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今天，我們繼續研究下一節——應力·拉（壓）桿內的應力。

我們知道，應力是判斷結構性能的一個重要指標，在結構設計中，應力的正確計算是極其重要的。下面，我們通過例題2-3，來研究該題的材料力學解法和ANSYS解法。

一．材料力學解法：

我們首先對該結構進行受力分析，假想用一直徑平面將該圓環切開，受力圖如下：

根據平衡方程，半環上內壓力的合力F  _R=2*F  _{N  。}

所以，

F_R=pbd/2

此時，我們引入一個假設：當圓環的壁厚δ與內直徑d有如下關系：δ/d≤1/20，可以認為徑向截面上的正應力是均勻分布的。該假設的誤差，筆者將在文章最后給出。

依據上述假設，可得徑向截面上的正應力：

σ=F_N/A=pbd/2bδ=40MPa

二．ANSYS解法：

首先，我們引入兩個概念：平面應力和平面應變。

1.平面應力：

如下圖，對于很薄的等厚薄板，只在邊上受有平行于板面且不沿厚度變化的面力或約束；同時，體力也平行于板面且不沿厚度變化。設薄板的中面在xy平面內，z軸垂直于中面，則在整個薄板上，都有：

σ_z=0，τ_zx=0，τ_zy=0

根據切應力互等定理：

τ_xz=0，τ_yz=0

此時，只剩下平行于xy面的三個應力分量：

σ_x，σ_y，τ_xy=τ_yx

又因為板很薄，可以認為這三個應力分量是不沿板厚變化的，它們只是x，y的函數。

這就是平面應力問題。

2.平面應變：

如下圖，對于很長的柱形體，橫截面不沿長度變化。在柱面上受有平行于橫截面且不沿長度不變化的面力或約束，同時，體力也平行于橫截面且不沿長度變化。

假設該柱體無線長，以任意橫截面為xy面，任意縱線為z軸，則所有一切應力分量、應變分量、位移分量都不沿z方向變化，只是x和y的函數。由于對稱，所有各點都只會沿x和y方向移動，不會有z方向的位移，所以w=0，ε_z=0。

由對稱條件，可知

τ  _zx=0，τ  _zy=0

根據切應力互等定理：

τ  _xz=0，τ  _yz=0

由胡克定律：

γ  _zx=γ  _zy=0

由于z方向的伸縮被阻止，所以σ  _z一般并不等于0。

此時，只剩下平行于xy面的三個應變分量：

ε  _x，ε  _y，γ  _xy

這就是平面應變問題。

說明：

1.平面應力和平面應變問題的區別：平面應力: ε_z≠0 ，軸向遠小于橫向；平面應變: σ_z≠0，橫向遠小于軸向。

2. 平面問題的求解體系：8 個未知數，必須建立8 個相互獨立的方程才能得以求解。

3. 平面問題方程來源：

a. 平衡微分方程：建立應力和力之間的關系，總共3個，力矩平衡方程推出切應力互等，所以還剩x，y方向力的平衡方程；

b. 幾何方程：建立應變與位移之間的關系，總共3個；

c. 物理方程：建立應力與應變之間的關系，總共3個。

以上只是對平面問題簡單的論述，若讀者想深入學習，可參閱徐芝綸教授編著的《彈性力學》第5版。

使用ANSYS求解該問題時，我們從以下幾個方面入手：

1.確定分析類型：根據例題所示結構，確定分析類型為靜力學分析；

2.通過對例題結構進行分析，可知該結構符合平面應變問題；計算時可選擇任意橫截面，使用平面單元進行計算；

3.該橫截面同時關于x軸和y軸對稱，計算時可使用四分之一結構計算。

Step1：在SCDM中創建平面模型。

由于我們使用平面應變模型計算，所以建模時必須要將橫截面建立在xy平面上。根據題目中給的幾何尺寸，在xy平面上建立一個四分之一的圓環面。草繪完成后，點擊頂部的Pull或者底部Return to 3D mode，然后按ESC鍵，將草繪轉化成面。建立完成以后，點擊菜單欄Workbench→ANSYS transfer→2020R1進入Workbench。

Step2：  設置分析類型（2D）。

在Project Schematic中的空白處點擊右鍵，選擇Properties，打開Properties of Project Schematic。單擊項目中的A2（Geometry）欄，在Propertiesof Project Schematic A2: Geometry中將AnalysisType切換為2D。（若Analysis Type為3D，則導入平面幾何后軟件將使用殼單元計算。）

Step3：創建分析流程。

將StaticStructural拖入Project Schematic，并與剛才導入的幾何建立聯系。雙擊Model進入Mechanical。

Step4：幾何設置。

在結構樹中點擊Geometry，將Details of Geometry中的2D Behavior切換成Plane Strain（平面應變）。

Step5：網格劃分。

為了得到更加精確的結果，筆者在圓環的厚度方向布置了5個網格，將網格尺寸設置為1mm。為了使網格全部為四邊形，筆者在網格劃分時設置了Face Meshing。

Step5：載荷及約束設置。

1.載荷：薄壁圓環內壁施加2MPa的壓力。（施加Pressure時，正值代表壓縮，負值代表拉伸）

2.約束：由于我們使用的是四分之一模型，所以我們在對稱邊界上使用Frictionless Support。為了讓讀者看著清楚，筆者在每個對稱邊界上都施加了Frictionless Support，這樣有個好處，就是能在后處理的時候查看每個對稱邊界上的支反力。簡單一點的話，可以選中兩個對稱邊界，施加一個Frictionless Support也可以。

Step6：求解及后處理。

題目讓我們求圓環徑向截面（即對稱邊界）上的拉應力，后處理時，我們可以選擇單獨輸出對稱邊界上的結果。我們單擊Solution，在Results中選擇Stress→Normal Stress，并在Details of Normal Stress將Geometry選為對稱邊界的一個邊，將Orientation設置為Y軸。然后提取結果。

通過計算結果發現：

1.圓環徑向橫截面上的正應力最大值為41.024MPa，最小值為39.024MPa，平均值為40.024MPa，與材料力學計算結果基本相同。

2.圓環徑向截面上的正應力沿壁厚不是均勻分布的，而是呈線性分布。但最大值和最小值相差很小，可以認為是均勻分布。

3.求解時將三維空間問題轉化為二維平面問題，用二維坐標系研究三維問題，在保證計算結果的前提下，大大縮短了計算時間，提高了計算效率。

至此，該例題求解完畢。

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