First~  “栗子” 說來就來：

   【例題】 懸臂梁的長度為1500mm，截面是200*200的實心鋼，施加荷載為2000千牛，求位移撓度。

理論解：

歐拉梁-計算模型，位移 xq=81.917mm

鐵木辛柯梁-計算模型，位移 X=83.053mm

劃重點，記住這兩個數字！

1 .在PKPM建模計算中，采用底端約束的柱代替懸臂梁，其中柱高度為1500mm，截面尺寸為200mm×200mm，所用材料為Q345，在柱頂端施加水平集中荷載2000kN，如圖1所示：

圖1 柱截面尺寸及施加荷載

2 .計算結果：在水平集中力作用下，柱頂端位移為：83.06mm，如圖2所示：

圖2 PKPM 計算結果

1 .在SAP2000建模計算中，懸臂梁長度為1500mm，其中梁截面尺寸為200mm×200mm，所用材料為Q345，梁截面幾何性質如圖1所示。懸臂梁左端固結，右端施加2000KN集中荷載，分別采用歐拉梁-計算模型和鐵木辛柯梁-計算模型。 

圖1 梁截面幾何屬性

2.鐵木辛柯梁模型計算結果表明：在懸臂梁端集中荷載作用下，梁端位移為83.053998mm，如圖2所示： 

圖2 鐵木辛柯梁模型計算結果

3.歐拉梁模型計算結果表明：在懸臂梁端集中荷載作用下，梁端位移為81.917857mm，如圖3所示： 

圖3 歐拉梁模型計算結果

1 .在Midas建模計算中，懸臂梁長度為1500mm，其中梁截面尺寸為200mm×200mm，所用材料為Q345，梁截面幾何性質如圖1所示和圖2所示。懸臂梁左端固結，右端施加2000KN集中荷載，分別采用歐拉梁-計算模型和鐵木辛柯梁-計算模型。 

圖1 梁截面尺寸

圖2 梁截面幾何屬性

2.鐵木辛柯梁模型計算結果表明：在懸臂梁端集中荷載作用下，梁端位移為83.05340mm，如圖3所示：

圖3 鐵木辛柯梁模型計算結果

3 .歐拉梁模型計算結果表明：在懸臂梁端集中荷載作用下，梁端位移為81.91748mm，如圖4所示： 

圖4 歐拉梁模型計算結果

1. 在perform3D建模計算中，懸臂梁長度為1500mm，其中梁截面尺寸為200mm×200mm，所用材料為Q345，梁截面幾何性質如圖1所示。懸臂梁左端固結，右端施加2000KN集中荷載，采用鐵木辛柯梁-計算模型，模型如圖2所示。

圖1 截面屬性設置

圖2 單元和荷載設置

2. 鐵木辛柯梁模型計算結果表明：在懸臂梁端集中荷載作用下，梁端位移為Dis=83.05549mm，如圖3所示。

圖3計算結果

1. 在Abaqus建模計算中，懸臂梁長度為1500mm，其中梁截面尺寸為200mm×200mm，所用材料為Q345，懸臂梁左端固結，右端施加2000KN集中荷載，分別采用歐拉梁B33-計算模型和鐵木辛柯梁B31-計算模型。 

采用B33單元，即為歐拉梁單元，計算結果為Dis=81.92mm

采用B31單元，計算結果為Dis=82.98mm

為了較好的模擬即為鐵木辛柯梁模型，做如下圖調整，計算可得Dis=83.03mm：

采用實體單元分析，求得結果偏大，原因是假定計算不同，得到的位移Dis=87.66mm。

基于Python采用OpenSees進行建模計算，懸臂梁長度為1500mm，其中梁截面尺寸為200mm×200mm，所用材料為Q345，代碼如下所示，懸臂梁左端固結，右端施加2000KN集中荷載，分別采用歐拉梁-計算模型和鐵木辛柯梁-計算模型。

from openseespy.opensees import *

a = 200

v = 0.3

E = 2.06*10**5

G = E/2/(1+v)

Iz = a**4/12

F = 2000000

##################################################

wipe()

model('basic', '-ndm', 2, '-ndf', 3)

## =========== 建模 ============== ##

node(1, 0, 0)

node(2, 0, 1500)

fix(1, 1, 1, 1)

geomTransf('Linear',1)

#element('elasticBeamColumn', 1, 1, 2, a**2, E, Iz, 1) #歐拉梁模型

element('ElasticTimoshenkoBeam', 1, 1,2, E, G, a**2, Iz, a**2*5/6, 1) #鐵木辛柯梁模型

timeSeries('Linear', 1)

pattern('Plain',1, 1, '-fact', 1)

load(2, F, 0, 0)

## =========== 分析 ============== ##

system('BandSPD')  

numberer("RCM")

constraints("Plain")

integrator("LoadControl", 1.0)

test('NormDispIncr', 1.0e-15,  10 )

algorithm("Linear")

analysis('Static')

analyze(1, 1)

print(nodeDisp(2,1))

分析得到結果：

鐵木辛柯梁：83.05339805825236mm

歐拉梁：81.91747572815541mm

1. PKPM、SAP200、Midas、Perform-3D、Opensees 計算結果與理論結果誤差均小于0.01%，利用上述有限元分析軟件可以很好的實現理論的反演；

2. Abaqus 分析分別采用桿系單元和實體單元，由于網格劃分和假定條件不同等問題，誤差為0.0277%，雖然誤差大于上述軟件，但處于可接受范圍；

3 .OpenSees計算精度和結果與手算最為貼切，在PKPM中采用的是鐵木辛柯梁的梁單元。