本期內容特邀英國諾丁漢大學的李曙光（Shuguang Li）教授對Tsai-Wu破壞準則的理性化分析進行一番精彩評述。詳細的分析、論證過程參見文末參考文獻[1-3]。

Stephen W. Tsai和Edward M. Wu在1971年發表了他們的Tsai-Wu破壞準則[4]，雖然開始是針對一般正交各向異性體提出的，但在未作任何探討的情況下，便迅速地切入了對纖維增強復合材料更適用的所謂的橫觀各向同性材料。Tsai-Wu準則中的破壞函數，是一個關于應力分量的二次函數。Tsai和Wu成功地將該二次函數中各應力分量及其乘積項的系數，用通常意義下可以理解的，在材料的主軸方向上的，各種單向應力狀態或純剪應力狀態下的強度表示了出來，除了其中之一，即F₁₂。之后的一段時間里，人們嘗試了各種辦法，試圖測量這個懸而未決的F₁₂，但均無功而返。到1980年，Stephen W. Tsai和H. Thomas Hahn建議將其取作

由于種種原因，Tsai-Wu準則從來沒被系統、全面地建立起來過，其成功僅限于平面應力條件下的特殊情況。此時的效果，被公認為是不錯的。而如果按Tsai和Hahn所建議的F₁₂，將Tsai-Wu準則應用于一般的三維應力狀態，則不時會得出十分離譜的結果。眾所周知的Hashin準則就是鑒于無法確定F₁₂的現實，通過引入一個特定的假設，進而規避了F₁₂，同時以破壞模式的形式進行分類。關于Hashin準則，我們將在后期另行討論。  

半個多世紀過去了，關于F₁₂，人們似乎仍然一籌莫展，很大程度上，人們可以以研究新問題，或者轉而研究損傷理論為由來回避這個問題，當然，這并不意味著這個問題不再需要解決了。事實上，在新的問題中，如損傷理論，損傷起始，也還是需要一個準則的，常常這個準則是從某個破壞準則發展而來的。不過，因為這時人們的注意力通常已被轉移到了新的問題上，對其所采用的準則，就得過且過了。  

如果這個問題注定是搞不清楚了，即便是用盡了所有資源仍無濟于事，也無可奈何。然而，就F₁₂而言，資源真的都用完了嗎？  

前面已經提到，Tsai-Wu準則的破壞函數是一個二次函數。二次函數是所有函數中，為數不多的一類，現有的數學知識對其有清楚、無死角認知的。在解析幾何中，這些認識被歸納為二次曲面問題。解析幾何提供了大量的信息，本研究則巧妙地利用了這些信息。這樣，關于破壞包絡面的形態，可以簡單地從自洽性角度出發來唯一地確定，即破壞包絡面唯一能夠自圓其說的選擇是橢圓拋物面。由此，加上另外一個合乎情理的考慮，F₁₂便可被唯一地確定了，其與Tsai和Hahn所建議的完全相同。然而，這還不是所有，因為僅僅是這樣，Tsai-Wu準則是不自洽的。F₁₂的確定還必須由另一條件相伴隨，即橫向剪切強度不再是一個獨立的材料常數，而必須由橫向的拉伸和壓縮強度導出，這一點其實不難理解。對橫觀各向同性材料而言，若在其橫截面內施加一個平面應力狀態，按照原來的Tsai-Wu準則來評估強度的話，需要三個強度常數，即橫向拉伸強度、橫向壓縮強度以及橫向剪切強度。需要注意的是，此時在該平面內，材料是各向同性的，而對一般的各向同性材料，欲評估其在任意一個二維、甚至三維應力狀態下的強度，采用任何建立在二次函數基礎之上的破壞準則，至多需要兩個獨立的強度常數。因此，橫向的拉、壓強度和橫向的剪切強度這三個強度常數不能是完全獨立的。  

基于上述的分析，理性化后的Tsai-Wu準則可以給出如下形式：

 

其中X_t和X_c分別為沿纖維方向的拉、壓強度，Y_t和Y_c分別為垂直纖維方向的拉、壓強度，S_L為面內的剪切強度。較之于原版的Tsai-Wu準則，該理性化了的Tsai-Wu準則無論是在二維應力狀態下還是在三維應力狀態下，僅需要上述五個強度常數，這顯然更簡單、更易于使用。那么，何樂而不為呢？  

值得強調的是，上述的兩個條件，即交叉項系數

和橫向的剪切強度

的同時引入，確保了Tsai-Wu準則的自洽性。這就是對Tsai-Wu準則的理性化。

作為對理性化后的Tsai-Wu準則的自洽性的一個驗證，它可以無縫地退化到廣為接受的、適用于各向同性材料的破壞準則，如Raghava-Caddell-Yeh準則和von Mises準則。  

如果應力限于面內的平面應力狀態，那么，理性化后的Tsai-Wu準則與其原來的形式也完全相同，即：  

這也解釋了為什么原來的Tsai-Wu準則在二維應力狀態下比較靠譜。  

破壞包絡面的形態在原來的Tsai-Wu準則中，其實是不確定的，認為破壞包絡面封閉，那是從有限強度的假設得出的一個一廂情愿的觀念，缺乏充分的數學依據。所謂有限強度的假設，其本身，既不必要也不充分，事實上，各向同性材料，作為橫觀各向同性材料的一個特例，其在靜水壓力下的強度通常都認為是無限的。破壞包絡面的形態在原來的Tsai-Wu準則中的不確定性，可以從如下的簡單例子充分展示。因為橫觀各向同性的條件的利用，即便應力狀態僅涉及材料主軸方向的正應力，破壞包絡面也與橫向剪切強度有關。按原來的Tsai-Wu準則，以WWFE-II[6]中的T300/PR-319為例，其中的橫向剪切強度為S_T=45 MPa，這時破壞包絡面為一橢球；如果橫向剪切強度是一個通過測量所得的材料常數的話，它有10%的誤差，那是不足為奇的，因此，S_T=40.5 MPa是一個完全可能的值，這時，在其他強度參數都不變的的條件下，破壞包絡面就會是一個單葉橢圓雙曲面；而如果S_T取一個特定的中間值，如40.82 MPa，這時的破壞包絡面將是一個橢圓拋物面。這三種不同的情形分別示意如下三圖。作為一準則，其破壞包絡面的形態如此地不確定，是其在一般情況下應用不靠譜的根本原因所在。

本研究還徹底解決了Tsai-Wu準則關于載荷非線性這一事實給設計人員所帶來的困擾，從而，破壞的臨界載荷水平可以由應力狀態通過一次分析完全確定。同時也給出了與理性化后的Tsai-Wu準則相一致的以應變形式給出的破壞準則。

參考文獻：

[1] Li S, Xu M, Sitnikova E. The Formulation of the Quadratic Failure Criterion for Transversely Isotropic Materials: Mathematical and Logical Considerations[J]. Journal of Composites Science, 2022, 6(3): 82.

下載鏈接：https://www.researchgate.net/publication/359070584_The_Formulation_of_the_Quadratic_Failure_Criterion_for_Transversely_Isotropic_Materials_Mathematical_and_Logical_Considerations

[2] Li, Shuguang & Xu, Mingming & Sitnikova, Elena. (2022). Fully Rationalised Tsai-Wu Failure Criterion for Transversely Isotropic Materials. Chapter 9 in book: DOUBLE–DOUBLE A New Perspective in The Manufacture and Design of Composites,Stanford.

下載鏈接：

https://www.researchgate.net/publication/360749263_Fully_Rationalised_Tsai-Wu_Failure_Criterion_for_Transversely_Isotropic_Materials

[3] Shuguang Li, Elena Sitnikova, Yuning Liang, Abdul-Salam Kaddour,The Tsai-Wu failure criterion rationalised in the context of UD composites, Composites Part A: Applied Science and Manufacturing,Volume 102,2017,Pages 207-217,ISSN 1359-835X, https://doi.org/10.1016/j.compositesa.2017.08.007.

下載鏈接：

https://www.researchgate.net/publication/318903260_The_Tsai-Wu_Failure_Criterion_Rationalised_in_the_Context_of_UD_Composites

[4] S.W. Tsai and E.M. Wu, “A general theory of strength for anisotropic materials”, Journal of Composite Materials, 5:58-80, 1971.

[5] S.W. Tsai and H.T. Hahn, Introduction to Composite materials, Technomic Publishing Company, Westport, CT06880, USA, 1980.

[6] A.S. Kaddour, and M.J. Hinton, “Evaluation of Theories for Predicting Failure in Polymer Composite Laminates under 3-D States of Stress”, Journal of Composite Materials, 46(19-20):2295-2312, 2012

原創作者：李曙光 （Shuguang Li）

邀請人＆責任編輯：周建武

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