今天，我們將介紹結構力學中殘余應力的概念，并以金屬拉深工藝為例，了解如何計算殘余應力。我們以一個經過或未經過加工硬化的彎曲梁為例，先解釋如何計算和分析殘余應力，然后介紹一個鈑金成形模型。

什么是殘余應力？

殘余應力是指塑性結構卸載后仍然存在的自平衡應力。在機械零件的制造過程中，會引入殘余應力，并將影響零件的 疲勞 、失效甚至腐蝕行為。

實際上，不受控制的殘余應力可能會導致結構過早失效。盡管殘余應力可能會改變性能，甚至會導致制造的產品故障，但是一些應用實際上是需要它們的。例如，像智能手機屏幕的玻璃這樣的脆性材料，在制造過程中通常會在表面誘發壓縮殘余應力，以避免裂縫尖端的擴散。

因此，殘余應力在整個力學應用中發揮著重要作用。只有通過對這些應力進行定性和定量分析，才有可能確定最適合特定應用的加工工藝。這些分析還可以幫助探索用于產品可靠性的最佳材料用量或最合適形狀設計，以避免故障和失效。

純彎曲下的梁

以下圖中的細長梁為例來說明。這個梁的截面為矩形，深度為  ，寬度為  。梁的左側被固定，并在自由端上施加一個彎矩。

計算殘余應力

根據梁理論，在這個示例中，彎矩是恒定的，應力可以寫為：

(1)

其中，  是關于 z 軸的慣性矩。

隨著   的增加，梁首先表現為彈性行為，但在達到它的屈服彎矩   后， 開始表現為塑性行為。由此產生了彈塑性截面。當塑性區擴展到整個橫截面時，就可以確定梁所能承受的極限彎矩  。本文，我們假設梁在這樣的時刻會坍塌，并具有完美的塑性行為。

梁的外層纖維將首先達到屈服點，而核心纖維則保持彈性。因此，由上述應用于梁外層纖維的方程推導出第一個屈服彎矩：

(2)

其中，  是屈服應力。

在一個彈塑性彎矩下， ，在梁的每一側，塑性區沿厚度傳播的距離為  ，如下圖所示。

矩形截面梁的塑性區穿透。

總彎矩可分為彈性部分  ，和塑性部分  ，這樣：

(3)

其中，  是核心的彈性區域沿 z 軸方向的慣性矩。

結合最后兩個表達式，得到以下等式：

(4)

當來自   的完全彈塑性梁卸載時，梁的橫截面上存在殘余應力狀態  。在彈性彎曲應力   恢復后，梁試圖恢復其初始形狀  。這里，我們假設在   加載后，發生的純彈性卸載對應于彈塑性應力狀態 。殘余應力可以由彈塑性應力和純彈性應力之差計算，這里的純彈性應力指如果沒有塑性行為將會產生的應力。

(5)

由彈性彎曲理論，可得到恢復的彈性應力：

(6)

假設出現完美的塑性行為，塑性區的應力  （換句話說， ）保持不變，等于  。因此，根據 方程（5） ，殘余應力可以寫成：

(7)

在彈性區（換句話說， ），根據梁理論推導出的施加應力為：

(8)

因此，可以推導出殘余應力為：

(9)

請注意，在移除外部力矩后，由于塑性變形，梁仍將具有一些永久位移，但也將恢復一些峰值載荷下的位移。如果你想要實現可控的塑性變形，這種回彈 效應很重要。

在對梁進行二維建模時，我們可以選擇一個采取泊松比 的平面應力 假設 ，與一維梁理論相匹配，因為一維梁理論不考慮泊松效應。在 COMSOL Multiphysics 中，可以通過選擇二維空間維度并選擇固體力學 接口，建立二維平面應力模型。

在 COMSOL Multiphysics 中計算殘余應力

在這里，我們將展示如何在二維中使用固體力學接口來計算梁截面的殘余應力。

使用固體力學接口的二維梁模型的屏幕截圖。

根據上面的截圖可知，我們定義了一些變量來評估上一節中計算出來的理論殘余應力。這些值將被用于比較計算結果和理論結果。

施加的彎矩是逐漸增加的。添加一個塑性節點可以考慮到可能通過梁厚度發生的單軸塑性行為。一旦   達到臨界值  ，塑性流動就開始。任何已經達到這個值的纖維在加載過程中都將保持恒定的應力狀態。

在下圖中，你可以看到沿橫截面 Y 軸 的應力分布。對于深度為   的塑性區，施加的彎矩已由 方程（4） 計算出來。根據藍色曲線，COMSOL Multiphysics 的模擬結果與該值完全吻合。紅色曲線表示一個加載-卸載周期后的殘余應力。值得注意的是，計算的殘余應力也可以由完全彈塑性曲線（藍色）中減去彈性曲線（綠色）得到。

彈性加載、卸載和彈塑性加載后的應力值。

將 方程（7） 和 方程（9） 定義為變量，并與 COMSOL Multiphysics 中計算的解進行比較。如前面的截圖所示，你可以使用 if() 算子創建一個 “開關”，這樣代表解析殘余應力的兩個表達式就會出現在一個表達式中。下圖顯示了兩次加載-卸載循環后解析的和計算的殘余應力。

解析的與計算的殘余應力。

使用 COMSOL Multiphysics，能夠對特定材料的滯后周期進行建模。如下圖所示，在完全塑性行為的情況下，第二次載荷循環已經施加了一個穩定的應力-應變響應，代表每個連續的載荷循環。例如，你可以使用這些載荷循環來進行 疲勞分析 。

三次加載-卸載循環后的磁滯行為。

最后，但并非最不重要，讓我們來找出應變硬化行為如何影響殘余應力和加載-卸載循環。到目前為止，我們一直在處理一個完全塑性的材料。無論循環次數多少，也不管施加是拉伸還是壓縮載荷，屈服應力都保持不變。只要不發生反向屈服， 等式（5） 就有效。由于卸載過程中的反向塑性變形對性能有負面影響，所以弄清楚在什么條件下可能發生反向屈服是非常重要的。

延展性材料先在一個方向受到越來越大的應力（例如拉伸），然后卸載，當在相反方向上加載時，其行為會有所不同。人們發現，現在的壓縮 屈服應力比拉伸 時測量的要低。這就是所謂的 Bauschinger 效應。同樣地，初始壓縮提供了一個較低的拉伸屈服應力。下圖顯示了兩次應力循環下的這種效應：

滯后行為與運動應變硬化的關系。

現在，讓我們繼續討論一個更復雜的力學過程：鈑金成形工藝，在這個工藝中，殘余應力非常重要。

模具金屬成型

模具成型是一種廣泛應用的鈑金成型制造工藝。通過成型和拉伸工藝的塑性變形，工件，通常是金屬板，在模具周圍被永久塑形。坯料支架對坯料施加壓力，導致金屬板沿模具流動。

為了避免裂縫、撕裂、皺紋和過多的變薄和拉伸，你可以使用仿真方法。仿真也可以評估和克服回彈現象，即當成型過程結束，移除成形工具后，工件將如何嘗試恢復其初始形狀。回彈會導致成型的坯料達到意想不到的翹曲狀態。為了應對這種影響，可以將板材過度彎曲。因此，模具、沖頭和坯料的制造不僅要與物體的實際形狀相匹配，而且要考慮到回彈。

在這項研究中，板材是由鋁制成的。使用一個具有各向同性硬化的Hill正交彈塑性材料模型來描述塑性變形的特征。據觀察，在拉深工藝中金屬板不再表現為各向同性。隨著厚度的增加塑性塑性變形趨于減少。因此，在板材的模具成型和拉深工藝中，我們需要一種各向異性，即板材在平面內是各向異性的，而在垂直方向的強度增加，也稱為橫向各向異性。

下圖是我們模擬的拉深工藝中使用的成型工具。

成型工具：模具顯示為紅色，沖頭顯示為藍色，支架顯示為粉紅色，坯料顯示為灰色。

如上所述，仿真允許處理在執行這樣一個機械過程時需要考慮到的多種任務。例如，可以適當對模具和沖床的角半徑進行優化，以防止金屬板撕裂。為獲得沖頭和模具之間所需的間隙，以避免剪切或切割金屬坯，使用仿真也可能是有用的。

最具挑戰性的一個方面是，計算出金屬板應該過度彎曲多少。當板材成型后，殘余應力導致材料向其初始位置回彈，因此板材必須過度彎曲以達到預期的彎曲角度。因此，必須正確地建立殘余應力模型，以免過高或過低估計回彈現象。

下面兩個動畫顯示了鈑金成型以及金屬坯料的回彈現象。

在 RZ 平面上的表現的回彈現象。

鈑金成型仿真。

當結構承受其他力學載荷時，殘余應力的疊加會降低結構的可靠性，甚至會造成不可逆的損傷。因此，必須盡可能地釋放殘余應力或對其進行管理，使結構能夠承受可能施加的外部載荷。下圖顯示了杯型件拉深工藝后彎曲區域周圍殘留的Hill有效殘余應力。

結論和拓展閱讀

今天，我們研究了結構力學中的殘余應力。首先，我們介紹了一個傳統的定義，并將它應用在一個彎曲的梁示例中。然后使用 COMSOL Multiphysics 模擬這個彎曲的梁示例，并將結果與梁理論的解析解進行了比較。最后，我們探討了鈑金成形案例模型中殘余應力的重要性。我們看到，任何力學過程都會引起殘余應力，必須特別注意適當地釋放它們，或者至少要確保它們不會造成任何損傷。

本文內容來自 COMSOL 博客，