（借助虛功原理的）能量泛函法的個人總結，請大家指正。

1）有限元法的導出大概分為直接剛度法、（借助虛功原理的）能量泛函法和加權余量法。直接剛度法適合于應力和應變有明確關系的問題；能量法適合能建立能量泛函的問題；加權余量法適合一切問題，但通過加權余量法導出的有限元法需要變分法等知識，現(xiàn)對更抽象。

2）（借助虛功原理的）能量泛函法的核心思想是單元的信息（比如應力、位移、應變等）用節(jié)點的信息表示，暫且稱為轉換思想，這和有限差分法的用差分表示導數(shù)的思想是一致的。只要應力和應變時線性關系，對每一種特定形狀的單元，這種轉換的過程是一樣，所以產(chǎn)生形函數(shù)的概念，適合了計算機呆板的特點。

3）單元的信息（比如應力、位移、應變等）往往是無法確定的，不過可以寫成一個方程組（很多教材稱為剛度方程）。由于應力和位移都是按整體坐標系進行分解的，剛度矩陣很容易總裝，建立總的方程組。很明顯，網(wǎng)格越細，單元越多，方程數(shù)越多，內(nèi)存和cpu的壓力越大。

4）最需要注意的是，插值函數(shù)和虛功對應，因為插值是一個假設，虛功也是假設。假設越合理，結果越準確。所以使用高階次的插值函數(shù)，會帶來更靠近實際的結果。很顯然，這就得付出和再細分網(wǎng)格一樣的代價，比如平面定義域里面，三角形單元，一般是六個待定系數(shù)（u=a0+a1x+a2y;v=a3+a4x+a5y），如果提高一個階次變成12個待定系數(shù)（u=a0+a1x+a2y+a3xy+a4x^2+a5y^2;v= a6+a7x+a8y+a9xy+a10x^2+a11y^2）。方程數(shù)大大增多了。

6）既然再細分網(wǎng)格和采取高階次的插值函數(shù)往往不經(jīng)濟，人們想到第三種方法，就是使用邊數(shù)更多的單元（比如使用四邊形代替三角形，使用六面體代替四面體）。首先遇到的問題是分割之后，（以四邊形為例）得到的四邊形形狀各異，無法使用統(tǒng)一的格式進行積分，這就無法用計算機代勞，比如你說x和y的積分上限下限是多少呢。但是人們很快找到了方法，人們想，既然虛功是假設，插值也是假設，我們?yōu)楹尾话亚姘俟值乃倪呅味加靡粋€正方形帶代替呢。只要這個正方形能代表原四邊形（或者說正方形和四邊形的點之間都是一一對應的函數(shù)關系）便可。

7）在（借助虛功原理的）能量泛函法的發(fā)展中，有限元其實經(jīng)歷了兩次思想的飛躍，首先是使用節(jié)點信息代替單元任意點的信息，之二是用正方形代替代替任意四邊形（當然等參單元只用于局部坐標），這和有限差分的用微商代替導數(shù)的思想是一致的。

8）最后需要指出的是，所有學科都是統(tǒng)一的，比如結構力學里面的兩個幾何量（撓度和轉角），彈性力學里面的兩個位移（u和v），理論力學的兩種應變（線應變和切應變），其實都是一回事，兩個變量的不同表示而已。

（借助虛功原理的）能量泛函法的個人總結，請大家指正。