1. 結(jié)構(gòu)有限元基本原理

靜力學(xué)分析：

應(yīng)力張量：一個(gè)點(diǎn)處在笛卡爾座標(biāo)上三個(gè)微分面上有9個(gè)應(yīng)力張量，可以把這個(gè)二階張量表示為σ_ij，所以也可以用矩陣表示為

 

在材料力學(xué)中，一個(gè)三維物體內(nèi)總會(huì)找到一組截面，其面上只有正應(yīng)力，并沒有剪應(yīng)力，這個(gè)應(yīng)力成為主應(yīng)力，也是應(yīng)力張量的不變量，按照數(shù)值大小排列為：

 

應(yīng)變張量：

與應(yīng)力一樣，需要一個(gè)應(yīng)變張量描述某點(diǎn)的變形，定義應(yīng)變張量為ε_ij，這個(gè)二階張量可以表示為：

 

正應(yīng)變：表示微元的相對(duì)伸長和縮短

切應(yīng)變：表示微元夾角的變化

廣義胡克定律：廣義胡克定律描述的是應(yīng)力張量和應(yīng)變張量之間的關(guān)系，從而間接建立受力和變形之間的關(guān)系，如下所示：

 

這里剪切模量G=E/(1+2*ν)

所以寫成矩陣形式就是

這里構(gòu)成了線彈性材料本構(gòu)方程。

這里還需要考慮受力運(yùn)動(dòng)方程和變形協(xié)調(diào)方程，如下： 

受力方程

小變形假設(shè)方程

基于以上理論，我們就可以在comsol進(jìn)行基本的結(jié)構(gòu)力學(xué)計(jì)算，以上是所有復(fù)雜計(jì)算的理論基礎(chǔ)，例如其他簡化結(jié)構(gòu)梁，桁架和殼體都是基于以上理論簡化過來的。

下面就用comsol進(jìn)行最基本的結(jié)構(gòu)力學(xué)靜力學(xué)分析：

如圖設(shè)置邊界條件：

 

彎頭支架左邊是直接固定約束，右端直接設(shè)置一個(gè)斜向力，只考慮小變形，不考慮幾何非線性，得到如下應(yīng)力分布和變形：

 

2.模態(tài)分析：

模態(tài)計(jì)算的目的：

確定機(jī)械部件的振動(dòng)特性，固有頻率和振型，參與系數(shù)和有效質(zhì)量，預(yù)防結(jié)構(gòu)共振，確定振動(dòng)環(huán)境的工作可靠，結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)修正。

應(yīng)用方面包含避免或利用共振，模態(tài)疊加法計(jì)算響應(yīng)（包含頻域相應(yīng)，瞬態(tài)響應(yīng)，響應(yīng)譜和隨機(jī)振動(dòng)），振動(dòng)和噪聲控制，結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)優(yōu)化目標(biāo)或者約束條件。

原理：

 

這個(gè)方程描述了一般動(dòng)力學(xué)方程形式，考慮了阻尼，我們先討論不含有阻尼的形式，如下所示：

 

這個(gè)方程有解析解，假設(shè)運(yùn)動(dòng)為簡諧運(yùn)動(dòng)：

 可以得到如下方程：

由于結(jié)構(gòu)不考慮不振動(dòng)情形，所以可以一系列特征值ωi，然后特征頻率fi=ωi/2*π，而每個(gè)特征頻率下的特征值是對(duì)結(jié)果進(jìn)行了歸一化處理的，變形幅度經(jīng)過了縮放，得到如下：

 

所以不同特征值之間的變形幅度不同作比較。

有阻尼模態(tài)：

首先，對(duì)于具有黏性阻尼且無外部負(fù)載的單自由度（DOF）系統(tǒng)，可以用下面的運(yùn)動(dòng)方程描述：

除以質(zhì)量m后，方程的歸一化形式通常寫為

這里， ζ是無阻尼的固有頻率，稱為阻尼比。為了使運(yùn)動(dòng)為周期性，阻尼比必須限制在以下范圍內(nèi)0<ζ<1：該系統(tǒng)中自由振動(dòng)的幅度將隨以下因子衰減

這里T0就是周期，所以有

 

利用這種辦法可以得到阻尼比

第三種情況，當(dāng)結(jié)構(gòu)在接近固有頻率下受到諧波激勵(lì)時(shí)，阻尼也較大。當(dāng)恰好發(fā)生共振時(shí)，振動(dòng)振幅會(huì)趨于無窮大，除非系統(tǒng)中存在一些阻尼。共振時(shí)的實(shí)際振幅僅由阻尼量決定。

在某些系統(tǒng)中，例如諧振器，其目標(biāo)是獲得盡可能大的振幅。這時(shí)需要使用另一種常用的阻尼測(cè)量方法：品質(zhì)因子或Q因子，其定義是共振時(shí)的放大倍數(shù)。Q 因子與阻尼比有關(guān)，可以表示為： 

 

描述阻尼的另一個(gè)方法是：假設(shè)在施加的力和所產(chǎn)生的位移之間，或在應(yīng)力和應(yīng)變之間存在一定的相移。相移僅對(duì)穩(wěn)態(tài)諧波振動(dòng)有意義。如果在一個(gè)完整周期內(nèi)繪制應(yīng)力與應(yīng)變的關(guān)系圖，將得到一個(gè)橢圓形的滯回曲線。

 

這里，將楊氏模量的實(shí)部稱為存儲(chǔ)模量，虛部稱為損耗模量。損耗模量通常用損耗因子 η 來描述，因此有

 

由損耗因子定義的阻尼，可以用損耗角正切等效度量，損耗角正切定義為

 

由損耗因子定義的阻尼行為與粘性阻尼有所不同。損耗因子阻尼與位移幅值成正比，而黏性阻尼與速度成正比。因此，不能將一個(gè)數(shù)字直接轉(zhuǎn)換為另一個(gè)數(shù)字。

下圖比較了兩種阻尼模型的單自由度系統(tǒng)的響應(yīng)。可以看出，黏性阻尼在共振處高于損耗因子阻尼，在共振位置以下則低于損耗因子阻尼。

 

通常，在共振頻率下考慮阻尼比和損耗因子阻尼之間的轉(zhuǎn)換，此時(shí)，

但是，這僅適用于單個(gè)頻率。

瑞雷阻尼：

粘滯阻尼：

在黏滯阻尼模型中，固體材料中的應(yīng)力與應(yīng)變率成正比。在最一般的情況下，聯(lián)系應(yīng)力和應(yīng)變率的本構(gòu)張量可以包含 21 個(gè)獨(dú)立的常數(shù)。由于阻尼難以測(cè)量和量化，幾乎無法得知其數(shù)值，因此我們更常使用各向同性黏滯阻尼模型。

 

所以，整體的來說，在comsol設(shè)置阻尼參數(shù)中一般設(shè)置損耗因子，瑞利阻尼和粘滯阻尼。

假設(shè)所有地方都使用了相同的損耗因子，阻尼矩陣可以表示為：

 

運(yùn)動(dòng)方程變?yōu)?/span>

 

所以在模態(tài)條件下計(jì)算得到的特征頻率也是復(fù)數(shù)值，表示有損耗。

下面在comsol中進(jìn)行彎頭支架的無阻尼和有阻尼模態(tài)分析，首先進(jìn)行無阻尼模態(tài)分析，得到結(jié)果如下：

 

前六階模態(tài)數(shù)值 

第一階模態(tài)的振形圖

有阻尼模態(tài)分析：

 

設(shè)置瑞雷阻尼

 

前六階模態(tài)數(shù)值，含有復(fù)數(shù)，表示損耗

 

第一階模態(tài)的振形圖