案例背景

屈曲分析對于一個成功的結(jié)構(gòu)設(shè)計，尤其是包含殼和梁的結(jié)構(gòu)，是至關(guān)重要的。雖然線性特征值屈曲分析相對直接與簡便，但是也有其自身缺點(diǎn)：因為實(shí)際屈曲過程是一個非線性（大變形）過程，如果不能考慮結(jié)構(gòu)非線性，分析只能得到近似結(jié)果，另外線性屈曲分析對于結(jié)構(gòu)后屈曲分析無能為力。非線性屈曲分析過程較為復(fù)雜，同時可能需要多次嘗試才能得到較為可信的結(jié)果，但是由于其不存在線性屈曲分析的局限性，所以工程上傾向通過非線性屈曲來評價結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定性。

 

實(shí)際中，工程師很難判斷結(jié)構(gòu)究竟何時開始發(fā)生屈曲。從工程和科研角度看，人們在整個屈曲過程中，最感興趣的階段其實(shí)是結(jié)構(gòu)將要產(chǎn)生大變形，但是尚未產(chǎn)生較大變形的階段，有時結(jié)構(gòu)甚至還未產(chǎn)生變形，因為此時對應(yīng)的載荷是結(jié)構(gòu)的臨界屈曲載荷。非線性屈曲分析可以很好得在這方面提供工程意義上的指導(dǎo)。非線性屈曲分析通過使用以下一些方法，控制整個仿真計算的收斂性，達(dá)到用戶的工程需求：

 

1 非線性穩(wěn)定性控制（nonlinearstabilization）

該方法可以應(yīng)對屈曲分析中的局部和整體不穩(wěn)定性，并且可以與其它非線性控制技術(shù)聯(lián)合使用進(jìn)行仿真（弧長法除外）；

 

2 弧長法

該方法只能處理力載荷下的結(jié)構(gòu)整體失穩(wěn)。

 

3 將穩(wěn)態(tài)分析處理成“準(zhǔn)靜態(tài)”的動力學(xué)問題

該方法通過使用動力學(xué)效應(yīng)防止計算發(fā)散，但是具體操作較為復(fù)雜。

 

本案例通過承受外部靜水壓力載荷的周向加強(qiáng)筋圓柱薄壁結(jié)構(gòu)，說明如何通過仿真分析，預(yù)測結(jié)構(gòu)的屈曲載荷和后屈曲狀態(tài)，同時介紹控制非線性屈曲分析中，控制計算收斂性的方法。

 

問題描述

 

圓柱薄壁的材料為2024-T3鋁合金，由五層橫截面為Z型的周向加強(qiáng)筋支撐，圓柱薄壁兩端由兩個厚蓋板（厚度為25mm）密封，并分別由一個L型的鉚接條加固。圓柱薄壁承受外部均勻壓強(qiáng)，從而使圓柱薄壁上兩個Z型加強(qiáng)筋之間的局部屈曲，最終導(dǎo)致結(jié)構(gòu)失效。

具體的幾何尺寸如下：

 

	尺寸（mm）
圓柱薄壁截面半徑	355.69
圓柱薄壁深度	431.8
圓柱薄壁厚度	1.034
蓋板半徑	380
蓋板厚度	25
Z型加強(qiáng)筋厚度	0.843
L型鉚接條厚度	1.64

 

Z型加強(qiáng)筋橫截面尺寸如下圖所示：

圖1 Z型加強(qiáng)筋橫截面形狀及尺寸

 

L型鉚接條橫截面尺寸為19*19mm，厚度為1.64mm。

 

最終的幾何模型截面如下圖所示：

 

圖2 幾何模型剖面圖

 

材料參數(shù)輸入如下表所示：

Young's Modulus：73GPa

Poisson's Ratio：0.33

Yield Stress：268.9MPA

Tangent Modulus：73MPa （該值為估計值，參考文獻(xiàn)中沒有明確告知具體數(shù)值）

 

邊界條件與載荷

 

該模型可以看作是潛水艇或航天飛行器的艙體結(jié)構(gòu)，所以可以近似認(rèn)為結(jié)構(gòu)是懸浮的。本案例中，唯一的約束是控制頂蓋板三個位置處的六個自由度，以防止整體結(jié)構(gòu)所有的剛體平動和轉(zhuǎn)動。載荷為外表面均布壓強(qiáng)載荷0.24MPa。

 

仿真步驟

 

1 特征值線性屈曲分析

線性屈曲分析可以預(yù)測理想線彈性結(jié)構(gòu)的理論屈曲載荷，同時還可以提供用于后續(xù)非線性屈曲分析中初始缺陷定義的屈曲模態(tài)振型。因此，線性屈曲分析對于整個分析很有必要。在ANSYS中，通過特征值屈曲分析進(jìn)行結(jié)構(gòu)的線性屈曲評估。具體步驟是：

 

（1）在靜力學(xué)中定義所需的邊界條件和載荷（通常為單位載荷，有時視具體情況而定）；

（2）進(jìn)行特征值線性屈曲分析，輸出理論屈曲載荷和屈曲振型。

 

圖3 特征值線性屈曲分析流程

 

圖4 約束頂蓋板三個位置處的平動自由度

 

圖5 施加壓強(qiáng)載荷0.24MPA

 

定義輸出前十階屈曲模態(tài)，點(diǎn)擊solve進(jìn)行計算。

 

2 非線性屈曲分析

在進(jìn)行非線性屈曲分析之前，有一點(diǎn)必須明確：如果結(jié)構(gòu)是完全理想的對稱結(jié)構(gòu)（事實(shí)上沒有結(jié)構(gòu)是完全對稱的），理論上在仿真中是不會出現(xiàn)非線性屈曲失效，正是由于各種公差和工藝上不可避免的缺陷，才產(chǎn)生屈曲失效的可能。所以，在非線性屈曲分析中，對于本案例這個完全理想的對稱結(jié)構(gòu)模型，需要引入結(jié)構(gòu)的初始缺陷。

 

通常有兩種方法對結(jié)構(gòu)定義初始缺陷：

 

（1）在結(jié)構(gòu)上定義一個很小的擾動載荷。在此并不推薦使用這種方法，因為很難把握應(yīng)該施加多大的擾動載荷，同時也無法判斷在結(jié)構(gòu)的什么位置施加這個擾動載荷。如果擾動載荷過大，那么將會得到與實(shí)際完全不同的結(jié)果。

 

（2）通過屈曲模態(tài)振型配合縮放系數(shù)定義初始缺陷。通過線性特征值屈曲分析，可以得到結(jié)構(gòu)的屈曲模態(tài)振型，這些振型可以通過命令流引入，直接對單元節(jié)點(diǎn)的坐標(biāo)位置進(jìn)行更新。建議引入多階屈曲振型模態(tài)，同時應(yīng)保證初始缺陷的量級與制造公差的量級接近（通常小于1%）。

 

對于本案例而言，將線性特征值屈曲分析的前十階屈曲振型的疊加作為結(jié)構(gòu)的初始缺陷，同時考慮到圓柱薄壁的半徑為355.69mm，制造公差的量級約為0.1mm，而屈曲振型的量級在1mm，所以選擇縮放系數(shù)為0.1。

 

在Mechanical中插入一下命令：

*do,i,1,10

upgeom,0.1,1,i,buckling,rst

*enddo

在上述命令中，buckling為線性特征值屈曲分析的結(jié)果文件，注意該名稱應(yīng)包含文件的路徑，此處已省略。相關(guān)UPGEOM的命令介紹，可參見ANSYS的Help文件。

 

打開結(jié)構(gòu)大變形，定義均布壓強(qiáng)載荷為0.24MPa，同時使用盡可能小的時間步長，以相對準(zhǔn)確地估算屈曲臨界載荷（這里最大子步數(shù)取500）。在計算過程中，尤其是在結(jié)構(gòu)達(dá)到屈曲臨界點(diǎn)或后屈曲階段，計算往往很難收斂，所以推薦使用重啟動計算。一旦出現(xiàn)不收斂的情況，可以及時調(diào)整設(shè)置，在指定時間點(diǎn)重新啟動計算。

 

3 后屈曲分析

非線性靜力學(xué)計算的發(fā)散點(diǎn)通常意味著結(jié)構(gòu)的屈曲失效即將或已經(jīng)出現(xiàn)，此時結(jié)構(gòu)的變形并不明顯，所以屈曲的初始點(diǎn)很難被肉眼所觀察到。但是，通過仔細(xì)評估仿真的載荷-位移曲線，可以判斷屈曲何時發(fā)生。

 

通常采用三種方法判斷結(jié)構(gòu)是否發(fā)生屈曲：

（1）迭代發(fā)生發(fā)散導(dǎo)致計算失敗；

（2）最大位移值在一個很小的時間增量內(nèi)發(fā)生突變；

（3）最大位移值在符號上發(fā)生變化。

 

圖6 非線性屈曲計算的力收斂曲線

 

在本例中，非線性屈曲計算在第十四個子步，約0.8s左右（不同的工作站以及不同的軟件版本可能會導(dǎo)致上述時間點(diǎn)發(fā)生偏差）發(fā)生不收斂，計算失敗，這是由于結(jié)構(gòu)屈曲導(dǎo)致的。接著進(jìn)行重啟動計算，以進(jìn)行結(jié)構(gòu)后屈曲分析。由于結(jié)構(gòu)的后屈曲過程極其不穩(wěn)定，需要進(jìn)行特殊的設(shè)置以控制計算的收斂。在靜力學(xué)分析中，尤其是在結(jié)構(gòu)局部屈曲分析和時間相關(guān)非線性材料分析中，非線性穩(wěn)定性控制（nonlinear stabilization）是一個非常好的選擇。

 

此外，在進(jìn)行重啟動計算時，盡量避免在計算發(fā)散的時間點(diǎn)重啟動計算。比如本例中，計算在第十四個子步發(fā)散，在重啟動計算時，選擇在第十個子步設(shè)置nonlinear stabilization并啟動計算。如果計算依舊不收斂，則應(yīng)選擇更靠前的時間點(diǎn)。

 

在后屈曲分析中，需要設(shè)置非線性穩(wěn)定性控制（nonlinear stabilization）以保證計算收斂。通常有兩種方式實(shí)現(xiàn)：定義阻尼系數(shù)或定義能量比。用戶需要選擇通過哪種方式進(jìn)行控制，然后輸入適當(dāng)?shù)闹怠＠碚撋希脩魬?yīng)該根據(jù)結(jié)構(gòu)失穩(wěn)類型、網(wǎng)格尺寸與類型，以及時間步長的綜合考慮進(jìn)行設(shè)置。用戶可能需要經(jīng)過多次嘗試才能尋找到相對合理的輸入。總之，nonlinear stabilization的目的是以最小的附加阻尼力獲得整個計算的收斂性。

 

（1）阻尼方法：如果用戶使用阻尼方法，意味著阻尼將定義在所有單元上。一旦阻尼值過大，附加在結(jié)構(gòu)上的控制也會很大，因此結(jié)構(gòu)剛度相應(yīng)偏大，即結(jié)構(gòu)很難產(chǎn)生變形；如果阻尼值過小，那么該設(shè)置不會起到控制計算收斂的作用。綜上所述，阻尼控制方法不適合用于局部非線性屈曲失效的結(jié)構(gòu)。

 

（2）能量方法：由于本案例中的薄壁結(jié)構(gòu)的失效是由于局部屈曲失效引起的，所以能量方法更加適合本案例。能量方法的原理是在不同的單元處施加不同的阻尼，所以程序會給容易失穩(wěn)的單元施加較大的阻尼，而給不易失穩(wěn)的單元施加較小的阻尼，這樣既可以控制計算的穩(wěn)定性，同時也可以將附加控制力降低到最小。本案例中取能量比為0.000143進(jìn)行計算。

 

計算結(jié)果

 

下圖所示為線性特征值屈曲分析的屈曲陣形圖：

 

第一階：0.660

 

第二階：0.660

 

第三階：0.664

 

第四階：0.664

 

第五階：0.666

 

第六階：0.666

 

第七階：0.679

 

第八階：0.679

 

第九階：0.689

 

第十階：0.689

圖7 線性特征值屈曲分析振型圖

 

所有的特征值屈曲分析的臨界載荷因子（即特征值）大約為0.66，線性特征值屈曲分析的靜力學(xué)部分所施加的載荷為0.24MPa（見圖5），所以理論臨界屈曲載荷約為0.66*0.24=0.158MPa。

 

下圖為底蓋板中間某節(jié)點(diǎn)的軸向位移隨外載荷變化的曲線結(jié)果。不難發(fā)現(xiàn)，在外載荷達(dá)到0.15MPa左右，曲線的曲率發(fā)生很大的突變，這表明結(jié)構(gòu)發(fā)生了屈曲失效，對應(yīng)的載荷即為結(jié)構(gòu)的屈曲載荷。

 

圖8 底蓋板中間節(jié)點(diǎn)軸向位移隨外載荷變化曲線

 

下圖為結(jié)構(gòu)整體最大變形位置處的徑向位移隨外載荷變化曲線，通過曲線可以看出，在結(jié)構(gòu)發(fā)生屈曲失效時，曲線的斜率發(fā)生了方向性的改變，這也很好地體現(xiàn)了結(jié)構(gòu)屈曲失效正在發(fā)生。當(dāng)外載荷達(dá)到約0.2MPa時，位移發(fā)生瞬間突變，從該點(diǎn)往后，外載荷雖然增量很小，但是位移增量非常大，最后直至結(jié)構(gòu)完全失效。

 

圖9 最大整體變形位置處節(jié)點(diǎn)徑向位移隨外載荷變化曲線

 

下圖所示為外載荷達(dá)到屈曲載荷（約為0.154MPa）時，以及最終狀態(tài)下，結(jié)構(gòu)的整體變形云圖。在結(jié)構(gòu)屈曲初始狀態(tài)下，肉眼很難觀測到結(jié)構(gòu)屈曲的發(fā)生，但是，實(shí)際上結(jié)構(gòu)屈曲已經(jīng)產(chǎn)生。

 

結(jié)構(gòu)初始屈曲變形

結(jié)構(gòu)最終狀態(tài)下變形云圖

圖10 結(jié)構(gòu)整體變形云圖

 

注：用戶需要校核收斂控制產(chǎn)生的額外能量（stabilizationenergy），并與結(jié)構(gòu)應(yīng)變能進(jìn)行對比，前者應(yīng)遠(yuǎn)小于后者，計算才相對可靠。

 

另外，本案例僅對結(jié)構(gòu)非線性屈曲的仿真方法進(jìn)行描述。雖然本案例中的模型取材于某文獻(xiàn)中的參考模型，但是，由于并非所有輸入都與文獻(xiàn)中輸入一致，有的甚至缺少相應(yīng)輸入，所以結(jié)果與文獻(xiàn)中有所偏差。