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時間步理解

做非線性分析的都知道時間步的問題，這里來談談一些注意和基本概念。簡單地說，在解非線性問題的時候，我們把整個求解過程分成小段。對于結構問題，這種分段等同于把加載過程分成多個步，每步結構加載變化一點，直到完成整個加載過程。如果是動力問題，那么這個加載步可以理解為真正的時間區間（但也不一定，因為可以有子步）。如果是靜力問題，這個加載步就是很多求解器所謂的偽時間步。

容易混淆的概念是，劃分時間步這個計算步驟在原則上是和牛頓迭代無關的。因為牛頓迭代是在每個時間步內進行的子循環。直到迭代滿足收斂條件，計算才向下一步進行。這個過程圓環套圓環的過程，導致了非線性求解的一系列特點和麻煩。

第一，收斂標準的問題。這個本質上是牛頓法需要探討的，但是因為時間步必須解決這個難點，所以在這里需要說說。在固體力學里面，收斂標準一般是三種，簡稱為UPW，分別指位移(U)，加載(P)，和做功(W)。每個量的收斂條件，本質都是衡量所在迭代步的相對誤差。理論上講，必須三個量都收斂才能保證計算結果穩定和精確，但是如果根據問題可以放松，那么常用的量至少要保證U和P收斂。

第二，時間步的劃分問題。加載步多了求解時間長，少了不準確或者根本不收斂（因為牛頓法本質上只能求局部不動點），所以時間步的劃分是個藝術。這個問題沒有標準答案，只能說視具體情況而定。如果你的問題不太難，求解器自帶的自適應算法應該能夠自動調整步長。靜力自適應算法的本質，是計算到目前為止的時間步的收斂模式。簡單地說，如果求解器發現現在這步收斂得快，那么下一步步長就可以放寬點，如果收斂得慢或者搞不定，那么就得縮小步長?；旧鲜莻€猜猜猜的過程。

第三，動力問題時間步的問題。和靜力問題不同，動力問題有“真正”的時間，需要進行時間積分，所以時間步的劃分是根據積分算法來決定的。而積分算法應該根據具體問題來選擇。常用的算法，固體和結構分隱式和顯式：隱式基本上都在Newmark和HHT上玩系數，目的是保證精確性但又濾掉高頻的信號，而顯式基本上就是保證時間步盡量大但又不大到影響穩定。流體基本上都是在Runge-Kutta和各種向后積分法中求穩定。所以當積分法定了，時間步的選擇的大方向也就定了。普通用戶在這個時候可以和精力情形一樣，寄希望于自適應算法。動力問題的時間步自適應基本上分兩類。一類是調整步長以適應特定的結構振動頻率，一類是調整步長以適應特定的積分誤差。

第四，多尺度的問題。下面這三類常見問題，對于時間步的決定都是讓人頭疼的，本質上都是因為有空間/時間多尺度的特點: 接觸問題（固體），湍流問題（流體），激波問題(固體和流體）。工程上解決的方式，本質上都是給模型添加穩定性，即所謂的數值減振／衰減。

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顯示和隱式

顯式、隱式算法，也稱顯式解法和隱式解法，是計算力學中常見的兩個概念。

1、顯式算法

基于動力學方程，因此無需迭代；而靜態隱式算法基于虛功原理，一般需要迭代計算。顯式算法，最大優點是有較好的穩定性。

動態顯式算法采用動力學方程的一些差分格式，不用直接求解切線剛度，不需要平衡迭代，計算速度快，步長只要取的足夠小，一般不存在收斂性問題。因此需要的內存也比隱式算法要少。但顯式算法要求質量矩陣為對角矩陣，而且只有在單元級計算盡可能少時速度優勢才能發揮，因而往往采用減縮積分方法，容易激發沙漏模式，影響應力和應變的計算精度。

靜態顯式法基于率形式的平衡方程組與Euler向前差分法，不需要迭代求解。由于平衡方程式僅在率形式上得到滿足，所以得出的結果會慢慢偏離正確值。為了減少相關誤差，必須每步使用很小的增量。

使用顯式方法，計算成本消耗與單元數量成正比，并且大致與最小單元的尺寸成反比；

2、隱式算法

隱式算法中，在每一增量步內都需要對靜態平衡方程進行迭代求解，并且每次迭代都需要求解大型的線性方程組，這以過程需要占用相當數量的計算資源、磁盤空間和內存。該算法中的增量步可以比較大，至少可以比顯式算法大得多，但實際運算中上要受到迭代次數及非線性程度的限制，需取一個合理值。

使用隱式方法，經驗表明對于許多問題的計算成本大致與自由度數目的平方成正比，因此如果網格是相對均勻的，隨著模型尺寸的增長，顯式方法表明比隱式方法更加節省計算成本。

顯示和隱式的應用范圍

a)在求解動力學問題時，將方程在空間上采用有限元法（或其他方法）進行離散后，變為常微分方程組F=M(u)+C(u)+K(u)。求解這種方程的其中兩種方法為，中心差分法和Newmark法。采用中心差分法解決動力學問題被稱為顯式算法，采用Newmark法解決動力學問題被稱為隱式算法。

b)在求解動力學問題時，離散元法（也有其他方法）主要有兩種思想：動態松弛法（向后時步迭代），靜態松弛法（每一步要平衡）。動態松弛法是顯式算法，靜態松弛法是隱式算法。其中沖壓成型就是動態松弛法的主要例子。

c)在求解靜力學問題時，有時候將其看作動力學問題來處理而采用動態松弛法，這是顯式算法。Flac就是主要例子。

	顯式算法	隱式算法
每步求解方法	矩陣乘法	線性方程組
時步穩定性	有條件	無條件
適用問題	動力中心差分法 動力動態松弛法 靜力動態松弛法	動力Newmark 動力靜態松弛法