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今天木木給大家分享的是一篇由Northwestern University的Wing Kam Liu、UC Berkeley的Shaofan Li和Boston University的Harold S. Park于2021年聯合發表的《Eighty Years of the Finite Element Method: Birth, Evolution, and Future》，帶著大家回顧有限元方法自1941年初露端倪至今的80余年發展歷程。

相關文獻:FEM的80年。

木木看完之后，感觸頗深，深感國內有限元發展的處境，相比于歐美來說，差距是真的大！想要突破卡脖子技術，絕對不能停留于“虛張聲勢”，應潛下心鉆研核心技術難題，不應人云亦云。

希望大家帶著聽故事的心情瀏覽本期分享的FEM發展史~

有限元早期(1941-1965)

1. In 1941, A. Hrennikoff，在數學問題上首次將求解域離散為晶格結構，成為有限元思想的開端；

2. On May 3rd, 1941, R. Courant ，用變分方法求解二階偏微分方程，使用了Rayleigh Ritz方法，并在有限三角形子域上定義了一個試函數，這是有限元方法的一種原始形式；

3. In 1952 , Ray Clough,使用桿單元組合替代 平面應力問題，應用于三角機翼應力分析，標志著FEM正式誕生， 成立加州分校伯克利研究小組，將有限元應用于一系列的分析和實驗活動中，從設計建筑和結構以抵御核爆炸或地震，到分析航天器和深海鉆井的結構要求；（可以看到外國對于科學應用的重視，而不是像國內，未完成一些列的科研任務而去造一些“輪子”，任務完成后，程序的研發也隨之滯留，未能付諸大量實踐）

4. In 1956, Turner, Clough, Martin, and Topp開發了三角形單元的有限元插值方法，該方法適用于任意形狀的結構件。在某種意義上，三角形單元的發明是一次“quantum leap”，因此，對于工程領域的大范圍來說，FEM的開始于此；
5. In 1957年， R. Clough就在加州大學伯克利分校開設了第一個研究生階段的有限元課程；

6. 50年代初，該方法被稱作為Matrix Stiffness Method（矩陣剛度法），1960年， Ray Clough正式命名為有限元；
7. In 1960，中科院馮康，發表一篇名為《基于變分原理的差分格式》，與Clough并駕齊驅，從數學角度發展有限元方法應用于有限元法的收斂性等領域的研究；

8. In 1958, E.L. Wilson of UC Berkeley,開發了第一個基于波音公司開發的矩形平面應力有限元的自動化有限元程序；
9. In 1963, Best and Oden編寫了當時最早的通用有限元計算機代碼之一，包括三維彈性單元、二維平面彈性單元、三維梁和桿單元、復合材料層狀板和殼單元以及通用復合材料單元，能夠處理特征值模態分析，以及在三角形和四面體單元上的數值積分；

FEM黃金時期(1966-1991)

1. In 1967, TJR Hughes 呼吁成立有限元程序設計小組，于1969年，編制了57000行GENSAM程序;
2. 20世紀70年代，聚焦于有限元的收斂性問題，人們的注意力轉向了基于混合變分原理的有限元方法；
3. 20世紀70年代，FEM的發展開始專注于模擬結構的動態行為，包括汽車工業中的耐撞性，各種時間積分方法已經發展，包括Newmark-beta方法，Wilson-theta方法，Hilbert-Hughes-Taylor算法，Houbolt積分算法和顯式時間積分算法；
4. 20世紀70年代末， T. Belytschko、K. C. Park和后來的 TJR Hughes提出采用顯式或隱式、顯式-多重顯式時間積分以及帶阻尼控制的隱式時間積分來解決非線性結構變形和結構動力學問題。結果表明，顯式時間積分技術使有限元技術成為乘用車設計和耐撞性分析的主要工具。 到20世紀80年代末，在美國的三大汽車制造商中有數千個工作站運行顯式的基于時間集成的FEM代碼。（不得不感嘆工業應用能力）；
5. 20世紀80年代，主要的有限元研究課題之一是利用有限元技術求解Navier-Stokes方程；
6. 20世紀80年代， Simo和 Taylor開發了計算塑性的一致切線算子，發展了幾何精確的梁和殼理論及其有限元公式，為混合變分公式開發了各種假設應變或增強應變方法；
7. ALE有限元法的發明可以歸功于 Hirt, Amsden和 Cook， C. Farhat是第一個使用大規模并行ALE-FEM求解器計算流固耦合問題的人，他和他的團隊系統地將基于有限元的計算流體力學(CFD)求解器應用于飛機結構設計和分析，他們開發了有限元撕裂和互連(FETI)方法，用于大規模方程系統在大規模并行處理器上的可擴展求解；
8. 有限元流固耦合研究對許多實際應用產生了重大影響，例如為血管疾病的患者特異性建模提供了基礎， Holzapfel、Eberlein、Wriggers和 Weizs?cker開發了用于軟生物膜的大應變有限元公式；
9. 20世紀80年代末，由 W. K. Liu和 T. Belytschko通過考慮載荷條件、材料行為、幾何構型和支承或邊界條件的不確定性，提出了 隨機場有限元法，已成為民用和航空航天工程及不確定性量化領域的重要研究課題；
10. 20世紀80年代早期，通用汽車研究實驗室的 M.E. Botkin和密歇根大學的 N. Kikuchi和他的團隊為汽車工業開發了 結構形狀優化有限元方法，開發了一種均質化方法來尋找在規定載荷下結構的最佳形狀以及后來的拓撲優化；
11. 20世紀80年代中期，計算應變軟化中的網格敏感性問題成為一個具有挑戰性的課題， Pijaudier-Cabot和 Bazant發展了一種有效的非局部有限元方法，其中非局部性僅應用于損傷應變；
12. In 1976， Hughes、 Taylor、 Sackman、 Curnier和 Kanoknukulchai發表了一篇題為“一類接觸-沖擊問題的有限元方法”的論文，這是計算接觸力學中最早的有限元分析之一，例子包括鈑金成形，目標沖擊和滲透，路面和輪胎之間的相互作用；

FEM工業時期(1992-2017)

1. 20世紀90年代， Zienkiewicz-Zhu后驗誤差估計器通過自適應地細化網格，以優化計算資源的方式提供有限元解決方案的質量控制， Ainsworth和 Oden用后驗誤差估計來提高質量已經被提升到貝葉斯推理和貝葉斯更新的高度；

2. 20世紀90年代，研究工作集中在基于變分原理的離散化方法來解決斷裂力學問題或應變局部化問題。1981年， S.T. Pietruszczak和 Z. Mroz就提出了第一個土體剪切破裂的粘性有限元，后來，西北大學 Bazant的團隊開發了各種界面有限元方法，如微平面模型，以研究混凝土材料和其他復合材料的尺寸效應；1994年， Xu和 Needleman開發了cohesive zone model (CZM)，該模型可以模擬裂紋擴展而不需要重網格；
3. T. Belytschko和 WK發展了無網格伽遼金(EFG)方法和再現核粒子方法(RKPM)；
4. 繼而 I. Babuska開發了統一單元劃分法(PUFEM)，后來于1996年發展了廣義有限元法(GFEM)；
5. In 1999， Ted Belytschko、 T. Black、 N. Moes和 J. Dolbow，開發了擴展有限元(X-FEM)，該方法利用各種豐富的不連續形狀函數，在不重網格的情況下準確地捕捉裂紋體的形態。

6. In 2000， A. Karma提出了 相場有限元法來解決裂紋擴展和裂紋擴展問題，可以準確預測材料脆性斷裂損傷；
7. In 1997， TY Hou提出了多尺度均質化有限元方法，該方法主要適用于微結構隨機的復合材料；
8. In 1982， D. Piece、 RJ Asaro和 Needleman首次提出 晶體塑性有限元方法(CPFEM)，可以計算位錯、晶體取向等織構信息，在計算過程中考慮晶體的各向異性，現已應用于模擬晶體的塑性變形、表面粗糙度、斷裂等；
9. In 2013，由 L. Beir?o da Veiga和 F. Brezzi領導的一組意大利科學家和工程師提出了一種所謂的虛擬單元方法(virtual element method, VEM)，當網格發生畸變時，VEM在數值計算中顯示了魯棒性和準確性；
10. In 1963， E.L. Wilson和 R. Clough開發了一個結構力學有限元代碼，稱為符號矩陣解釋系統(Symbolic Matrix Interpretive System, SMIS)，然后Wilson發起并開發了一個通用的靜態和動態結構分析程序 SAP。基于SAP IV和NONSAP開發了非線性有限元程序 ADINA。
11. 與此同時， NASA也開發了自己的名為NASTRAN的FEM代碼；
12. 約在20世紀60年代末的同一時間， J. Swanson要求他的雇主Westinghouse開發FEM計算機代碼，他的建議被拒絕，然后他離開了公司，并開發了最初的 ANSYS FEM代碼；
13. 幾年后， J.O. Hallquist也開發了一種稱為DYNA3D的三維非線性有限元代碼，后來發展為 LS-DYNA；
14. 到20世紀90年代末和21世紀初，FEM軟件行業已經成為一個數十億美元的業務。有 ANSYS、ABAQUS、ADINA、LS-DYNA、NASTRAN、COMSOL Multiphysics、CSI等知名有限元軟件公司；

FEM新時代(2018- present)

這一塊實屬知識盲區，就隨便摘抄了點，詳細請看原文獻。

1. 基于 機器學習的有限元方法和降階模型的發展成為有限元研究的新焦點；
2. In 1993， J. Takeuchi和 Y. Kosugi提出了一種求解泊松方程問題的有限元方法的神經網絡表示；
3. In 1995， G. Yagawa and O. Aoki用互連神經網絡(nn)的網絡能量代替了有限元函數，解決了一個熱傳導問題；
4. In 2019， F. Ghavamiana和 A . Simone使用深度神經網絡作為回歸模型來學習材料行為或微觀結構響應；
5. In 2020， Zhang等人發表了第一篇關于基于DNN的層次性質構建常規有限元形狀函數的論文，稱為分層深度學習神經網絡；