場的勢·狹義相對論· 四維張量

我開始冒出這個念頭是上課聽老師講到洛侖茲規范。為什么用這個規范書上并沒有講，而是粗略地給出了與相對論原理有關。到底是何關系呢？我們學了近一個學期的電磁場，其實大部分時間是在學習如何用現成簡單的模型去解釋計算電磁場，以及和電磁場有關的各種器件的性質及運用的計算，而對電磁場的本質接觸的并不是很深。而我從中學開始就看過一些相對論的書，但是真正的理解卻談不上。所以我想去更深入地對其加以研究，以便對電磁場有一個更深的了解。下面就是這幾個星期以來我看書思考的一點點收獲。
洛侖茲條件：
在《電磁場與電磁波》的第八章天線中，為了求解激發的電磁波，需要解有源麥克斯韋方程：
求解的過程中要將E和H用位函數Φ和A替換：

得到兩個非齊次的亥姆霍茲方程：

當邊界趨于無窮遠時，這兩個方程的解即電磁場的位函數就是：

再通過位函數可以反求場量E和H。
而在用位函數進行替代的時候，考慮到A只規定了旋度，所以可有無窮多個取值，我們用洛侖茲條件對其加以限制：

場
我們看到位函數的定義顯然是兩個散度旋度分別為零的兩個量，通過這兩個量可以完全地決定電磁場這個場的的狀態。場到底是一種什么東西呢？那就先從它開始吧。從中學開始接觸電磁場，書本上說場是一種特殊的物質，物體可以通過它，不接觸就可以相互作用。場它看不見，摸不著，卻著實存在。結果我心中還是迷迷糊糊的，只是記住了書上說的那些概念和性質，而場還依然神奇。
通過我們這個學期的學習，我們知道在一個區域里每點都存在一確定的物理量，我們就可以說在這個區域里存在有某場量構成的場。這個場量可以是標量也可以是矢量。由于在這個區域里的每一場量都不是單獨存在的，而且僅僅研究單個點上的物理量沒有實在意義，所以常常要研究一點的場量和周圍其它點的場量之間的關系，這就有了很多表示場性質的量。
（1）梯度：表示一個標量沿一定方向的大小變化

（2）散度：表示流出單位體積的矢量流量

（3）旋度：單位面積上的矢量環量

有了這些新的量之后，就可以對場進行分類：
旋度為零的場叫無旋場。因為，所以該場量可以是一個標量場的梯度或其相反數，即。
靜電場就是一個無旋場，因為對單個電荷來說：

從而根據場的疊加原理可以得到：

同時運用斯托克斯定理可得：

即。這表明靜電場的電場線是從正電荷出發，連續地通過自由空間到負電荷，中間沒有任何的漩渦結構。就像不斷地往一個裝滿水的臉盆中間放水，雖然水不斷地從中間向外面流走，但是沒有漩渦。
散度為零的場叫無源場。因為，所以該量可以是一個矢量場的旋度，即。
任何磁場都是一個無源場，這是因為“磁荷”是不存在的。所以對于任何閉合曲面磁感強度B得通量總是零：，即。就像一盆被攪亂了的水，在里面到處都有各自的旋度，但是每個地方的水沒有多也沒有少。
而一般的場散度旋度都不為零。
就像在電磁場中，電場和磁場是耦合在一起的。且只有有旋的電場才能產生磁場，所以
感應電場是有旋的。在解這種復雜的場問題時，我們總喜歡將其分解為簡單的問題來解。根據亥姆霍茲定理，任何一個矢量場都可以分解為一個無旋場和一個無源場之河，所以自然而然的將電磁場加以分解。因為有源的電磁場滿足：

所以就有完全滿足分解的條件，而方便了求解。
勢的應用
看完了場的分解，下面就看一下人為引入的兩個位函數，而公式中的Φ與A就是勢。
（1）Φ為電場的標勢。在確定了零勢能點之后，它的物理意義為把單位正電荷從零勢能點移到該點克服電場力所做的功，即電勢能的增量。靜電場中旋度為零，且電場強度總是由高電勢指向低電勢的，所以定義。由Φ可以完全確定E。
（2）A為磁場的失勢。在確定了零勢能點之后，它的物理意義為把單位正電荷從零勢能點移到該點克服電場力所做的沖量，即電磁場的動量增量。磁場中散度為零，所以定義。而只給出矢量場A的旋度，無法確定A，只有通過規定A的散度才能確定它。在靜磁場的問題上，通常規定，稱為庫侖規范。而在電磁場問題中，我們規定，稱為洛侖茲規范。可見當不隨t變化時，洛侖茲規范就是庫倫規范。可見所謂規范只是一個為了方便計算的統一的規定而已。
通過這兩個勢，可以將電磁場的問題大大簡化。
（1）在靜電場中：
把代入就有
如果空間中介質分布均勻，且，則可得拉普拉斯方程，用分離變量法求解。如果空間中，則可先利用高斯定理等方法求一特解，再加上等于零時候得通解，則原方程即可求解。
解的形式為：
（2）在靜磁場中：
把代入就有泊松方程，即可求解。
解的形式為：
（3）有源電磁場：

把代入，再設有洛侖茲條件：
可得達朗貝爾方程：，也易求解。
其解的形式為：
要注意的是，勢其實是一個人為規定的量，它具有不確定性，歸根結底只是一個為了方便計算的中間變量罷了。洛侖茲條件給了它一個相對容易求解的形式。
狹義相對論
研究勢的過程中，特別是在其解的形式里，我們發現區域中某一點某時刻的勢并不是由該時刻的源決定的，而是由一定時間之前的源的性質決定的。這就有了一個推遲勢的概念，說明了物體通過場的作用不是超距的，而是近距的；電磁波是以一定的速度傳播的。而這個速度是一個常數，而且與所取的慣性系的不同是無關的。這不禁要使我們對經典的時空概念產生懷疑，從而決定了狹義相對論的誕生。因為在任何慣性系中，描述的物理規律都應該是等價的，光速也應該是不變的。
1、洛侖茲變換：
假設有兩個慣性系和，之間只存在x方向的相對速度為v。一個光信號從剛開始兩個慣性系重合的原點（0，0，0，0）發出，一定時間后的波陣面是球面：

根據相對性原理，在不同慣性系中兩事件的間隔應該是一樣的，即間隔不變性。
由于在不同的慣性系中，對物理規律的描述都應該是等價的，所以假設兩慣性系的變換應為線性的：

根據兩個坐標系的相對速度有可以得到：。
統統代入間隔不變的關系式可得：

要對任意的x、t都成立，所以同類項之前的系數必須相等：

解得：代入原變換式就有洛侖茲變換：

同時也可以求得速度的變換式：

2、時空理論：
（1） 在這些變換中可以看出：物體運動的速度不可能超過光速，否則根號內就會出現負數。
（2） 而光速在所有慣性系中是不變的：
若有則。
（3） 時空是相對的，且兩者之間存在著密切聯系。不同慣性系中測得的空間時間距離會不同，造成了同時的相對性：

時間間隔的相對性：

距離的相對性：

在此，時空應該被看作一個整體來進行研究。
張量
1、定義
（1）并失：

（2）并失在三維空間中有九個分量，稱為三維二階張量
其變換滿足變換式：
其中成為單位張量
兩個張量相等需要9個分量都要相等。
如果，就稱為對稱張量；如果，就稱為反對稱張量。
2、計算
（1）張量加減，即將每個分量分別加減。
（2）標量乘以張量，即將每個分量分別乘以這個標量。
（3）矢量與張量點乘叉乘，即將矢量與分量中相鄰的矢量相乘。
（4）張量與張量間的點乘，即將中間兩個矢量求標積。
（5）張量的散度，
另有：
（6）張量的旋度，
（7）各種其他計算公式：
3、物理意義： 的意義為通過垂直i軸的單位面積流量的j分量。
四維空間：
1、定義：
（1）四維空間：我們將x，y，z，t看作空間中的四個坐標。由于時間這個坐標的特殊性，為了量綱相同，我們把時間坐標表示為ict。這樣四維空間中每個點都表示一個“事件”，而根據間隔不變性有：不變量。由于洛侖茲變換滿足間隔不變性，所以它可以作為四維空間中的坐標變換：


（2）四維標量：一個物理量由一個純數表示，且滿足間隔不變性：不變量。
（3）四維矢量：一個物理量V有四個分量，且滿足洛侖茲變換規律。
記作：或
（4）四維張量：類似三維空間中的張量，四維空間的張量由16個分量組成，在洛侖茲變換下滿足：
2、四維空間的物理量：
（1）速度矢量：
（2）加速度矢量：
（3）四維動量矢量：
（4）四維力：
3、四維空間的計算
（1）四維微分：
（2）達朗伯算符
（3）梯度：
（4）散度：
（5）旋度：
4、電磁場的四維協變形式：
電荷守恒定律：
若引入四維電流密度矢量：，則連續性方程就變為：。 因為電流密度J的定義為，而速度是一個相對的物理量，在計算密度中體積也是一個相對量，所以加上時間這一維后才滿足協變性，即
（2）電磁場的勢：
失勢A和標勢滿足達朗貝爾方程
和洛侖茲條件：
若引入四維勢矢量：，就有： 因為標勢的計算涉及到距離，而失勢的計算涉及到時間，他們都是相對量。其余一個變量為力，所以將其統一為四維勢矢量后，滿足協變關系。
（3）電磁場張量：
根據，
引入四維張量：，即 滿足協變性：=不變量，或不變量。
從中可以看出，E和B在相對論中統一為一個整體電磁場張量。，因為磁場總是一個無源場，所以B是空間分量，只用考慮空間的分布；而電場可能是有源的，考慮源的作用的同時還要考慮磁場的耦合作用，所以E是空間時間混合分量。單個的磁場電場就是個相對的概念。
（4）電磁場的變換關系：
根據可以求得在不同的慣性系中：

如果將其分為與兩個慣性系的相對速度平行和垂直的分量，有：

從中可以看出，在不同的慣性系中，電場和磁場不知絕對的，是可以相互轉化的。這是由于時空的相對性決定的。
（5）麥克斯韋方程：

由于四維張量的散度為：
其空間部分為
時間部分為
而根據定義可得，
當分別為（1，2，3），（2，3，4），（3，4，1），（4，1，2）。
就有和
所以將電場和磁場分量和在一起就可以得出麥克斯韋方程的協變量形式。

（6）波矢量和頻率：
波矢量和頻率決定了相位。根據間隔不變性，等相位面應該在各個慣性系中保持不變。所以引入四維波矢量：。則有不變量。因為k決定了一個波在空間里的重復性質，而決定了波在時間里的重復性質，將兩個合為四維波矢量，就決定了一個波在時空中相位的不變性。而多普勒效應正是四維波矢量在不同慣性系下的變換。