引言： 我們知道從1914年Ingless和1921年Griffith提出斷裂力學開始，一直到60年代都停留在線彈性斷裂力學(LEFM)的層次。后來由於發現在裂紋尖端進入塑性區后用LEF仍然無法解決stress singularity的問題。1960年由Barenblatt 和Dugdale率先提出了nonlinear/plastic fracture mechnics的概念，在裂紋前端引入了plastic zone,這也就是我們現在用的 cohesive fracture mechnics的前身。當時這個概念還沒引起學術界的轟動。直到1966年Rice發現J-integral及隨后發現在LEFM中J-integral是等于energy release rate的關系。隨后在工程中發現了越來越多的LEFM無法解釋的問題。 cohesive fracture mechnics開始引起更多的關注。在研究以混凝土為代表的quassi-brittle material時，cohesive fracture mechnics提供了非常好的結果，所以在70年代到90年代，cohesive fracture mechnics被大量應用于混凝土研究中。目前比較常用的方法主要是fictitious crack approach和effective-elastic crack approach或是稱為equivalent-elastic crack approach. 其中fictitious crack approach只考慮了Dugdale-Barenblatt energy
mechanism而effective-elastic crack approach只考慮了基於LEFM的Griffith-Irwin
energy dissipation mechanism，但作了一些修正。
做裂紋ABAQUS有幾種常見方法。最簡單的是用debond命令, 定義
*FRACTURE CRITERION, TYPE=XXX,
參數。。。
**
*DEBOND, SLAVE=XXX, MASTER=XXX, time increment=XX
0,1,
……
......
time,0
要想看到開裂特別注意需要在指定的開裂路徑上定義一個*Nset， 然后在
*INITIAL CONDITIONS, TYPE=CONTACT中定義
master, slave, 及指定的Nset
這種方法用途其實較為有限。
例子如圖

另一種方法，在interaction模塊，special, 定義crack seam, 網格最好細化，用collapse element模擬singularity. 這種方法可以計算J積分，應力強度因子等常用的斷裂力學參數.
裂尖及奇異性定義:
在interaction-special,先定義crack, 定義好裂尖及方向, 然后在singularity選擇：
midside node parameter: 輸入0.25, 然后選Collapsed element side, duplicate nodes，8節點單元對應(1/r)+(1/r^1/2)奇異性。
這里midside node parameter選0.25對應裂尖collapse成1/4節點單元。如果midside nodes不移動到1/4處, 則對應(1/r)奇異性, 適合perfect plasticity的情況.
網格劃分:
裂尖網格劃分有一些技巧需要注意，partition后先處理最外面的正方形，先在對角線和邊上布點，記住要點constraint, 然后選第三個選項do not allow the number of elements to change不準seed變化，密度可以自己調整. 最里面靠近圓的正方形可以只在對角線上布點. 也可以進一步分割內圓及在圓周上布點. 里面裂尖周圍的內圓選free mesh, element type選cps6或者cpe6，外面四邊形選sweep mesh, element type選cps8或者cpe8, 記住把quad下那個縮減積分的勾去掉。例子如圖




這種方法的幾個值得注意的問題，見不少朋友問過。主要是對斷裂力學的理解問題。
1．為什么設置理想彈塑性(epp)分析的時候得到的xx,yy方向或者最大應力值Sxx, Syy會超過材料的屈服強度Sy呢, 這分析結果可能嗎？
這是因為在ABAQUS中對應等于材料的屈服強度的是von Mises等效應力Se=Sy，因此在 平面應變的條件下，xx方向的應力Sxx=Sy*pi/SRQT(3)>Sy, 而Syy=Sy*(2+pi)/SRQT(3), 大概是3倍的屈服應力。所以得到大于材料的屈服強度的xx及yy方向應力是正常的。
2．為什么設置collapse element的時候對彈性分析在中間就一個點而要把單元邊上的中點移到1/4處，但彈塑性分析卻要在中間設置一圈點并且保持單元邊上的中點位置不變呢？
這個其實不是隨便定的，在有限元中分析裂紋時，對彈性分析需要模擬裂尖1/SQRT(r)的奇異性，這樣在把單元邊上的中點移到1/4處后計算出來的等參單元拉格郎日型函數對應的u field正好包含1/ SQRT(r)項，事實上這一方法在斷裂力學的數值模擬發展史上是很巧妙的一個發現，至今仍然被廣泛采用。至于理想彈塑性分析需要模擬裂尖1/r的奇異性, 這樣大家都知道在把單元邊上的點放在到1/2處后計算出來的正常的等參單元拉格郎日型函數對應的u field包含1/ r項, 可以模擬彈塑性分析需要的裂尖1/r的奇異性。所以在看似動手點幾下就能實現的分析模式后面有很清楚漂亮的理論作支持。
也可以使用python控制seam尺寸,然后移動partition和網格，我也沒嘗試過。但有一些學者有類似的結果：FRANC/FAM - A software system for the prediction of crack propagation.
In: Journal of Structural Engineering 26, No. 1, 1999, pp. 39-48.
再不就是用一些專業的斷裂力學軟件如zencrack，感興趣的可以自己找相關資料
還有就是比較新的cohesive element單元。我仔細讀了 ABAQUS cohesive element的理論幫助，個人意見ABAQUS的cohesive element采用的是廣泛應用于混凝土的類似fictitious crack的方法。只考慮了Dugdale-Barenblatt energy mechanism。 這其中softening law 的影響是非常重要的。但ABAUQS似乎只提供了linear 或者exponential 的softening law，復雜的本構關系還需要另想辦法。至於基于Griffith-Irwin energy dissipation mechanism的J-integral值可以在LEFM分
析中單獨算。(ABAQUS用的是Suo Zhigang 和Hutchinson在1990一篇論文中提出的方
法) 目前cohesive fracture mechnics已經被應用于各種材料。不過在使用到納米
或者更小數量級的研究中碰到了不少問題，可能需要結合位錯和分子動力學的一些
理論。現有的cohesive element單元需要定義damage initiation和evolution的準則， softening準則目前好像只有linear和exponential，但對一般材料也夠用了。然后通過設置后處理display group可以看到裂紋擴展情況。裂紋擴展不是ABAQUS的強項，目前比較方便的只能用cohesive element，我做過幾個模型效果還可以，但對應的參數需要一定的實驗數據支持，否則做出來了也不知道對不對。要注意geometric thickness和constitutive thickness； material stiffness和interfacial stiffness的區別 以及厚度與精度的影響。Cohesive element的核心主要是TS-Law，無論里面的數據如何選取，厚度如何變化，cohesive element的表現取決于TS-Law的定義。具體dava的popo10已經給過詳細的解釋的討論，可以搜索他們的帖子。如圖是我做的3d cohesive element interfacial crack 的例子。