淺談對結(jié)構(gòu)動力學(xué)的認(rèn)識

摘要：簡單地講述了對結(jié)構(gòu)動力學(xué)的整體認(rèn)識，介紹了結(jié)構(gòu)動力學(xué)的發(fā)展歷程，結(jié)構(gòu)動力問題的幾大特點，結(jié)構(gòu)動力問題的分類，結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的動力自由度及其離散方法（包括集中質(zhì)量法、廣義坐標(biāo)法和有限單元法），建立運動方程的方法（包括利用達(dá)朗貝爾(d'Alermbert)原理的直接平衡法，虛位移原理建立振動方程，哈密頓(Hamilton)原理建立振動方程）。

關(guān)鍵詞：結(jié)構(gòu)動力學(xué)；質(zhì)量；阻尼；運動方程

On understanding of structure dynamics

Abstract: This paper simply tells the overall understanding of structure dynamics, and introduces the development course of structure dynamics, a few big characteristics of structure dynamic problem , the classification of structure dynamic problem, the structure of the system and its dynamic freedom discrete method (including focus on quality method, generalized coordinates method and finite element method), the method for establishing the equations of motion (including the use of d'Alermbert principle direct balance method, vibration equation with imaginary displacement principle, establish vibration equation with Hamilton principle). 

Key words: structure dynamics; quality; damping; equations of motion

1結(jié)構(gòu)動力學(xué)發(fā)展簡介

結(jié)構(gòu)動力學(xué)是研究結(jié)構(gòu)體系的動力特性，及其在動力荷載作用下動力響應(yīng)分析原理和方法的一門技術(shù)學(xué)科。該學(xué)科的根本目的在于為改善工程結(jié)構(gòu)系統(tǒng)在動力環(huán)境中的安全和可靠性提供堅實的理論基礎(chǔ)。根據(jù)結(jié)構(gòu)的功能不同和所處環(huán)境的不同，工程結(jié)構(gòu)的振動存在三種情況:線性振動、非線性振動和隨機(jī)振動。相應(yīng)地可以將結(jié)構(gòu)動力學(xué)劃分為線性振動理論、非線性振動理論和隨機(jī)振動理論。

拉格朗日(Lagrange)在l8世紀(jì)出版了名著《分析力學(xué)》，此書奠定了線性系統(tǒng)動力分析的基礎(chǔ)。由于18世紀(jì)科學(xué)技術(shù)的不斷創(chuàng)新，各種動力機(jī)械開始應(yīng)用于不同的工程結(jié)構(gòu)，促進(jìn)了結(jié)構(gòu)動力學(xué)理論和方法的不斷進(jìn)步。自從蒸汽機(jī)應(yīng)用于船舶推進(jìn)系統(tǒng)以后，使得船舶向大型和高速化發(fā)展，引起船舶振動問題日益突出。20世紀(jì)60年代以來，隨著以有限元為核心的計算理論和技術(shù)的發(fā)展以及電子計算機(jī)的問世，產(chǎn)生了計算結(jié)構(gòu)動力學(xué)，這使得對于大型復(fù)雜結(jié)構(gòu)的動力分析成為可能。如今，人們可以成功地進(jìn)行具有成千上萬個自由度的大型復(fù)雜結(jié)構(gòu)體系的動力分析。

   

 在結(jié)構(gòu)動力響應(yīng)計算中，人們已經(jīng)注意到結(jié)構(gòu)系統(tǒng)自身的非線性特性和非線性干擾作用下結(jié)構(gòu)的非線性振動響應(yīng)。例如，在航天航空工程中機(jī)翼的振顫，船舶在海浪中的大幅運動和系泊系統(tǒng)中系泊力的問題，地震作用下地基與地面建筑物之間的相互作用問題等都屬于非線性振動問題。非線性振動系統(tǒng)的主要特點是:系統(tǒng)的恢復(fù)力是系統(tǒng)空間位置的非線性函數(shù)，而阻尼力是系統(tǒng)運動或振動速度的非線性函數(shù)。研究非線性系統(tǒng)的任務(wù)是確定系統(tǒng)振動的幅值、相位和頻率，分析系統(tǒng)周期振動的條件及其穩(wěn)定性。只有極少數(shù)非線性振動方程可以得到精確解析解，大多數(shù)方程僅能得到其近似解。因此，在非線性振動理論發(fā)展的進(jìn)程中，非線性方程求解方法的研究占有重要地位。1892年，龐加萊〔Poincare)研究大體運動時提出了振動法，也稱為小參數(shù)法。為了消除周期近似解中的永年項，出現(xiàn)了L-P法(Lindstedt-Poincare) 。求解近似解的第二個方法是1926年范德波(Van de pol)提出的漸進(jìn)法。前蘇聯(lián)學(xué)者克雷洛夫和巴戈留包夫系統(tǒng)研究了范德波的漸進(jìn)法任意近似解的三級數(shù)法，即KEM方法。第三個方法是多尺度方法，出現(xiàn)于20世紀(jì)50年代，該方法適用于求解周期和非周期振動系統(tǒng)近似解。參數(shù)激勵振動系統(tǒng)是非線性振動研究進(jìn)程中的重要發(fā)現(xiàn), 參數(shù)激勵研究表明，當(dāng)弦或直梁受到二倍于橫向固有頻率的縱向激勵時，可以引起直梁的橫向振動, 這些問題可以歸結(jié)為馬蒂厄(Mathieu)方程。只有少數(shù)低維非線性系統(tǒng)可以得到近似解析解。對于高維非線性系統(tǒng)，多采用數(shù)值計算方法，例如，采用龍格-庫塔方法、威爾遜(Wilson)法和紐馬克(Newmark)法等。

2 結(jié)構(gòu)動力問題的特點

    結(jié)構(gòu)動力學(xué)的內(nèi)容之一是研究結(jié)構(gòu)的動力響應(yīng)。所謂動力響應(yīng)是指結(jié)構(gòu)在廣義動力荷載作用下的結(jié)構(gòu)位移和內(nèi)力響應(yīng)，而廣義動力荷載包括動力激勵和動位移激勵。動力荷載指荷載的大小和方向(有時包括作用位置)隨時間而變化的荷載。在動力荷載的作用下，結(jié)構(gòu)的位移和內(nèi)力隨時間而不斷變化，并且結(jié)構(gòu)產(chǎn)生振動速度和加速度。

    結(jié)構(gòu)動力問題與結(jié)構(gòu)靜力問題比較有三個不同點：第一，由于結(jié)構(gòu)動力問題中的荷載隨時間變化，顯然動力問題不像靜力問題那樣具有單一的解，而必須建立相應(yīng)于響應(yīng)歷程中的全部時間的一系列解答。第二，如果梁僅承受靜力荷載，則它的內(nèi)力和位移僅僅依賴于給定的外荷載，其平衡關(guān)系是外力和恢復(fù)力之間的平衡。但是，如果結(jié)構(gòu)作用動力荷載，則梁所產(chǎn)生的位移和加速度有關(guān)，這些加速度產(chǎn)生與其反向的慣性力，于是梁的恢復(fù)力不僅要平衡外加動力荷載，還要平衡加速度引起的慣性力。第三，動力問題中結(jié)構(gòu)響應(yīng)的大小，與荷載的大小和荷載隨時間的變化過程有關(guān)，如果荷載的干擾頻率接近結(jié)構(gòu)的固有頻率，盡管荷載的幅值不大，也會引起結(jié)構(gòu)很大的振動響應(yīng)即共振。

   工程結(jié)構(gòu)是否作為振動系統(tǒng)分析，要看荷載是否激起結(jié)構(gòu)較大的振動加速度。如果結(jié)構(gòu)振動的加速度很小，則其慣性力僅僅是結(jié)構(gòu)彈性力所要平衡的全部荷載中的較小部分，此時該動力荷載的作用與靜力荷載的作用并沒有顯著差別，可以作為靜力處理。一般而言，如果結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的固有頻率和荷載干擾頻率相差很大，則激起的結(jié)構(gòu)的振動將會十分緩慢，其引起的慣性力可以忽略不計。一種隨時間變化的荷載是否要作為動力荷載處理，需要根據(jù)結(jié)構(gòu)系統(tǒng)自身的特征和荷載隨時間的變化規(guī)律綜合考慮。

3 結(jié)構(gòu)動力問題的分類

根據(jù)結(jié)構(gòu)自身的材料特性、構(gòu)造特點及荷載類型，可以對結(jié)構(gòu)動力問題進(jìn)行分類。工程結(jié)構(gòu)材料的物理特性一般為線性的，即應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系服從胡克定律，但是有些結(jié)構(gòu)的材料如橡膠構(gòu)建，其物理特性為非線性的，即其應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系不滿足胡克定律。此外由線性材料制作的構(gòu)件也可出現(xiàn)構(gòu)造非線性，如用于減振的塔式彈簧，其變形與外力的關(guān)系為非線性關(guān)系的。在工程結(jié)構(gòu)中，某些系統(tǒng)的恢復(fù)力和阻尼分別與結(jié)構(gòu)振動位移和振動速度有關(guān)，則此種系統(tǒng)也屬于非線性系統(tǒng)，如艦船在波浪中的運動、結(jié)構(gòu)大撓度振動問題等。如果結(jié)構(gòu)系統(tǒng)自身是非線性的，則不管荷載的形式如何，其振動響應(yīng)均表現(xiàn)為非線性振動。但是，在工程結(jié)構(gòu)中，大量的結(jié)構(gòu)系統(tǒng)可能為線性系統(tǒng)，其振動的響應(yīng)特性，將取決于荷載隨時間的變化規(guī)律。一般可以將動力荷載分為確定性荷載和非確定性荷載。確定性荷載的變化規(guī)律是完全確定的，無論是周期的還是非周期的，它們均可以用確定性的函數(shù)來表達(dá)。常見的確定性荷載有:簡諧荷載、周期荷載、沖擊荷載和持續(xù)長時間的非周期荷載。

   非確定性荷載又稱為隨機(jī)荷載，它隨時間的變化規(guī)律是預(yù)先不可以確定的，而是一種隨機(jī)過程，例如，地震荷載、風(fēng)荷載和作用在船舶與海洋結(jié)構(gòu)物上的波浪力等。隨機(jī)過程雖然不可以表示為時間的確定性函數(shù)，但是它們受統(tǒng)計規(guī)律的制約，需要用概率統(tǒng)計的方法來研究隨機(jī)荷載作用下結(jié)構(gòu)振動。

此外，有些荷載具有明顯的非線性性質(zhì)，例如，作用在海洋結(jié)構(gòu)物上的波浪力是非線性的，非線性的荷載將激起機(jī)構(gòu)系統(tǒng)的非線性振動。

    綜上所述，可以將結(jié)構(gòu)的動力問題劃分為：

    ①線性確定性振動，即結(jié)構(gòu)自身是線性的并且承受線性荷載的作用；

    ②線性隨機(jī)振動，即結(jié)構(gòu)自身為線性的，荷載為隨機(jī)的；

    ③非線性確定振動，即結(jié)構(gòu)系統(tǒng)自身性質(zhì)或者荷載為非線性的；

    ④非線性隨機(jī)振動，即結(jié)構(gòu)系統(tǒng)自身性質(zhì)為非線性的而荷載為隨機(jī)的，或者為非線性隨機(jī)荷載。

4 結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的動力自由度及其離散

動力問題的特點之一是要考慮結(jié)構(gòu)體系的慣性力，所以在確定計算簡圖時，必須明確系統(tǒng)的質(zhì)量分布及其可能發(fā)生的位移，以便全面合理地確定系統(tǒng)的慣性力。系統(tǒng)振動時，確定任一時刻全部質(zhì)量位移所需要的獨立的幾何參變量的數(shù)目，稱為結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的動力自由度。

一切結(jié)構(gòu)系統(tǒng)都具有分布質(zhì)量，因而都是無限自由度系統(tǒng)。但是除了某些簡單的結(jié)構(gòu)可以作為無限自由度處理以外，大多數(shù)的工程結(jié)構(gòu)作為無限自由度計算將是極其困難的。在結(jié)構(gòu)動力計算時，為了避免過于繁雜和數(shù)學(xué)上的困難，一般將結(jié)構(gòu)處理為有限自由度系統(tǒng)，這一過程稱為結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的離散:以下介紹幾種常用的離散方法。

1)集中質(zhì)量法

圖4-1簡支梁上有三個較重的質(zhì)量，其質(zhì)量遠(yuǎn)大于梁結(jié)構(gòu)自身的質(zhì)量。若將梁的質(zhì)量也集中到這些質(zhì)量塊上，則轉(zhuǎn)化為有若干個質(zhì)量塊的有限自由度系統(tǒng)。

對于在平面內(nèi)振動的質(zhì)量塊，存在三個自由度即兩個線位移和一個轉(zhuǎn)角，相應(yīng)地，每個質(zhì)量塊便有兩個慣性力和一個慣性轉(zhuǎn)矩。如果質(zhì)量塊的尺寸相對于梁的長度是較小的，則可以忽略質(zhì)量塊的尺寸效應(yīng)，即不計慣性轉(zhuǎn)矩，因而轉(zhuǎn)角也就可以不作為動力自由度。如果忽略質(zhì)量的水平位移，則圖4-1中的簡支梁系統(tǒng)共有二個豎向位移由度。

某些情況下梁上沒有較重的質(zhì)量塊，只存在分布質(zhì)量，也可以將其近似處理為有限自由度系統(tǒng)。例如，圖4-2所示的非均勻斷面梁，分為三段，每段的質(zhì)量分布分別為: l1段位，l2段為, l3段為，不計質(zhì)量沿梁軸向的位移，可以將其處理為僅有豎向位移的兩個自由度系統(tǒng)。離散方法是將每段總質(zhì)量的一半分別集中于各該段的兩端。離散結(jié)果是: ，，見圖4-2。如果想提高計算精度，可以增加分段的個數(shù)，簡化后系統(tǒng)的白由度亦相應(yīng)增加。

2) 廣義位移法

對于梁上僅有分布質(zhì)量的系統(tǒng)，為了提高計算精度，可以采用廣義位移法。以圖1-2中的簡支梁為例，設(shè)在初始時刻梁的撓曲線為y(x,t0)，將其展開為三角級數(shù)

                           （4-1）

此處t為梁的長度。若給出系數(shù)an(t0)，則初始的全部質(zhì)點的位置隨之確定。一般來說，用有限個低頻正弦波疊加來表達(dá)撓曲線的形狀，可以具有足夠的精度。如果取前三項，即

      （4-2）

通過式（4-2），將無限自由度系統(tǒng)轉(zhuǎn)化為三個自由度系統(tǒng)。此處，a1(t0),a2(t0),a3(t0)是確定梁的形狀即全部質(zhì)點位置的三個相互獨立的坐標(biāo)。

3) 有限單元法

與靜力問題中的有限單元法一樣，結(jié)構(gòu)動力問題也可以采用有限單元法進(jìn)行離散。有限單元法綜合了集中質(zhì)量法和廣義坐標(biāo)法的特點。用有限單元法分析動力問題，是以結(jié)構(gòu)結(jié)點的位移表達(dá)結(jié)構(gòu)上各個點的位移狀態(tài)。首先將整體結(jié)構(gòu)劃分為一系列的單元，單元間以結(jié)點相連接，結(jié)點的位移便是決定結(jié)構(gòu)系統(tǒng)中全部質(zhì)點位置的獨立坐標(biāo)。

在采用有限單元法離散時，不在整個梁的范圍內(nèi)取有限個函數(shù)項的和作為全梁某時刻的撓曲線，而是在各個單元范圍內(nèi)假設(shè)兩結(jié)點之間的撓曲線，該撓曲線稱為位移函數(shù)或者插值函，其確定了單元位移的形狀，它的表達(dá)式包含若干個參數(shù)。位移函數(shù)在單元內(nèi)部保持光滑連續(xù)，并且在單元兩端滿足支承和變形連續(xù)條件。根據(jù)這些條件，可以將位移函數(shù)中的參數(shù)通過結(jié)點位移來表達(dá)。因此，整個結(jié)構(gòu)系統(tǒng)便轉(zhuǎn)化為以結(jié)點位移為未知數(shù)的有限自由度系統(tǒng)了。

以上三種方法中，有的基本未知量是質(zhì)點(結(jié)點)的位移，有明顯的幾何意義，如圖4-1中的y1,y2,和y3，稱其為幾何坐標(biāo)，有的基本未知量沒有明顯的幾何意義，如a1(t0),a2(t0),a3(t0)，但是，只要求出這些參數(shù)，則系統(tǒng)全部質(zhì)點的空間位置即可確定。因此，對能確定振動系統(tǒng)中全部質(zhì)點(結(jié)點)幾何位置的相互獨立的參數(shù)，無論其量綱為何，常稱其為廣義坐標(biāo)。

5 振動能量耗散與阻尼力

   受到突然激勵產(chǎn)生運動的船舶會逐漸靜止下來，強(qiáng)烈的地震過后劇烈搖晃的建筑物會趨于靜止，這些都是因為阻尼的作用消耗了系統(tǒng)振動的能量，或者說振動過程中具有能量的耗散，這種消耗振動的能量并使振動衰減的因素，稱為阻尼力。如果系統(tǒng)的振動被激起后進(jìn)入自由振動狀態(tài)，則由于阻尼的作用振動將會衰減直至系統(tǒng)恢復(fù)到靜止?fàn)顟B(tài)。引起振動能量耗散的因素很多，一般可以劃分為內(nèi)阻尼和外阻尼。內(nèi)阻尼主要指和材料應(yīng)變有關(guān)的阻尼，其由于材料的非彈性性質(zhì)或者非彈性變形所引起。而外阻尼可能包含更多的復(fù)雜因素，如周圍介質(zhì)對振動的阻力和摩擦阻尼等。例如，船舶或海洋結(jié)構(gòu)物在水中振動時，受到流體的摩擦作用消耗振動的能量，埋入土中的結(jié)構(gòu)振動時與土壤摩擦耗散振動能量，此外結(jié)構(gòu)的連接結(jié)點和支座與結(jié)構(gòu)之間的摩擦也消耗振動的能量，這些都是外阻尼的成因。

    對于內(nèi)阻尼，一般假設(shè)與應(yīng)變的速率成正比，而對于外阻尼，常常同時存在著幾種阻尼因素，要想找出一種可以完善反映各種結(jié)構(gòu)中阻尼作用的理論是不現(xiàn)實的，所以目前一般采用相當(dāng)簡化的阻尼模型。為了反映振動過程中能量的耗散，在建立振動方程時，引入造成能量消耗的阻尼力，目前多采用粘滯阻尼理論表達(dá)阻尼力。在線性振動理論中，總是把阻尼簡化為粘滯阻尼，用表示阻尼力。式中:R為阻尼力，為振動速度，c為粘阻系數(shù)。c與介質(zhì)的粘性、振動物體的形狀大小及表面情況有關(guān)，通常用實驗方法測定。實際存在的阻尼是復(fù)雜的，外阻尼中一般都存在非線性。如流體介質(zhì)阻尼，當(dāng)速度相當(dāng)大時，阻尼不再與速度成正比。此外，阻尼還與系統(tǒng)運動幅值的大小有關(guān)，如船舶微幅運動時，用橫搖角速度的一次冪表達(dá)阻尼就夠了，但是當(dāng)大幅橫搖運動時，需要用包括橫搖角速度的五次冪在內(nèi)的多項式表達(dá)橫搖阻尼力矩。

    對非線性阻尼系統(tǒng)，常按系統(tǒng)在一個周期內(nèi)能量耗散與理想的粘性阻尼系統(tǒng)在一個周期內(nèi)能量消耗相等的條件，推出“等效粘性阻尼系統(tǒng)”，仍按線性理論求解。

    若考慮系統(tǒng)的阻尼，則系統(tǒng)稱為“非保守系統(tǒng)”。反之，忽略阻尼影響不計振動能量的耗散，則系統(tǒng)稱為“理想保守系統(tǒng)”。

6 建立運動方程的方法綜述

結(jié)構(gòu)動力分析的目的是求出動荷載作用下結(jié)構(gòu)的動位移和動內(nèi)力, 并研究它們隨時間的響應(yīng)歷程。在大多數(shù)情況下，應(yīng)用包含有限個自由度的近似分析方法,就足夠精確了。這樣，問題就變?yōu)榍蟪鲞@些選定位移分量的時間歷程。描述結(jié)構(gòu)系統(tǒng)動力位移的數(shù)學(xué)表達(dá)式稱為結(jié)構(gòu)的運動方程，而這些運動方程的解就提供了所求的位移歷程。

動力體系的運動方程的建立，也許是整個分析過程中最重要(有時是最困難的)的方面。建立振動系統(tǒng)的運動方程有多種方法，但不管采用何種方法建立運動方程，其結(jié)果都是一致的。

1)利用達(dá)朗貝爾(d'Alermbert)原理的直接平衡法

任何動力體系的運動方程都可代表牛頓的第二運動定律，即任何質(zhì)量m的動量變化率等于作用在這個質(zhì)量上的力。這個關(guān)系在數(shù)學(xué)上可用微分方程來表達(dá)，即

                        (6-1)

式中:P(t)為作用力；y(t)為質(zhì)量m的位置。對于大多數(shù)的結(jié)構(gòu)動力學(xué)問題，可以認(rèn)為質(zhì)量是不隨時間變化的，這時方程(1-3)可改寫為

                     (6-2)

其中圓點表示對時間求導(dǎo)數(shù)。式(1-4)也可改寫為

                           (6-3)

此時第二項被稱為抵抗質(zhì)量加速度的慣性力。

    質(zhì)量所產(chǎn)生的慣性力，與它的加速度成正比，但方向相反，這個概念稱做達(dá)朗貝爾原理。由于它可以把運動方程表示為動力平衡方程，可以認(rèn)為，力P(t)包括許多種作用于質(zhì)量上的力，包括抵抗位移的彈性約束力、抵抗速度的粘滯力以及外部干擾力。因此，如果引人抵抗加速度的慣性力，則運動方程表示作用于質(zhì)量上所有力的平衡關(guān)系。在許多簡單問題中，最直接而且方便地建立運動方程的方法就是采用這種直接平衡的方法。

2)虛位移原理建立振動方程

    如果結(jié)構(gòu)體系相當(dāng)復(fù)雜，而且包含許多彼此聯(lián)系的質(zhì)量點或有限尺寸的質(zhì)量塊，則直接寫出作用于體系上所有力的平衡方程可能是困難的。但是在某些情況下，結(jié)構(gòu)系統(tǒng)上的力可以方便地用位移自由度來表示，而它們的平衡規(guī)律則可能是不清楚的。此時，虛位移原理就可用來代替平衡規(guī)律建立方程。

    虛位移原理可表述如下:如果一個平衡體系在一組力的作用下發(fā)生虛位移，即體系約束所允許的任何微小位移，則這些力所作的總功將等于零。按這個原理，在虛位移上所作的總功為零，是和作用于系統(tǒng)上的力的平衡是等價的。因此，在建立振動系統(tǒng)的運動方程時，首先對于質(zhì)量施加包括慣性力在內(nèi)的所有的力，然后引人相應(yīng)于每個自由度的虛位移，并使所作的虛功等于零，這樣即可以得到運動方程。此種方法的優(yōu)點是：虛功為標(biāo)量，可以按照代數(shù)規(guī)則計算，從而避免復(fù)雜的矢量計算。

3) 哈密頓(Hamilton)原理建立振動方程

采用哈密頓原理建立振動方程，也可以避免矢量的運算。哈密頓原理可以表達(dá)為

             （6-4）

式中:T為體系的動能；V為體系的位能，包括應(yīng)變能及任何保守外力的勢能；為作用于體系上的非保守力(包括阻尼力及任何外荷載)所作的功；為在指定時間內(nèi)所取的變分。

哈密頓原理說明:在任何時間區(qū)間t1到t2內(nèi)，動能和位能的變分加上所考慮的非保守力所做的功的變分必須等于零。這個原理的應(yīng)用直接導(dǎo)出任何給定系統(tǒng)的運動方程。這個方法和虛功原理方法的區(qū)別在于:在這個方法中，不明顯使用慣性力和彈性力，而分別被動能和位能的變分項所代替。因此，這種建立運動方程的方法的優(yōu)點是，它只和純粹的標(biāo)量即能量有關(guān)，而在虛功分析中，被用來計算功的力和位移卻都是矢量。需要指出的是，根據(jù)哈密頓原理可以導(dǎo)出拉格朗日第二類方程。

參考文獻(xiàn)

[1]畢學(xué)濤.高等動力學(xué)[M].天津:天津大學(xué)出版社，1994.

[2]唐友剛.高等結(jié)構(gòu)動力學(xué)[M].天津:天津大學(xué)出版社,2002.

[3](美)R.克拉夫，J.彭津 王光遠(yuǎn)等譯校.結(jié)構(gòu)動力學(xué).高等教育出版社,2006.