STKO助力OpenSEES系列：結構模態分析以及動力特性（MDOF與等效SDOF驗證）
文/心塵軒
網站/STKO OpenSees Software (asdeasoft.net)
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一、模型案例信息
文字描述：
結構模型為6層5跨的平面框架結構（這種框架形式多見于結構抗震設計理論的學術文章），跨度為4m, 層高為3m, 約束平面外的平動自由度以防止面外變形，為簡化建模過程，模型中的所有梁柱截面均采用400*400*20mm的空心箱型截面，每個節點賦予點質量10t以考慮荷載和自重，底部為固定約束可見下圖。詳細的建模過程可以參見相應的視頻教程。
二、振型形狀對比
下圖給出了abaqus 和STKO 結構在第一和第二振型形狀的對比，結果表明兩個軟件幾乎一致，且呈圖均具有美觀欣賞性。
三、結構動力特性對比
兩個軟件對比的結構主要動力特性，其中包括：特征值，圓頻率，模態有效質量，模態參與系數，如下系列表所示。根據對比結果可知，兩個軟件分析的結果幾乎一致。由有效模態質量表格可知，第一階有效模態占總質量為83%，所以對于這樣的6層結構，我們可以說他的結構動力行為由其一階模態控制，如果考慮高階模態影響，則前兩階模態足以較精確地表達結構的動力響應。
四、歐拉梁和鐵木辛柯梁對模態分析的影響
第四點是一個細節問題，總有同學問我，為什么Abaqus 和OpenSEES 做出來的結果對不上。實際上，是我們并沒有考究我們的單元選擇。在Abaqus 中，若不做特殊設置，默認的梁單元是考慮剪切變形的鐵木辛柯梁，而在OpenSEES中默認的elastic beam column 是歐拉梁。歐拉梁因為不考慮剪切變形則會使得結構稍稍偏剛，這一點可以從下表的對比可以看出，歐拉梁的模型的特征值和圓頻率均大于鐵木辛柯梁。因而在這一節，一并回復詢問者，做模型一定要細心，每一個參數的設置都會導致結構的懸殊。所以在Abaqus請明確使用的是B31 還是B33，在OpenSEES中可以使用section aggregator 進行添加剪切剛度以考慮剪切變形，總之模型需要保持一致性。
五、幾何模型導入的快速建模
第五點內容，可參見文首視頻教程，在這里不再贅述。
六、MDOF 和SDOF 等效合理性的驗證
結構多自由度等效為單自由度的理論是進行結構抗震設計的一個重要內容。通過動力學的知識，我們可知，結構在彈性狀態下，模態之間是正交互不影響的，于是通過對多自由度體系的推導如下：
我們可以得出以下結論： 地震輸入給結構的總能量等于各個模態等效單自由度體系相應能量的之和。因而，我們可以將復雜的MDOF 問題轉化為具有相應有效模態質量的單自由度問題。以雙自由度系統而言，如下圖：
這個雙自由度系統的地震響應就等效為為兩個分別具有有效模態質量的單自由度體系的疊加，也就是振型時程分析的原理。
在這里我們探討一個有趣的問題，我們能否通過對結構的模態分析就可以根據此結構的動力特性求得結構在相應振型荷載分布下的結構初始剛度，這從原理上是可以實現的。通過模態分析，可以得出結構的有效模態質量和結構的模態圓頻率，也就求出結構在相應的模態下的剛度。那我們就嘗試下吧，對象為結構一階模態下的結構剛度。操作如下：
首先提取結構一階模態對應的振型，按照此振型分布模型對結構施加水平分布力，并進行模態推覆分析，如下圖所示。
結構一階模態推覆得到的等效單自由度的剛度和通過模態分析得到的剛度計算如下圖。兩者高度吻合，說明從剛度而言，MDOF 和相應模態等效的SDOF 理論是合理的。實際上，我們這節開頭也推導了MDOF和相應模態等效的SDOF 從能量角度理論也是精確的。這些視角的分析和驗證可以幫助我們進一步深入理解動力學的相關知識。
七、MDOF 和SDOF 等效在彈塑性狀態的延申
實際上這個問題到目前為止依然沒有被解決，結構一旦進入彈塑性后，結構的各階振型是耦聯的，并不再維持彈性狀態下的正交關系。因此在彈性狀態下的MDOF等效為相應SDOF能否繼續延申至結構的彈塑性狀態，是一個值得思考的問題。前輩們也付出較多的努力和探索。直到一個知名的權威專家出來說明：我們承認結構在進入彈塑性狀態后結構各個振型存在耦聯，也即某一個振型會對另一個振型產生影響，但我們可以假定如果我們繼續按照結構彈性狀態下振型理論去計算結構彈塑性的反應響應，如果得到的結構響應和結構實際的響應相比，精度滿足工程需求，那么，我們就有理由相信，即使結構進入彈塑性狀態，振型之間存在耦聯，但這種耦聯是比較弱的，忽略它并沿用結構彈性狀態下的振型理論得到的結構響應是足以精確的描述結構的行為。正是在這樣的指導思想下，結構的設計理論進一步得到了發展，比如MPA，以及隨后的基于塑性的設計理論，也包括時下基于概率的結構性能設計理論的等等，而提出這樣的假定的人就是知名結構學家喬普拉。也非常推薦大家閱讀喬普拉關于結構動力學的專著，該專著中文版由謝禮立院士主持翻譯。《DYNAMICS OF STRUCTURES Theory and Applications to Earthquake Engineering》。
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