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Chapter 10-第十章：管道聲學（第五部分）

在本章中我們將會學習聲波在管道中的傳播（應用于發動機進氣管道、排氣管道、空調管道等）。我們首先介紹截止頻率（cutoff frequency）的概念，并證明在截止頻率以下管道中僅存在平面波傳播。隨后我們將會涉及平面波在各類管道連接系統中的傳播，以及如何使用傳遞矩陣的方法描述這種傳播現象。我們還會學習傳遞損失和插入損失的概念。

10.6 消逝模態的作用

消逝模態不會傳播，但它們在兩個組件之間的過渡中起著重要作用。 例如，考慮（圖10.17）在y軸上對齊并在x = 0處連接的兩個半無限管道，其管直徑為a和b（a> b）。 我們進一步假設：

? 平面外的維度非常小（即二維問題）;

?  ，為了低于第一個截止頻率，以便只有平面波模態在橫截面突變的的兩側傳播。

圖10. 17：橫截面變化示意圖。

左導管中的聲場可以寫成截面的特征模態的線性組合：【7】

即使在只有平面波模態傳播的情況下，消逝模態的幅值也非零。 將上式代入亥姆霍茲方程，我們得到每個模態（n = 0,1,2，...）的幅值的表達式：

該等式的一般解具有以下形式：

其中

是純虛數；而當n>0，是實數。 考慮到當n>0時，項為零，即位于突變橫截面左側的聲源變為平面波。 然后我們發現：

從中我們獲得水平速度：

右導管中的壓力以類似的方式得到。 假設右端是無反射的()，我們發現：

其中

x=0處應當滿足的條件如下：

和

因此，我們得到以下等式：

其中W（y，b）是寬度為2b的矩形窗口：

將速度連續性方程的兩側同乘以并[-a,a]上積分：

前兩個積分計算如下：

為了計算第三個積分，我們定義：

并使用辛普森公式將積分分成兩個部分：

第一項是：

? 如果：

?如果：

第二項是：

? 如果：

?如果：

在模態m=0上映射的速度連續性方程寫作：

而在其他的模態上(m10)的為:

將壓力連續性方程的兩側同乘以并在[-b,b]上積分：

這三個積分很容易計算：

在模態m=0上映射的壓力連續性方程寫作：

而在其他的模態上(m10)的為:

如果我們保留N個非平面模態，則公式(10.114),(10.115),(10.120)和(10.121)形成具有2(N+1)個未知數(和 )的2(N+1)個方程組。該方程組的求解給出了兩個管道中的壓力和速度。 該求解如圖10.18和10.19所示。 即使低于第一截止頻率，也必須考慮非常多的模態以獲得精確的解，因為不連續的速度分布難以通過傅里葉級數來近似。 該級數甚至在不連續點處發散（Gibbs現象，圖10.19，另見第5.2.1節）。 然而，這些高階模態的影響局限于橫截面發生變化的區域，因為它們的或系數非常高，以至于隨著遠離x=0，它們的貢獻會非常迅速地減小。

圖10. 18：突變橫截面附近的壓力分布：全局視圖（上圖）和橫截面突變處放大圖（下圖）。在左導管中觀察到駐波; 它是由入射波與反射波的相互作用產生的。由于右導管半無限長即無反射邊界條件，故右導管中的波是純粹的傳播。消逝模態僅在橫截面變化的附近可見。參數值：a = 0.1，b = 0.1，f = 400，N = 1000，= 1。

圖10. 19：突變橫截面附近的水平速度分布：全局視圖（上圖）和橫截面突變處放大圖（下圖）。零速度條件被考慮，但是在y = -b和y = b處的速度不連續性引起了吉布斯現象：Ua的傅里葉級數在這些點處是不收斂的。參數值：a = 0.1，b = 0.1，f = 400，N = 1,000，= 1。

【7】我們包括對稱和反對稱模態，盡管后者在所選擇的上下文中是零幅值的。

10.7 抗性消聲器與阻性消聲器

本章介紹的理論適用于消聲器，尤其適用于機動車排氣管路系統的部件。消聲器(silencer)被描述為作用于進、出口之間聲音傳遞的一種過濾器。消聲器的目的是通過最大化傳遞損失(TL)來限制聲強的傳遞。未傳遞出的那部分入射聲強被反射回聲源。這樣的消聲器是純抗性的：沒有能量耗散。

在實踐中，消聲器通常將這種抗性行為與阻性機制聯系起來。消聲器的某些空腔填充有多孔材料，聲場在其中損失部分能量。不同的腔通常通過穿孔壁連接，這提供了額外的耗散源。