線性問題的定義：在外部載荷的作用下，結構的響應是線性的。比如假設一個線性彈簧在10N的載荷下，伸長1cm。那么當施加20N載荷時，它將會伸長2cm。

    ABAQUS/Standard在線性分析中，結構的剛度矩陣只計算一次。通過將新的載荷向量乘以剛度矩陣的逆矩陣(又稱柔度矩陣），可得到結構對其他載荷的相應。

    非線性結構問題是指結構的剛度隨其變形而改變的問題。所有的物理結構均是非線性的。線性只是一種近似，很顯然對許多有限元模型比如加工過程 ，沖壓，碰撞等分析，線性分析是遠遠不夠的。

    由于結構的剛度會時刻改變，所以我們不能像線性問題一樣，還是用直接法計算的結構剛度矩陣。在非線性分析中，結構的剛度矩陣必須進行許多次迭代生成計算，因此，這使得非線性的分析相比線性分析昂貴的多。

非線性的來源：

    1.    材料非線性，比如材料的應力-應變關系成非線性

    2.    邊界非線性，比如結構在變形的過程過中生接觸，使得整個結構的邊界條件發生變化

    3.    幾何非線性，大轉動擾動，突然的翻轉，屈曲現象等。

    非線性問題求解的實質就是求解靜態平衡方程，【P - I = 0】。外載荷P必須與內應力I互相平衡。

    ABAQUS/Standard應用迭代算法獲得非線性問題的解答，通過把總的外部載荷，分成若干個小的載荷，增量的施加給結構，逐步的獲取最終的解答。

ABOUT STEPS，INCREMENTS，ITERATIONS!

    這三個概念是Standard求解器非常重要的概念，弄清楚三者的含義，以及他們之間的關系非常重要。下面我們通過一個實際的小例子來看一下，假設圓柱受到一個剛性板約10000N的載荷向下壓。

    分析步：這里我們可以將這個問題分為2個STEP來計算。

            1.    STEP1施加一個很小的載荷比如10N，使得上板與下板之間的接觸關系穩定。

            2.    STEP2經過第一步，接觸已穩定建立，這時就可以將剩余的載荷在STEP2中施加到圓柱上。

    增量步：我們假設在STEP2中，我們設置了1000個增量步，也就意味著，剩余的載荷將會分成1000份來逐步施加到圓柱上。

    迭代步：迭代步是在一個增量步中尋找平衡解答的一次嘗試。在迭代結束后，如果模型不處于平衡狀態，那么就會采用新一輪的迭代步進行嘗試。一個增量步中需要多次的迭代才能找到可以接受的解答。

ABAQUS/Standard求解器對于一個小的載荷增量△P，結構的非線性如下圖所示：

平衡迭代：

• 已知△P和結構在U0處的切向剛度K0, 計算出修正位移Ca。Ca = △P / K0 

• 利用Ca，將結構更新到Ua處。Ua = U0 + Ca  

• 基于結構的更新構形Ua，并形成新的剛度Ka，隨之計算出新的內部作用力Ia。 Ia = I(Ua) 

• 計算迭代殘差力Ra；Ra = P – Ia

收斂判斷：

• 對迭代殘差力Ra的比較，如果Ra小于平均力的0.5%，那么接受此解。 

• 對修正位移Ca的比較，如果Ca小于總的增量位移，那么接受此解。 

• 當倆個判斷標準均滿足時，Solver接受此解，并寫入結果文件，進行下一個增量步的計算。 

如果上述條件不滿足時，將會進行下一次迭代，如下圖所示。此時solver采用Ua處的切向剛度Ka來計算Cb，并更新Ib，獲得Rb后對Rb以及Cb進行收斂判斷

為了更清楚了解平衡迭代的過程，將其步驟整理成流程表，如下所示：