Mullins效應模型：

• 旨在模擬填充橡膠彈性體在準靜態循環加載下的應力軟化現象；

• 是對各向同性超彈性模型的擴展；

• 基于不可壓縮各向同性彈性理論，并通過增加一個稱為損傷變量的單一變量進行修改；

• 假設只有材料響應的偏量部分與損傷有關；

• 旨在模擬材料響應的情況，在該情況下，模型的不同部分經歷不同程度的損傷，從而導致不同的材料響應；

• 當與粘彈性結合使用時，適用于長期模量；并且

• 不能與滯回現象一起使用；

  Mullins效應可應用于Standard和Explicit，同樣可應用于彈性泡沫材料模型。

材料行為

    填充橡膠彈性體在循環加載條件下的真實行為非常復雜。為了建模目的，已經進行了某些簡化。實質上，這些簡化使材料行為具有兩個主要組成部分：第一個組成部分描述了材料點（從未變形狀態）在單調應變下的響應，第二個組成部分與損傷有關，并描述了卸載-重新加載行為。理想化的響應和這兩個組成部分在以下各節中進行描述。

理想化的材料行為

    當將彈性測試標樣從其原始狀態開始受到簡單拉伸，然后卸載，再重新加載時，重新加載原來的最大應變所需的應力小于初始加載時的應力，這種應力軟化現象稱為Mullins效應，反映了在先前加載過程中遭受的損傷。這種類型的材料響應在圖1中以定量方式描述。

圖1 理想材料模型的Mullins效應

圖1和相關描述是基于Ogden和Roxburgh（1999）的研究工作，這構成了在Abaqus中實現的Mullins效應模型的基礎。考慮未受應力的材料的主要加載路徑a b b′，其中加載到任意點b′。再從b′的卸載時，路徑b′B a隨之而來。當再次加載時，軟化路徑會被追溯，如a B b'。如果進一步加載，經歷路徑b′c，其中b′c是主要加載路徑a b b'c c′d的延續（如果沒有卸載，則會遵循該路徑）。如果在c'處停止加載，則在卸載時會遵循路徑c′C a，然后在重新加載時追溯回c'。如果沒有在c'之后進一步加載，則曲線aCc'代表隨后的材料響應，而之后是彈性的。對于超過c'的加載，將再次遵循主要路徑，并且所描述的模式會重復。

這是Mullins效應的理想表示，因為在實踐中，在從主曲線卸載和/或具有粘彈性效應的情況下如滯后效應，通常會在原始曲線對應的應力略低的情況下卸載再加載到先前達到的最大應變水平。此外，對于某些填充彈性體的循環響應，在從某個最大應變水平卸載并隨后重載時表現出逐漸損壞的證據。這種逐漸損壞通常發生在前幾個循環中，并且材料行為很快穩定下來，以便在第一個循環之后進行加載/卸載循環。

從此處開始，加載路徑a b b'c c′d將被稱為“主超彈性行為”。主超彈性行為通過使用超彈性材料模型來定義。

應力軟化在微觀層面上解釋為：隨著材料的加載，損傷是通過填充劑粒子和橡膠分子鏈之間的鍵發生斷裂來實現的。不同的鏈環在不同的變形水平下斷裂，從而導致宏觀變形和連續的損傷。

主超彈性行為

    超彈性材料可以通過應變能勢函數U（F）來描述，該函數定義了材料在單位參考體積（初始配置中的體積）中存儲的應變能量。F是變形梯度張量。為了解釋Mullins效應，Ogden和Roxburgh提出了一種材料描述，該描述基于形式為U（F，η）的能量函數，其中額外的標量變量η表示材料中的損傷。損傷變量控制材料的特性，因為它使材料響應在循環加載時加載路徑不同于初始狀態加載時的路徑。由于上述η的解釋，不再適合將U視為存儲的彈性勢能，部分能量以應變能量形式存儲，而其余部分由于損傷而耗散。圖1中陰影部分表示由于變形至點c'而由損傷所耗散的能量，而未陰影部分則表示可恢復的應變能量。

為編寫Mullins效應的本構方程，通常將應變能密度分解為兩個部分：U=Udev+Uvol

上述方程中，U、Udev和Uvol分別是應變能密度的總量、偏量和體積量。在Abaqus中，所有超彈性模型均使用分離為偏離和體積部分的應變能勢函數。例如，多項式模型使用以下形式的應變能勢：

右側的第一項表示彈性應變能密度函數的偏量部分，第二項表示體積部分。

改進的應變能密度函數

Mullins效應是通過使用改進型能量函數來解釋的：

其中，Udev(λ?i)是主超彈性行為的應變能密度函數的偏量部分，例如，由上面給出的多項式應變能勢函數右邊的第一項定義；Uvol(Jel)是應變能密度的體積部分, 例如，由上面給出的多項式應變能勢函數右邊的第二項定義；λ?i(i=1,2)表示偏離主應變的主拉伸；Je?表示彈性體積比。函數?(η)是損傷變量η的連續函數，被稱為“損傷函數”。當材料的變形狀態處于主超彈性行為的曲線上的一點時，η=1，?(η)=0，U(λ?i,1)=?Udev(λ?i)+?Uvol(Jel), 改進型的能量函數就會歸結為主超彈性行為的應變能密度函數。損傷變量在變形過程中連續變化，始終滿足0 < η ≤ 1。上述能量函數形式是Ogden和Roxburgh提出的擴展形式，以解釋材料的可壓縮性。

應力計算

通過上述能量函數的修改，應力可以表示為：

其中，?S是在當前偏形變水平λ?i下對應于主超彈性行為的偏應力，而?p是在當前體積形變水平Je?下對應于主超彈性行為的靜壓力。因此，由Mullins效應導致的偏應力可以通過簡單地將主超彈性行為的偏應力與損傷變量η相乘而獲得。壓力應力與主行為相同。該模型預測了沿著單個曲線（通常與主超彈性行為不同）的載荷/卸載從任何通過應力 - 應變圖起點的給定應變水平開始。它無法捕捉卸載后的永久應變。該模型還預測，純體積形變與損傷或Mullins效應毫無關聯。

損傷變量損傷變量η隨著形變而變化，其變化規律如下：

其中，Umdev是物質點在其形變歷史中的?Udev的最大值；r、β和m是材料參數；而erf(x)是定義為誤差函數的函數：

當 ?Udev=Umdev 時，對應于主曲線上的一點時， η=1.0。另一方面，η達到其最小值ηm，該值由以下公式給出：

當形變消除時， η 達到其最小值 ηm ，即 ?Udev0 時。對于所有中間值的 ?Udev ，η在1.0和ηm之間單調變化。雖然參數r和 β 是無量綱的，但參數m有能量的維度。當 β=0時，η的方程式縮減為Ogden和Roxburgh提出的方程式。材料參數可以直接指定，也可以基于卸載-重新加載測試數據的曲線擬合由Abaqus計算得出。這些參數要遵守限制條件r1、β≥0和m≥0（參數β和m不能同時為零）。或者，可以通過Abaqus / Standard中的用戶子程序UMULLINS和Abaqus / Explicit中的VUMULLINS來定義損傷變量η。

如果參數 β=0，而參數m的值與Umdev相比較小，從相對較大的應變水平開始卸載時可能會變得非常陡峭。結果，響應可能變得不連續，如圖2所示。

圖2 卸載時出現了剛度過大的反應

    這種行為可能會導致Abaqus/Standard中出現收斂問題。在Abaqus/Explicit中，高剛度將導致非常小的穩定時間增量，從而導致性能下降。通過選擇較小的β值可以避免這個問題。選擇β=0可用于定義原始Ogden-Roxburgh模型。在Abaqus/Standard中，β的默認值為0。然而，在Abaqus/Explicit中，β的默認值為0.1。因此，如果您沒有指定β的值，則在Abaqus/Standard中假定為0，在Abaqus/Explicit中假定為0.1。

    通常情況下，參數r、β和m沒有直接的物理含義。參數m控制低應變水平是否會發生損傷。如果m=0，則在低應變水平會有大量損傷。另一方面，非零的m會導致低應變水平幾乎沒有損傷。在固定其他參數的情況下，單獨改變參數r和β的定性關系如圖3所示。

左圖顯示了從某個最大應變水平開始的卸載-重新加載曲線，對于不斷增加的r值，它表明參數r控制損傷量，r越大，損傷變量η與1之間的差別就越小。右圖顯示了從某個最大應變水平開始的卸載-重新加載曲線，對于逐漸增加的β值，該圖表明增加β也會導致較小的損傷量。它還顯示了卸載-重新加載響應以ηm?σ給出的漸近響應逐漸接近，其中ηm是η的最小值，對于較小的 β值，η的漸近響應趨近于更快的響應。虛線曲線表示兩個不同的β（β1和β2）的漸近響應。對于固定的r和m值，ηm是β的函數。特別地，如果m=0，

如果Umdev遠大于m，則上述關系近似成立。

如何指定Mullins效應參數

在 Abaqus中有兩種方式確定Mullins效應參數，一種是直接輸入系數 r, m, and β，也可以指定為溫度或場變量的函數。另一種是輸入測試參數，軟件自動評估參數。

不同應變水平下的實驗卸載-重新加載數據可用于最多三個簡單的試驗：單軸、雙軸和平面應變。Abaqus隨后將使用非線性最小二乘曲線擬合算法計算材料參數。通常最好從幾個涉及不同形變類型的實驗中獲取數據，在實際應用的應變范圍內使用所有這些數據來確定參數。如果主要超彈性行為是通過測試數據定義的，則獲得主要超彈性行為的良好曲線擬合也很重要。

默認情況下，Abaqus嘗試將所有三個參數擬合到給定的數據中。一般情況下，這是可能的，除非測試數據對應于僅從單個Umdev值卸載重新加載的情況。在這種情況下，參數m和β無法獨立確定；必須指定其中一個。如果指定m或β，Abaqus需要為這些參數之一假定默認值。鑒于先前討論過的可能問題，β=0時，Abaqus假定在上述情況下m=0。也可以通過指定任意一個或兩個材料參數為固定的預定值來進行曲線擬合。

可以從每個測試輸入輸入所需的數據點數。建議將來自同一材料的所有三個測試數據（樣本）包括在內，并且數據點涵蓋從/到在實際加載中預期出現的名義應變范圍的卸載/重新加載。

應變數據應給出為名義應變值，應力數據應給出為名義應力值（單位原始橫截面積的力）。這些測試允許輸入壓縮和張力數據。壓縮應力和應變以負值輸入。對于每組測試數據，最大名義應變的數據點標識了卸載點。該點由曲線擬合算法用于計算該曲線的Umdev。圖4顯示了來自三個不同應變水平的一些典型卸載-加載曲線。

圖4 經典的Mullins效應測試曲線

輸出變量

除了常用的輸出變量，還有一些只針對Mullins效應輸出的變量，如下：

DMENER損傷引起的單位體積耗散能量。

ELDMD單元內由于損傷而總耗散能量。

ALLDMD整個（或部分）模型中由于損傷而耗散的能量。ALLDMD的貢獻已包含在總應變能ALLIE中。

EDMDDEN單元內單位體積由于損傷而耗散的能量。

SENER 單位體積能量的可回收部分。

ELSE單元內的可回收部分能量。

ALLSE整個（部分）模型中的可回收部分能量。

ESEDEN單元內單位體積的可回收部分能量。

圖1中表示形變至 c ′ 的陰影部分面積所代表的是損傷能量耗散，計算方式如下。當損傷材料完全卸載時，改進能量函數具有殘留值 U ( I , η m )=?(ηm)。能量函數在完全卸載時的殘留值代表了材料中由損傷引起的能量耗散

從增強能量中減去耗散能量即可得到可恢復的應變能量。

REF：

[1] Ogden,  R. W.,  and D. G. Roxburgh, “A Pseudo-Elastic Model for the Mullins Effect in Filled Rubber,” Proceedings of the Royal Society of London, Series A, vol. 455 2861–2877, 1999.

[2]Modeling the Mullins effect of rubbers used in constrained-layer damping applications.

文章來源ABAQUS仿真世界