無論是經典層合板理論還是剪切變形理論，都需要從層合板的變形描述開始講起。以圖1所示的層合板為例，當受到外部載荷作用時，層合板將發生面內伸縮或者彎曲變形。

圖1 層合板示意圖

圖2所示為層合板在XZ平面內的變形情況。

(a)變形前的截面   (b)變形后的截面

圖2 XZ平面內的變形

以XZ平面內的變形為例，其中B是中面上的一點，C是截面上的任意點，b是層合板中面的轉角，則有：

其中，

注：在小變形假設下，b是小量，所以有b≈sinb。

根據上式，層合板上任一點的位移u可以表示為：

同理，在YZ平面內，也可以得到任意一點的位移v的表達式：

另外，經典層合板理論中，任意一點的位移w與其中性面上的面外位移w₀相等，即：

圖3 經典層合板理論和剪切變形理論對比

引入幾何方程（應變與位移的關系式）：

將層合板的變形代入上式可以得到，

其中，為中面的曲率（曲率半徑的倒數）,  為中面的扭率。

將總應變整合后形式如下，其中第一部分代表的是面內的應變，第二部分代表的是彎曲引起的應變。

另外，基于Kirchhoff假設，變形后的法線仍然垂直于中面，變形后法線仍為直線且長度不變，不考慮沿厚度方向的剪切變形，則有：

圖4 作用在層壓板上的力

圖5 作用在層壓板上的力矩

5 力/力矩與應力的關系

將應力沿層板厚度方向積分得到的是層合板單位寬度上合力Ni，將應力與厚度方向的坐標z的乘積沿厚度方向積分即可得到層合板單位寬度上合力矩Mi，具體表達如下：

展開的表達形式如下：

圖6 層板厚度方向幾何分層示意圖

將前面推導出的應力應變關系及應變變形關系式帶入到合力及合力矩表達式，可以得到：

將中性面應變和曲率提取出來，上式變為：

整合到一起之后表達形式如下：

其中，

上述矩陣中，矩陣[A]、[B]和[D]分別稱為面內剛度矩陣、耦合剛度矩陣和彎曲剛度矩陣，都是3×3對稱矩陣。

由上述公式可以看出，B矩陣代表著層合板在彎曲和拉伸之間的相互耦合，拉力不僅引起層合板的拉伸變形，還會引起層合板的彎曲或扭轉，同樣層合板在承受純力矩作用時，也會引起中面的拉伸變形

特殊地，當層合板為對稱鋪層時，B矩陣為0，即層合板不存在拉伸與彎扭的耦合。

7 ABD矩陣計算程序

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