弦振動

先來看一個眾所周知且和預應力模態有一定關聯的例子——弦振動。

 

一根繩子在自然狀態下是沒有剛度的，可以被折疊成任意形狀，在不施加外力的情況下無法恢復到初始狀態。

撥動沒張緊的吉他琴弦時，吉他無法發出聲音，因為琴弦沒有抵抗橫向變形的能力，即沒有橫向剛度，因而無法振動發聲；但當琴弦繃緊后，即琴弦兩端加上一定的拉力時，便有了抵抗橫向變形的能力了，這個能力和拉力的大小有關，拉力越大，琴弦的“橫向剛度”越大，振動的頻率越高，進而就可以發聲了。

預應力模態

接下來考慮軸向力作用在梁的情況。

 

梁自身是具備抵抗彎曲的能力的，即具有抗彎剛度，記為k₀。當它受到一個恒定的軸向力F時，由于軸向和橫向正交，因此，軸向力不會引起彎曲的變化，通常這樣理解沒有問題。

 

但是~~~~~~

 

回想一下梁的線性屈曲分析(以后會具體介紹)。我們假設梁發生了一個小的彎曲，軸力會對梁的彎曲產生影響，拉力會使梁“更容易”恢復到直線狀態，而壓力會使梁恢復到直線狀態變得“更困難”。

這好像軸力給梁的彎曲方向增加或減少了一個剛度k_g，我們把這個剛度叫做“幾何剛度”，它表示結構在軸向載荷作用下引起的屈曲趨勢，依賴于結構的形式和載荷條件。此時，梁的抗彎剛度修改為了k=k₀-k_g。

 

當梁受到拉力時，結構剛度增加，固有頻率上升；當梁受到壓力時，結構剛度下降，固有頻率下降。

 

同樣的，對于受到薄膜力的薄殼也會有類似現象，在分析模態時需要考慮預應力的效應。

 

需要指出的是，這種預應力(pstress)的效果和幾何非線性分析中的“應力剛化”(stress stiffeness)是相同的來源。

 

以上闡述就是預應力模態產生的基本原理，讀者可以思考一下：模態分析在什么情況下需要考慮預應力的效應。

算例

考慮一根簡支梁，兩邊施加拉力和壓力(通過初始應變實現)，進行預應力模態分析，對比二者和無載荷作用時的模態分析結果。

無預應力模態分析的結果：

拉預應力模態分析的結果：

壓預應力模態分析的結果：

對比無預應力模態、拉預應力模態、壓預應力模態三者的固有頻率結果發現：前 6階模態，相比于無預應力工況，拉預應力工況的頻率有所提高，因為拉力載荷使梁的橫向剛度提高了；而壓預應力工況的頻率有所降低，因為壓力載荷使梁的橫向剛度降低了。

前文對預應模態分析產生的原理進行了較詳細的介紹，對拉/壓預應力模態進行了分析，并和無預應力模態分析結果進行了對比。

現以ANSYS為例，結合前文介紹的理論和要點，實現具體分析。在“基于ANSYS的響應譜分析”一文中介紹了APDL和Workbench的特點，在此，本文以APDL為例，同時兼顧Workbench，介紹ANSYS如何實現結構動力學中的預應力模態分析。

預應力模態分析

對于薄壁結構，如細長梁和薄板，由于彎曲剛度比軸向拉壓剛度小很多，當結構受外載作用時，由于應力剛化(SSTIF)效應，在進行模態分析時，一般需要考慮預應力效應的影響，即進行預應力模態分析。預應力模態分析需要分為兩次求解實現，首先進行靜力分析，其目的是求解應力剛度矩陣(為常值)，然后在此基礎之上進行模態分析。

 

在預應力模態分析時需要注意以下兩點：

• 靜力求解時，必須打開預應力開關(PSTRES,ON)，設置使用一致質量矩陣還是集中質量矩陣(LUMPM,ON/OFF)
• 模態分析時，同樣必須打開預應力開關(PSTRES,ON)，且質量矩陣的使用形式必須和靜力分析時保持一致

注：如果模型中出現非線性單元，那么在模態分析時程序會強制線性化，如接觸單元，程序會根據初始 (即靜力分析結束后的狀態)幾何狀態計算剛度并在后續計算中保持不變。

分析過程

典型命令

INISTATE, Action, Val1, Val2, Val3, Val4, Val5, Val6, Val7, Val8, Val9——定義初始狀態參數

INISTATE, SET, Val1, Val2

INISTATE, DEFINE, ID, Eint, Klayer, Parmint, Cxx, Cyy, Czz, Cxy, Cyz, Cxz

其余命令

注：在 ANSYS 的早期版本中，如 Link 、 Beam 單元等加初始應力應變的方法可以直接給實常數；但在后期高版本中，改為通過 INISTATE 命令添加；添加初始應力應變的方法還可以利用“熱脹冷縮”效應，通過溫度載荷實現

Workbench 設置 ( 參數僅作示意 ) 

注：在 Workbench中實現預應力模態分析，應使模態分析模塊繼承靜力分析模塊的模型和結果部分。

算例

考慮一個扇葉結構，以一定的角速度勻速旋轉時，由于慣性力作用，結構剛度會有所提高，現對其進行模態分析和預應力模態分析。

有無預應力模態分析的前6階結果對比如下：

對比結果看出：由于扇葉旋轉，產生慣性力 (拉力)，提高了結構的剛度，進而提高了模態頻率。旋轉減速度越高，剛度提高越多，模態頻率就提高得越多。

下載地址：模態應力、頻響應力和PSD應力