著網格不斷的細化，縱坐標Y-Displacement也增加，直到趨近于某個準確的值，而虛線為IGA的值。有限元的結果加密之后是趨近于IGA的結果的。在同樣計算結果的情況下，IGA僅需47秒，比網格密的FEA計算所需54秒時間少。

疲勞分析案例，左圖為IGA網格，右圖是左邊IGA的插值網格模型。

上面一排為4個不同模態時的model Stress，第二行從左到右分別為第一個模態的model Stress， Damage ratio，expected fatigue Life(模態應力，損傷，預期疲勞壽命)。IGA和頻域分析求解器可以準確的耦合。

板料成形領域應用

上圖展示了板料成形大致步驟。這里，我們將主要針對第一步成形來驗證IGA的結果。

這個板料成形模型是NUMISHEET 2005 benchmark模型，材料使用*MAT_024號，板料厚度為1.6毫米。比較IGA與FEA計算結果，IGA element size約為4毫米，使用reduce integration rule，FEA為2毫米，使用full integration rule。

首先對比塑性變形結果。整體來看FEA與IGA塑性變形最大值的位置相同，數值有些區別，是可以接受的，并且整體應變分布相同。IGA計算時間（2h12m）比FEA計算時間（3h41m）明顯少。

其次來對比thickness，FEA最大值為1.85mm最小值為1.35。IGA最大值為1.82mm最小值為1.37mm，兩者結果也非常接近。thickness最大值也分布在同一個區域。

板料成形的變形過程。

Roll forming案例，該案例FEA和IGA均使用實體單元模型，對比FEA與IGA計算結果。FEA在厚度方向使用4個element，IGA在厚度方向使用一個element。可以看到FEA與IGA計算出的最大變形區域非常接近，計算結果是可以接受的。

前后處理

目前LS-DYNA是唯一可以進行IGA計算的商業軟件。目前可以生成IGA模型的軟件公司有BETA CAE，coreform，ELYSIUM。ANSYS新的前處理軟件PRIME Meshing（可以生成復雜的IGA模型）即將對客戶開放, 它可以生成創建非結構化的樣條函數，Shell單元，可以模擬任何形狀的模型。

前處理軟件可以將CAD設計的幾何形狀，轉化成LS-DYNA可直接使用的樣條函數的數據。PRIME Meshing可針對CAD幾何形狀進行拓撲簡化，生成quad meshing，最后生成非結構化的樣條函數。所生成的非結構化的樣條函數有著非常好的特性：高連續性，satisfy partition of unity, 模擬模型中一些尖銳的邊和角，適用于任意拓撲結構等。

LS-DYNA IGA功能支持Surface中Boundary-fitted NURBS, Trimmed NURBS, Unstructured splines。總結前處理軟件，可以支持多種不同的樣條函數，同時幾何模型可以存放在不同的文件中，ASCIl以及binary方式降低所需存儲空間。不足之處, 某些Light knot在裁切之后它的Control points需要進行處理再進行計算。

插值元是幾何的線性近似，且可以用在接觸搜索，耦合分析，焊點的熱影響區等，后處理d3文件等。需要注意的是，原始變量沒有在插值網格上定義（后續會逐步完善）。

使用LS-PrePost進行模型設定

IGA 半球殼模型設立案例。

第一步，導入或生成幾何形狀，可利用LS-PrePost生成也可以直接輸入IGA file（該案例采用），創建mesh NURBS之后呢，選中geometry，點擊accept生成較粗的網格，Control grid可查看Control point。點擊Refine（P-/H-refinement）生成更密的網格。

繼續設置 boundary、定義材料參數、*part和*section、*load等，利用LS-DYNA運行計算后得到d3plot文件。

LS-PrePost打開d3plot文件，查看模型。

IGA solid模型，設置方法類似，輸入IGES 文件或用LS-PrePost生成。

模態分析結果。

更多案例展示

V形缺口拉伸斷裂案例，分別使用IGA shell與IGA solid（作為對比標準）來模擬，我們發現右上角紅色線段IGA solid結果，與藍色曲線IGA shell之間有一些差異，為了改善結果，開發出continuum shell類似thick shell，所以加了一個thickness方向的自由度，再來看D曲線及E曲線結果與solid更接近。

圓柱管屈曲IGA分析及實際實驗對比案例。

可以看到上圖真實實驗結果與下圖IGA分析結果非常接近。

Honda公司進行鋁合金保險杠IGA模擬與真實實驗結果對比。區域變形與IGA模擬也非常接近。

除了IGA之外，該實驗還采用FEA進行分析，實驗結果發現FEA計算過程中出現某些沙漏形態，并且在一些區域的塑性應變比IGA大，可能會產生折斷現象。

Honda公司進行的軸向擠壓問題分析案例，實驗結果與IGA仿真對比。實驗結果看到IGA計算變形結果（左圖）、應力曲線（右下圖表）與真實實驗都非常接近， 而FEA計算和實驗的結果（右上圖表）在某些區域存在差別，在這個實驗中IGA結果比FEA更準確。

正面碰撞滑車試驗分析案例，FEA與IGA分析對比。

左邊案例展示了模型經過裁切之后，control point 沒有消失導致計算中止，經過stabilization處理之后（右邊案例）計算結果變得理想。

BMW引擎罩結構模型。左圖為CAD模型，經過前處理之后，變成右邊的模型（只有一個patch）可以直接用于計算，結果在可接受的范圍內 - courtesy by BMW and BETA CAE

BMW引擎罩（含上一頁的機蓋內板）頭碰模型 - courtesy by BMW and BETA CAE

齒輪轉動模擬（里面的齒輪帶動外面的齒輪轉動）solid model（courtesy by CMU），卡內基梅隆大學生成的unstructured splines，通過*IGA_INCLUDE引入到模型。

比較IGA結果與FEA結果，IGA的網格（左圖）比FEA網格（中間圖）更規則，兩者結果非常接近，右側動畫為IGA結果。

 

總結和展望

本文總體介紹了IGA，以及LS-DYNA中的*IGA關鍵字，這個關鍵字的好處是CAD幾何形狀中的數據信息（geometry，topology等），在定義2個Patch連接到一起，或需要在Patch上施加邊界條件或者負載load時，會更簡單。Trimmed Shell之外新增trimmed solid，并且可以加入樣條函數技術，來模擬不同形狀的模型；LS-DYNA以及LS-PrePost中的IGA功能可以支持殼單元、實體單元、SMP與MPP、顯式與隱式；最后通過3個工業例子展示IGA的應用，與FEA結合進行碰撞領域計算，頻域分析，板料成形方面的分析。也給除了8個例子從不同的方向展示IGA的功能，目前越來越多的用戶對IGA感興趣。

• IGA與電生理學和熱分析耦合正在研發中；

• 前后處理、優化功能加強；

• 計算結果直接在IGA上查看，并與CAD設計形成閉環互動；

• 網格的自適應細分改進，尤其在板料成形方面；

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文章來源：2022 LS-DYNA網絡研討會，作者：李利萍博士，Ansys高級研發工程師

視頻鏈接：LS-DYNA IGA等幾何分析介紹

技術校對：王強， Ansys高級應用工程師；整理編輯：俞琴