我們最早接觸應力的概念其實可以追溯到小學自然課本，其中介紹了什么是壓強，它等于壓力除以受力面積。我們再一次研究壓強這個概念，是在初中物理，假如水的密度為ρ，重力加速度為g，靜水中深度為h的地方，其壓強為P=ρhg。

靜水壓力的討論

取靜水中一滴十分微小的水滴進行研究，其上方的水“壓著”它，其下方的水“托著”它，顯然“壓”和“托”的力道是一樣的，不然這滴水就會上下運動了。這滴水受到上下的擠壓，會有被“壓扁”趨勢，即產生了向“前后左右”擴散的趨勢，也就是說它向“前后左右”擠壓其周圍的水。同理，其“前后左右”的水也受到上下的擠壓，也要“前后左右”擴散，也在擠壓我們研究的這滴水。因此，這滴水的壓強是來自于四面八方的。

下面再來分析這滴水各個方向壓強的大小是如何分布的。以下的敘述不夠嚴謹但是有助于理解。取圖示的兩個等腰直角三角形緊挨著的水滴，他們受到上下方向的擠壓，將會有沿交界面相對滑動，但是實際中水是靜止的，因此一定需要水平方向的力來平衡它。因為水是可以流動的，不能夠承受剪切力，因此在交界面上只有垂直于交界面的力。只有水平方向的壓強與豎直方向的壓強相等時，圖中的兩個水滴才能保持靜止。至此，我們可以把靜水中的水滴受到的應力狀態完整的描述清楚，即靜水中的水滴受到來自“四面八方”的壓應力，并且各個方向的應力大小相等，方向垂直于水滴表面。可見，一點的應力狀態僅僅用一個數字是表示不清楚的，它比速度，位移這樣的矢量要復雜，因為應力狀態并不是單一方向的，它是“四面八方”都有作用。這種在“四面八方”都有作用，并且要滿足一定變換關系的物理量，稱為張量。通過以上的感性認識我們可以了解到，正是靜水不能承受剪切力這一性質，導致了靜水中一點的壓強在各個方向上均相同。在我們了解應力張量的性質以后，也能夠利用應力張量的性質證明以上觀點。

應力是力的密集程度

先來說清楚在某一指定方向上應力是如何定義的。小學的知識告訴我們壓強等于壓力除于作用面積，這是假設壓力是平均分布在作用面積上的。但實際往往不是這樣。假如某一物體，其受到外力的作用，處于靜力平衡狀態，我們將這一物體切開，分為A、B兩個部分，顯然A、B兩部分在交界面上有相互作用。現在將B移除，在交界面上對A施加一個分布力，這個分布力對A的作用與B對A的作用完全等效。

取截面上的一小部分，其面積為ΔA，其上作用的力為ΔF,在ΔA上的平均應力為P=ΔF/ΔA,當ΔA取的足夠小，P就為該點的應力，方向于ΔF的方向一致。即

由此可見應力是力在某一作用面積上的密集程度。將P分解到截面的法線方向和截面所在平面，就得到了該點的正應力和切應力。如果我們將物體在某一點沿任意方向切開，就可以完整的弄清楚這一點的應力狀態，但這樣做是不現實的。

應力狀態的表示方法

一般我們只把物體沿三個相互垂直的方向切開，得到三個方向的應力，用這三個應力就能夠完全描述該點的應力狀態。根據力的平衡條件，利用這三個應力可以計算該點任意方向的應力，為方便，一般取垂直于坐標軸的三個截面，將各個截面上的應力沿坐標軸分解，就得到了各個截面上的正應力和切應力，可見每個截面上有一個正應力和兩個切應力。

如圖取法向為Y軸的截面，可以得到該截面S點的正應力σ_y，切應力τ_yx和τ_yz，同理，再取法向為X軸和Z軸的截面，得到S點的應力_σx、_τxy、_τxz和_σz、_τzx、_τzy。因此S點的應力狀態可以表示為：

物體兩個部分之間的力是一對作用力與反作用力，因此上圖中應力P與P’是大小相等，方向相反的。為了較為直觀的說明應力分量之間的關系，考慮二維的情況。在平面內取一微小的正方形，該正方形右側物體對正方形作用的應力為（σ_x，τ_xy），正方形左側物體對正方形作用的應力為（σ_x’，τ_xy’），由于取的正方形足夠小，可以認為（σ_x，τ_xy）=-（σ_x’，τ_xy’），同理，（σ_y，τ_xy）=-（σ_y’，τ_yx’）。只有τ_xy=τ_yx，并且旋轉方向相反時，才能保證微小正方形不旋轉，這就是切應力互等定理。由于切應力互等，應力張量是對稱的，9個應力分量只有6個是獨立的。

如何通過這6個應力分量計算S點任意方向截面上的應力呢，即如何計算斜截面上的應力，針對下圖的四面體微元體，根據力的平衡方程就可以推到出計算公式，需要注意的是，力等于應力乘以面積，每個面的面積不能算錯。

最終可以得到：

其中σ_n表示法向為n的截面上的應力矢量，cosθ₁、cosθ₂、cosθ₃為法向n的方向余弦。不斷改變法向n，即可得到一系列不同方向截面上的應力矢量，這些應力矢量的末端在空間中形成一個橢球，如圖所示：

靜水中各個方向的應力相等，因此靜水壓力的應力橢球是一個球體，靜水壓力的應力張量又稱為球形應力張量。

應力具有三個不變量：

分別稱為應力的第一不變量，第二不變量和第三不變量，應力不變量的大小與坐標的選取無關，因此是坐標不變量。其中|  |表示矩陣的行列式。

同樣是上圖S點處的應力，我們改變坐標軸的方向，用垂直于新的坐標軸的三個平面將物體在S點處切開，將會得到一組新的應力分量，大多數情況下這組新的應力分量與老的應力分量是不同的。由于坐標軸不同，導致應力分量不同，但是這兩組應力分量都描述了同一種應力狀態。因此，在描述一點的應力狀態時，也應該說明是在哪個坐標系下描述的

主應力

不斷改變坐標軸的方向，當坐標軸改變到某一方位時，應力分量中的切應力分量全為0，我們稱此時的坐標軸方向為S點的應力主向，此時的三個正應力稱為主應力，按照大小順序稱為第一主應力σ₁，第二主應力σ₂，第三主應力σ₃，即σ₁≥σ₂≥σ₃。以第一主應力、第二主應力、第三主應力所在方向定義坐標系的XYZ軸，這個坐標系所描述的空間稱為主應力空間。

若將應力不變量用主應力表示，則有：

最大主應力和最小主應力分別是該點任意截面上正應力的最大值和最小值，并且三個主應力一定是相互垂直的。利用斜截面應力計算公式，可以求得：最大剪應力所在平面與主應力σ₂平行，與主應力σ₁、σ₃的角度為45度。其大小為：

應力狀態的分解

如果應力狀態的三個主應力當成主應力空間中的坐標，那么主應力空間中任意一點就代表了一種應力狀態。過主應力空間原點作一條與三個坐標軸具有相同夾角的直線，其方向余弦為（），該直線稱為靜水壓力軸，其上任意一點所代表的應力狀態為σ₁=σ₂=σ₃，為靜水壓力狀態。以靜水壓力軸為法向，過坐標原點的平面稱為π平面。π平面上的應力狀態有σ₁+σ₂+σ₃=0，為偏應力狀態。如下圖所示，對于任意的應力狀態(σ₁,σ₂,σ₃)，均可以將其在主應力空間中分解到靜水壓力軸上和π平面上，分別是靜水壓力部分σ_m和應力偏量部分s，這在塑性力學上是十分重要的。靜水壓力部分使物體產生體積變化，應力偏量部分使物體產生形狀變化。

因此，靜水壓力部分的應力狀態為：

自然的，應力偏量部分為：

由于應力偏量的主應力之和等于0，即

可以得到

靜水壓力應力狀態在主應力空間中的矢量長度為

應力偏量s在主應力空間中的矢量長度為用π平面將物體切開，根據斜截面應力的計算公式，切開后該點的應力為:

將應力矢量投影到切面的法向，也就是靜水壓力軸方向，得到切開面上的正應力的大小也等于σ₀。

切面上的切應力的大小為

研究所有法向量為，過主向空間原點的平面，這樣的平面一共有8個，π平面是其中之一。發現這些面上的正應力、切應力的大小與π平面的情況相同，均為

將這些面沿著各自的法相平移同樣的距離，就構成一個八面體，因此將這些面統稱為八面體面。這些面上的應力在塑性理論中是十分重要的。

對于mises屈服材料，例如鋼，當τ大于某一個閾值R時，認為材料進入屈服階段，這個閾值可以通過材料的單軸拉伸試驗獲得。mises屈服條件可以理解為：主應力空間應力矢量的末端落在以靜水壓力軸為軸線，R為半徑的圓柱體外，那么材料進入屈服。更為準確的理解是：當形狀改變能(畸變能)或八面體上的剪應力達到某一閾值時，材料進入屈服。對比理想的mises屈服材料，主應力空間中的主應力矢量并不會落在這個圓柱以外，當主應力矢量接觸到圓柱，并且還要繼續向圓柱外運動時，圓柱的半徑會隨著主應力矢量的外移而擴大，圓柱擴大的過程就是材料屈服的過程，擴大前的圓柱外表面就是初始屈服面，擴大后的圓柱外表面就是后繼屈服面。因此，輸入給有限元求解器的應力-應變曲線，本質上是輸入了屈服面（圓柱外表面）的擴大過程。

若干有關應力的概念

定義von mises等效應力有限元軟件中就是以von mises等效應力的大小顯示von mises應力云圖的。當然也可以讓有限元軟件將主應力以箭頭的方式顯示出來，這有助于我們更深刻的理解物體內部的受力情況，下圖顯示了某一物體內部的第一主應力。

定義應力三軸度等于靜水壓力除以von mises等效應力：

應力三軸度反應了π平面應力矢量與靜水壓力軸之間的夾角情況，也反映了π平面應力矢量與三個坐標軸的夾角情況，因此這個物理量的名稱當中有“三軸度”三個字。給定一個應力三軸度值，相當于給定了一類應力狀態。如果σ₁，σ₂，σ₃同時大于0或同時小于0_，這類應力狀態的π平面應力矢量的末端在主應力空間中形成2個錐形，錐形的軸線是靜水壓力軸。

如果還要將給定應力三軸度的應力狀態分類，就需要用到羅德角。將主向空間中的坐標軸投影到π平面，則三個坐標軸的投影呈120度夾角，在1軸和2軸之間，過原點在π平面的投影點，作垂直于2軸投影的直線，由該直線逆時針轉至主向空間應力偏量矢量的角度，稱為羅德角。

給定羅德角，相當于在錐面上指定了一條母線。羅德參數