1.引言

結構優化可分為拓撲優化、形狀優化、尺寸優化三種方法，其中拓撲優化是一種數學方法，指在特定的設計空間內依據設定的目標函數、約束函數及性能指標來尋找結構材料的最優分布。連續體結構拓撲優化和離散體結構拓撲優化是結構拓撲優化的兩大分類。連續體結構拓撲優化就是在連續設計空間內尋找材料的最優分布問題，把優化結構進行離散化成有限單元。離散體結構拓撲優化是指在優化設計空間內建立一個由有限個梁單元組成的基結構，然后根據算法確定結構優化設計空間內單元的去留，剩下的單元就是最優拓撲方案。

尺寸優化與形狀優化的理論研究較為完善，優化方法較為成熟，同時在工程實踐中得到了廣泛應用，并取得了較好的應用效果，而拓撲優化的發展則相對滯后，目前也是結構優化領域的研究熱點。

圖1 結構拓撲優化設計流程

2.拓撲優化數學算法

拓撲優化常用的算法有均勻化法、變密度法和漸進結構優化法。

2.1均勻化法

由于數值的計算量很龐大等原因，連續體結構的拓撲優化研究進展不大。Bendose、Kikuchi于1988年第一次提出了關于均勻化理論的優化方法，在一定程度大大促進了連續體拓撲優化技術的快速傳播與推廣。這一方法最早起始于復合材料學科，主要是一種用于計算各向異性材料等效彈性矩陣的數值方法。微觀周期性分布的材料，可以根據攝動漸進的方法來獲取它的宏觀材料特性。均勻化方法的基本思想：在連續介質中引入微孔結構，利用周期性分布的非均勻材質的微孔結構對宏觀均質的材料進行描述，微孔結構的幾何尺寸和位置為設計變量，對連續體結構拓撲進行一個數學描述，通過微孔結構的尺寸改變來對微結構的增加與刪除，最終實現不容易求解的拓撲優化改變成易求解的尺寸優化。二維單元和微孔組成的子結構，矩形空的長、寬、空間角度作為設計變量，在取值內一般有三種狀態：空孔結構、實體結構、開孔結構。雖然均勻化方法在力學理論與數學前提下推導較為嚴謹，但由于其設計變量過多，計算要求復雜，優化獲得的結構易出現多空材料，因此不利用結構的最終成型加工制作。

均勻化方法對結構拓撲優化的步驟：

1)根據結構預先給出的設計區域、工藝要求條件下和載荷約束前提下，從而確定一個基結構，再進行有限元的離散處理。同時，假定設計區域內的單元有孔洞的微結構，結構的孔洞布局也有周期性的布局；

2)計算各個孔洞的尺寸平均宏觀彈性張量；

3)根據各單元宏觀彈性張量、邊界、載荷等，進行有限元分析處理；

4)創建優化模型，以空洞尺寸為設計變量，以材料的體積或性態為約束條件，由具體問題選取一定的目標函數；

5)最終求解拓撲優化，同時針對設計變量數值和修改結構拓撲型式進行修

正；

6)重復第二步到第五步，直至滿足收斂的條件要求。

2.2變密度法

變密度法是受均勻化方法的啟發而發展得來的，區別在于不引入微孔結構經過簡化得到的。它又被稱為人工材料、偽密度材料模型，其基本思想是將一個個單元的相對密度作為設計變量，假定材料物理屬性與相對密度之間有某種函數關系存在，靈敏度推導簡單且大大提高了求解了效率，同時也把結構拓撲優化求解轉化為材料分布最佳的優化問題。同均勻化方法相比，設計變量個數更少，每個單元僅有一個拓撲設計變量存在，因此在實際工程中變密度法應用更為廣泛。在變密度法常見的插值模型主要包括兩種：固體各向同性懲罰微結構模型(SIMP)、材料屬性的合理近似模型(RAMP)，它們都是利用懲罰因子對中間的密度做懲罰，使其數值向0與1狀態兩側靠近，減少中間密度(材料)的出現，從而將拓撲優化模型轉化為逼近0-1狀態。目前商業化軟件中，含有拓撲優化功能的主要有TOSCA Structure，MSC Nastran和OptiStruct，它們都是在變密度法理論基礎上，利用靈敏度算法求解的拓撲優化軟件。

2.3漸進式結構進化法

隋允康等提出了一種獨立于具體物理屬性的變量以表征結構中部分實體(單元或子域)有無狀態的獨立連續映射(ICM)法。ICM方法的基本思想是拓撲的設計變量不在依附于面積、厚度等尺寸優化的變量，更多的是在0與1之間的連續實數。早期的拓撲優化思想是，一個物理變量（如桿的截面積、板的厚等等）設計變化過程不管如何小，只要不到0，就認為它的變量是1，如果物理量變為0，那么拓撲設計變量就會突變成0。函數在0時，不具有連續性，連續函數理論的優化算法對此不適應，因而，引入磨光函數使其連續且可導化。磨光函數是把之前0、1變量改成到[0，1]內部的連續變化值，從而使拓撲變量與每個物理量之間的關系改成連續可導的，這樣的過程又叫磨光映射。把拓撲變量從離散的變量轉化為0到1上的連續變量來表征各個單元的存在與否，通過不同的過濾函數對拓撲變量與每個單元的重量Ⅵ、質量陣mi、剛度陣島之間的關系進行識別。

與均勻化方法和變密度方法優化建模方式不同，ICM方法一般是以重量的最小化為目標，設定不同結構響應量的約束限值，這種建模方式不僅在處理全局應力約束、多工況“病態”載荷、靜動態多約束等問題上具有建模上的優勢，而且優化求解方面配以序列二次規劃算法，使得優化迭代過程穩健高效。以重量的最小化為目的。

3.拓撲優化在海洋工程中的應用

李仲偉利用Altair Optistruct 和MSC Nastran等軟件對一艘1500噸的小水線面雙體船進行了基于簡化模型的結構優化和重量控制。Wu等人則利用線性和非線性的三維水彈性理論預報了水動力載荷，并對結構做了安全評估。Zbigniew Sekulski通過遺傳算法，對一艘雙體船進行了拓撲優化和尺寸優化，降低了船舶的總重量。潘彬彬等在同時考慮船舶結構力學性能和水動力性能的多學科設計優化中，使用iSIGHT調用Ansys實現了基礎有限元的船舶結構優化。朱穌驥等將遺傳算法進行了改進，并應用到了超大型油船結構優化之中，選取近400個設計變量，所有設計變量在優化的過程中都離散化處理，應用規范作為校核準則，經

過計算優化后，船中剖面的面積下降了2.6%。Klanac等采用遺傳算法，對一條鋁合金渡船進行了多目標優化，設計降低了多達10%的重量和6.5%的VGC。

Tian等將拓撲優化用于導管架平臺結構設計，與規則設計結果相比較，重量減少13.7%，同時最大應力減小46.31%。Lee等分別采用拓撲優化與規則設計進行5MW海上風電導管架平臺設計，得出拓撲優化設計的平臺在重量和應力水平上均具有優勢，提高了平臺可靠性。

圖2 導管架平臺

圖3 導管架拓撲優化

圖4 導管架平臺局部構件應力云圖

圖5 船用舷臺框架拓撲優化

4.拓撲優化在海洋工程中的發展前景

拓撲優化的未來研究方向主要體現在：

1)基于無網格數值技術的拓撲優化設計；并行結構拓撲優化設計技術；雙向拓撲優化技術；復合形遺傳算法等混合拓撲優化設計技術；

2)多目標拓撲優化設計；結構動力學的拓撲優化設計；非線性的拓撲優化設

計；可變荷載拓撲優化設計；多工況下的拓撲優化設計；

3)路徑規劃非線性控制柔性機構的拓撲優化設計。

隨著“綠色制造”、“信息化與工業化深度融合”、“制造業創新”出現在政府工作報告《中國制造2025》。海洋工程領域對平臺、船舶結構提出了更高要求，拓撲優化作為新興的結構優化技術勢必將越來越多的應用到該領域，在滿足材料性能、現有加工建造工藝基礎上，通過模型優化，取得良好的經濟效益，也為社會貢獻價值。