一、 問題描述
如圖所示為一等厚度空心圓盤（參看圖1.1），厚度4mm，內徑r=10+Δ，Δ=22mm，外徑R=500mm，材料屬性數據：雙線性（參看圖1.3）E=2.1×1011Pa，ET=6.0×109Pa，屈服極限σs=500MPa，μ=0.3，密度ρ=8500kg/m3，采用Mises屈服準則，裂紋初始長度為a0=2.0mm。裂紋如圖1.2，裂紋位于0度90度180度和270度的位置，圖中粗短線表示裂紋。
要求用有限元解
（1） 載荷為均布拉力q=150MPa時的KI。（參看圖1.1）
（2） 載荷為均布拉力q=1200MPa時的J積分值。（參看圖1.1）
（3） 當載荷為轉速n=600r/min的KI ，并計算沿裂紋尖端不同路徑的積分值，與KI比較。



二、 求解
求解中統一采用國際單位制，長度m，壓力、應力與彈性模量Pa，密度Kg/m3，轉速rad/s。
對圓盤的1/4進行 ANSYS建模，網格劃分如圖2.1。單元類型為6節點三角形單元plane2。裂紋附近單元邊長為0.0002m。載荷施加如圖2.2，扇形兩條半徑（裂紋處除外）上施加對稱位移邊界條件，弧上加均布拉力。裂紋處無位移約束。


計算的應力強度因子和J積分結果如表2.1。前面給出的J積分由于坐標系錯誤，做法不對，現在改正1200Mpa下的J積分結果。但是，結果差別不大。因為，即使在局部坐標系下，J積分中用到的 XG, YG, ZG的坐標還是在全球坐標系下的。坐標系的改變只對J積分的第一項有一點影響（對Y坐標積分這部分，Y坐標變了）。
新加兩個附件：改正后求解1200MPa下J積分的命令流，及兩張路徑定義的圖片命令流里面涉及到路徑定義的命令是GUI方式進行的。所以要分開看。
表2.1 應力強度因子和J積分結果
載荷 項目 不同路徑下的結果
150MPa KI 3.1359e7 2.986e7 3.3068e7 2.7695e7
（此處J積分沒改） J-Integral 3193.41629 3182.07917 3245.22042 3167.23352
1200MPa KI 5.4207e9 5.3398e9 5.382e9 5.285e9
J-Integral 4701408.68 4777189.41 4674756.71 4709657.93
600r/min KI 55011 54901 54672 54463
（此處J積分沒改） J-Integral 1.5649802 1.5719383 1.53405748 1.57113766
三、一些需要討論的問題（后面補的帖解決了大部分問題，這些留在這里供參考）：
1、求解方法選擇
1200MPa下采用默認的牛頓-拉普生法老是遇到收斂問題，經常不收斂，或者單元高度扭曲。而且需要采用的載荷子步也要很多。（有人做的時候很少遇到這種情況，這與網格劃分質量及網格多少有關，網格越少越容易收斂）
采用弧長法能解決這個問題。內徑參數r=10+Δ，Δ=22mm 這種情況直接就求出來了。Δ參數不同時可能也不能直接就求出來，也不收斂。但是可以在450，550MPa的地方加兩個載荷步就能收斂。如Δ=6mm時，直接用一個載荷步不收斂，我分成150，450，550，1200MPa幾個載荷步(依次存為載荷步1，2，3，4)y ，再求解150到1200MPa就成功了（lssolve,1,4,1）。不收斂的原因在于500MPa是屈服極限。
后來驗證過，網格畫稀一點，不用弧長法直接用默認設置就可以收斂。
2、J積分解法的疑問
我是按照help上的介紹做的，但是對其求解的做法有些懷疑。個人認為求解δuy/δy偏導數的話，應該是把路徑沿y方向移動才是對的。Help里面δux/δ x 的求法在數學上正確的。另外，ANSYS里面給了一個路徑項求導的操作：general postproc->path operation ->differentiate 。（differentiate是不是求導，請指教） 那這個東西用來求偏導數不行嗎？ 為什么help 里面要那么來求偏導數。
3、這個實例的建模
這個實例的建模，我是建的1/4模型。1/8模型也可以建出來，但是我對于1/8模型還能不能用對稱邊界條件有懷疑。1/4模型用對稱邊界條件是絕對正確的。另外，對稱邊界條件得到的約束條件在載荷步里面查看到，約束是發生在環向的（柱坐標系下），環向位移約束為零。加約束的時候直接加環向位移為零，也是可以的。
四、 命令流（log文件另附）
1、 建模和求解部分（這里的建模網格劃分比較密，可能不是很實用,這里的網格劃分不好，在裂紋尖端第一行單元沒有奇異性，最好還是用kscon 來做）
2、 J積分部分（對于半邊裂紋，如果你已經定義了路徑的話，直接把這部分命令流輸入進去就可以了）
/post1
!local,11,0,0.034,0,0 !這里不應該建立局部坐標系。只有計算應力強度因子才需要。這里只需要保證全局坐標系的X方向與裂紋平行就是了。
csys,0
！這里應該有一個定義path，這里沒有寫出。
3、應力強度因子
（1）方法一、先建立局部坐標系：原點在裂紋尖端，x方向與裂紋平行，Y與裂紋垂直，笛卡爾坐標系。定義路徑，直接點一下菜單路徑就出來了，或者用kcalc就可以了。
（2）方法二、線彈性情況下。先算出J積分然后根據J積分與應力強度因子的關系來求應力強度因子。對于 平面應變模型，J積分＝應力強度因子的平方×（1－泊松比×泊松比）/彈性模量
全尺寸裂紋模型前面所建立的模型都只有裂紋的半邊。為了驗證模型的正確性，后面又建了一個全裂紋的模型。與前面模型的建立方式有一些不同：
1、單元尺寸控制不使用lesize，而是在裂紋尖端用了一個KSCON命令建立concentrate keypoints。單元尺寸很粗糙。
2、模型的建立是在柱坐標系下進行，通過建立直線L實現的笛卡爾坐標下弧線的建立。
3、可能全尺寸裂紋模型的建立方式對大家有參考。主要是裂紋的上下表面在同一個位置，用不同的線/面來表示。
在命令流里面可以看到，直接用程序默認設置求解不收斂。把載荷步設一下就得到了求解結果。結果與前面的模型得到的結果接近。1200Mpa下的應力強度因子為 0.55352E+10，J積分為4657362.7。說明：這個模型中積分路徑是完全的。而前面的模型中是半邊路徑，計算中乘了2。
更新一下全尺寸模型的命令流（文件caenet_060715_002.rar,主要是J積分坐標系的問題）