【JY】有限單元分析的常見問題及單元選擇
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再次整理了下筆記，在看本文前，可以先看下：【JY】有限元分析的單元類型分享一波~
我們常用的有限元方法有以下非常需要注意的要點（特別是實體單元的應用）：剪切鎖死、體積鎖死、沙漏模式、零能模式，對于單元選擇又需要注意：完全積分、減縮積分、強化應變、雜交分析的概念。
簡而言之，正確的實體單元的模擬是最貼近真實狀態的，但是往往由于使用者自身水平受限，包括考慮各種復雜非線性等因素(如材料非線性、幾何非線性、接觸非線性等)，實體單元是比較難以駕馭的，模型在一定條件下若能簡化成桿系單元（【JY】從一根懸臂梁說起）、板殼單元（【JY】板殼單元的分析詳解）進行分析是一種非常有利簡便、精準快捷的數值計算方法。
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剪切鎖死（Shear locking）
概念：在理論上沒有剪切變形的單元中發生了剪切變形，該剪切變形也常稱伴生剪切。以結構彎曲變形為主的問題中，單元整體出現“剛度過大”的情況，結構形變明顯小于預期。
根據梁的基本理論，對于純彎變形，軸向應變在厚度方向呈線性變化，而剪應變為0。但如果在計算中采用了低階完全積分的四節點或四邊形單元，線性單元在沒有中間節點的情況下無法模擬純彎。
在每一個積分點，初始時豎直方向的虛線與水平方向的虛線夾角為90°，變形后卻改變了，說明這些點上的剪應力不為零，這與純彎曲時剪應力為零不一致。產生這種偽剪應力的原因是因為單元的邊不能彎曲，他的出現意味著應變能正在產生剪切變形，而不是所希望的彎曲變形，因此總的撓度變小，即單元過硬。剪力自鎖僅影響受彎曲載荷完全積分的線性單元行為，而二次單元的邊界可以彎曲，故它不存在剪力自鎖的問題。
采用了四節點的線性單元，就只能以上下緣節點相對位移變化來體現“彎曲”但是，純彎問題的特點是只存在沿高度方向的纖維長短變化，純彎構件的每個截面與中線總是垂直的。當出現四個節點模擬純彎的時候，無法體現“中心線的彎曲"，即在數學描述上形成了單元水平線與垂直線之間的夾角變化，即“產生了”名義上的剪應力。從而提高了單元的剛度，然而這部分剛度顯然是不存在的，無形中使總的變形量減小，使得分析失真。
受純彎曲的減縮積分線形單元的位移
產生的結果：使得彎曲變形偏小，即計算的彎曲剛度太剛，模擬失真。
1、采用減縮積分；
2、細化網格；
3、強化應變單元模式，采用非協調單元；
4、假定剪切應變法；
5、采用高階單元。
建議采用方法：采用減縮積分，適當細化網格~
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體積鎖死（Volumetric locking）
概念：應該有單元的體積變化的時候體積卻沒發生變化，該原因是受到了偽圍壓應力（Spurious pressure stresses）。分析結果顯示體積幾乎不可壓縮，體積應變表現為無窮小，體現為結構過硬，甚至導致非線性分析的不收斂。
材料力學中有彈性模量、剪切模量等等諸多“模量”，其中，有一個與體積有關的模量，即“體積模量"，表達式如下：
體積模量可描述均質各向同性固體的彈性，可表示為單位面積的力，表示不可壓縮性。當泊松比v接近0.5時，上式中分母趨近于零，導致體積模量無窮大、體積應變無窮小。材料表現為不可壓縮，在超彈性材料、塑性流動時出現這種不可壓縮性的時候，會導致計算困難，產生單元偽應力。（注意：特別橡膠材料）
選擇二階單元對于彈塑性材料（塑性部分幾乎屬于不可壓縮），二階全積分四邊形和六面體單元在塑性應變和彈性應變在一個數量級時會發生體積鎖死，二次減縮積分單元發生大應變時體積鎖死也伴隨出現。但值得注意的是，一階全積分單元當采用選擇性減縮積分時在變形較小時可以避免出現體積鎖死。
產生的結果：使得體積不變，即體積模量太大，剛度 太大。
1、將大應變區域網格細化；
2、采用雜交單元；
檢查方法：輸出積分點的圍壓應力，分析圍壓應力是否在相鄰積分點存在突變，是否顯棋格式分布，是的話就說明出現體積鎖死。
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沙漏模式（Hourglassing mode）
概念：采用一階減縮積分時會出現零能模式，即單元只有一個積分點，在受彎時該積分點沒有任何的應變能，此時此單元沒有任何剛度，就無法抵抗變形。
如下圖所示受純彎曲作用的一小塊材料的變形，由于每個單元只有一個積分點，單元中虛線的長度和夾角均沒有改變，因而在單元單個積分點上的應力分量都為零，單元扭曲沒有產生應變能，所以單元在彎曲狀態下沒有剛度。簡單地說就是單元只有一個積分點，周邊的節點可以隨意變形。
檢查方法一：查看單元變形過程：如果有單元變形明顯異常，或有單元變成交替出現的梯形形狀，一般是出現沙漏模式。
檢查方法二：查看沙漏能在總內能中所占比例：當沙漏能約占總內能的1%時，表明沙漏模式對計算結果的影響不大；當其超過總內能的10%時，分析就是無效的，必須采取措施加以解決。
產生的結果：單元太柔，模擬失真。
1、對一階減縮單元，合理細化網格；
2、荷載避免使用點荷載；
3、在大應變區或大應變梯度區使用一階單元，而不是使用二階單元。
4、 強化應變單元模式，采用非協調單元(大變形不適用)；
5、人工沙漏模式，通用有限元軟件調整并釋放沙漏剛度。
有限元計算中單元怎么選擇？
（基于Abaqus進行討論）
完全積分
完全積分是指當單元具有規則形狀時，所用的高斯積分點的數目足以對單元剛度矩陣中的多項式進行精確積分。對六面體和四邊形單元而言，規則形狀是指單元的邊相交成直角，而任何的節點位于邊的中點。線性單元如要完全積分，則在每一方向需要兩個積分點。
如下圖所示，三維單元C3D8在單元中排列了2×2×2個積分點，而二次單元如要完全積分則在每一方向需要3個積分點。
減縮積分
減縮積分比完全積分在每個方向少用一個積分點。減縮積分的線性單元只在單元中心有一個積分點。
減縮積分單元比完全積分單元在每個方向少用一個積分點。減縮積分的線性單元只在單元中心有一個積分點。只有四邊形和六面體單元才能采用減縮積分；而所有的楔形體、四面體和三角形實體單元只能采用完全積分，即使它們與減縮積分的六面體或四邊形單元用在同一個網格中。
正確使用減縮積分可以使得計算量減小的同時得到較為滿意的數值解。實際上，在Abaqus中這些一階單元采用了更精確的均勻應變公式，對此單元計算了其應變分量的平均值。
強化應變
強化應變單元模式中，通常采用非協調單元進行分析，主要是為了克服完全積分中一階單元的剪力鎖閉問題（見前文）。
剪力鎖閉是由于單元的位移場不能模擬與彎曲相關的運動學而引起的，那么可以考慮把增強單元變形梯度的附加自由度引入到一階單元中去。因此非協調單元的主要思路在于采取某種方式讓應變沿一個方向呈線性變化，通過增加一些虛擬的附加自由度，讓單元內部應變模式為線性變化。由于這種增加變形梯度變化（如下圖所示）完全是在單元內部，與單元節點無關，因此，即不增加求解結構的整體自由度數，也可以保證在邊界上位移仍然是連續的。因此在彎曲問題中，非協調模式單元的結果與二次單元計算結果相近，但計算成本卻大幅度降低。
不過，非協調單元也有它本身的限制和弱點，比如當單元形狀比較畸形時計算結果會非常差甚至不收斂， 且單元對扭轉非常敏感。
雜交分析
對不可壓縮材料（泊松比=0.5）或非常接近于不可壓縮的材料（泊松比>0.495）問題需采用雜交單元。
橡膠就是具有不可壓縮性質的材料的例子。（再推：【JY】橡膠支座精細化模擬與有限元分析注意要點）
如果材料不可壓縮，其體積在荷載作用下并不改變。因此壓應力不能由節點位移計算，對于具有不可壓縮材料性質的單元，一個純位移數學公式是不合適的。雜交單元包含一個可直接確定單元壓應力的附加自由度。其節點位移只用來計算偏（剪）應變和偏應力。不能用常規單元來模擬不可壓縮材料的響應（除了平面應力情況），這是因為在單元中的壓應力是不確定的。
實體單元的選擇
對某一特定模型，如果要想以合理的計算量，并達到精確的結果，則正確地選擇單元是非常關鍵的。根據自身的實際問題，可考慮下面的建議：
1、若不需要模擬非常大的應變或進行復雜的需改變接觸條件的問題，則應采用二次減縮積分單元（CAX8R，CPE8R，CPS8R，C3D20R等）。
2、如果存在應力集中，則應在局部采用二次完全積分單元（CAX8，CPE8，CPS8，C3D20等）。它們可用最計算量用提供應力梯度最好的解答。
3、涉及有非常大的網格扭曲問題（大應變分析），建議采用細網格剖分的線性減縮積分單元（CAX4R，CPE4R，CPS4R，C3D8R等）。
4、對接觸問題采用線性減縮積分單元或細分的非協調單元（CAX41，CPE41，CPS4II，C3D8I等）。但盡可能地減少網格形狀的扭歪，形狀扭歪的粗網格線性單元會導致非常差的結果。
5、對于泊松比約等于0.5的材料，應采用雜交單元進行分析（名字前標有字母“H”）。
6、對三維問題應盡可能采用規整的六面體單元。因為它們以最小計算量給出最好的結果。
下期再見！
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