傅里葉變換可以把一個時域信號分解成若干個正弦波的疊加，如圖2所示。

圖2

傅里葉變換中，信號時長和頻域分辨率互為倒數。互為倒數關系導致時域分辨率高時，頻域分辨率低；頻域分辨率高時，時域分辨率低。

如圖3所示0.5s時域信號，信號觀察時長選為0.02s時，時域分辨比較好，但頻域分辨率不好，等于1/0.02為50Hz；信號觀察時長選為0.2s時，頻域分辨率1/0.2為5Hz，頻域分辨率改善很多，但時域分辨率變差了。

圖3

時域信號可以分解成若干個正弦波的疊加，也可以分解成若干個小波的疊加。

小波是一種快速增加、約零均值振蕩并且幅值迅速衰減的函數。如圖4所示，左側圖正弦函數是傅里葉變換的基，右側圖小波函數是小波分析的基。

圖4

如圖5所示，小波函數可以拉伸和壓縮。拉伸后的小波(如圖5左側)可以量化信號中緩變信息，對應信號中低頻成分；壓縮后的小波(如圖5右側)可以量化信號中突變信息，對應信號中高頻成分。

圖5

小波可以被認為一簇離散時間的帶通濾波器組，頻域中的小波具有帶通濾波器特性，通過拉伸和壓縮小波，實現帶通濾波器中心頻率向上或向下移動。

小波分析通過小波平移來提取信號中的時間信息，如圖6所示。

圖6

小波分析過程步驟如下：

• 將不同幅值尺度和平移量小波與原始信號進行卷積，以確定原始信號是否具有相似的頻率成分。

• 每個小波具有相應的“頻率”，卷積結果將確定該特定平移量(時間)處的原始信號是否也包含相同的頻率。

綜上，可以通過小波分析確定信號在什么時間存在什么頻率成分。

如圖7左側圖所示，傅里葉變換對高低頻都使用相同的時間觀察窗，時間和頻率是一個固定的關系。

圖7

如圖7右側圖所示，小波分析對低頻使用較長時間窗，對高頻使用較短時間窗，時長選擇和頻率有關。

小波分析在低頻段，由于使用較長時間窗，頻域分辨率較好，時域分辨率差一些。

小波分析在高頻段，由于使用較短時間窗，時域分辨率較好，頻域分辨率差一些。

時間分辨率變化是由于小波分析在低頻段拉伸和小波在高頻段收縮所導致。

頻域分辨率變化是由于小波分析在頻域中不是線性的，是基于倍頻程的。在低頻段，倍頻程寬度較窄，頻域分辨率較好；在高頻段，倍頻程寬度較寬，頻域分辨率較差。

如圖8所示，是一個瞬態信號的小波分析結果，結合圖7右側圖一起理解下信號在時頻域內分辨率是如何變化的。

圖8

脈沖信號變換到頻域內能量是分布在全頻帶的，通常瞬態信號可以看做類脈沖信號，在頻域內觀察瞬態信號其能量也是分布在較寬頻帶內。因此在高頻段內特別好的頻域分辨率不是很有必要，小波分析在高頻帶內的頻域分辨率相對不好其實并不重要，但小波分析很優秀的時域分辨率對分析瞬態信號特別的重要。

傅里葉變換按照固定的時間增量，計算獲得幅值VS頻率結果，呈現在瀑布圖或彩色圖(進行了插值及平滑處理)中，如圖9所示。

圖9

小波分析按照固定的頻率增量，計算獲得幅值VS時間結果，呈現在瀑布圖或彩色圖(進行了插值及平滑處理)中，如圖10所示。

圖10

按照Tools → Add-ins路徑加入Time-Variant Frequency Analysis插件，如圖11所示。

圖11

在Time Data Selection界面，讀入待分析的信號，選擇要分析信號段，點擊“Use Segment for Processing”按鈕，如圖12所示。

圖12

接下來有兩種方法計算小波分析。

在Time Frequency Analysis界面按照如圖13所示1、2和3步驟進行小波分析。

圖13

第2步中參數說明如下：

• Bandwidth：由信號采樣頻率決定，不可更改；
  

• Min Freq：小波分析結果的最小頻率，如果你想設置到0是不可實現的；

• Max Freq：小波分析結果的最大頻率；

• Wavelets/octave：定義一個倍頻程內使用的小波數目，數越大彩色圖分辨率越好，但需要的存儲空間也越大，需要綜合考量設置一個合適值。

按照Tools → Add-ins路徑加入Signature Throughput Processing插件，如圖14所示。

圖14

在Time Data Processing界面按照如圖15所示2和3步驟進行小波分析；

圖15

方法一是小波分析專用界面，方便設置及調整小波各種參數；方法二更適合批量處理數據。

小波分析可以獲得時頻高分辨率的結果文件，但也會占用很多硬盤存儲空間，尤其進行批處理或進行大量數據分析時，設置合適的參數獲得分辨率不錯的結果文件并且該結果文件占用較少存儲空間是我們大家都喜聞樂見的。

如圖16所示，上圖是4個小波每倍頻程，中圖是16個小波每倍頻程，下圖是32個小波每倍頻程。

對比上中下三張圖后，我們發現：

4個小波每倍頻程結果文件分辨率較差，16個小波每倍頻程和32個小波每倍頻程結果文件分辨率較好。但32個小波每倍頻程相對于16個小波每倍頻程分辨率基本無改善，但存儲空間增大不少。在這種情形下，設置16個小波每倍頻程是明智的選擇，分辨率較好并且存儲空間也不大，Win-Win！

圖16

如果不設置降采樣率，小波彩色圖中時間塊將具有與原始時間信號采樣率相同的X軸分辨率(如使用100個小波分析50,000個數據點時間信號，將產生50,000 x 100個數據集)，這樣會占用大量磁盤存儲空間和大量后處理時間，因此小波分析中應設置降采樣率參數以縮減結果文件大小。

在Time Frequency Analysis界面，可以點擊Settings，在彈窗中設置降采樣率，如圖17所示。

圖17

也可以在Time Data Processing界面，點擊 Change Settings...，在彈窗中設置降采樣率，如圖18所示。

圖18

活塞往復運動撞擊汽缸壁時發生活塞拍擊現象，這會引起可聽見的瞬態噪聲。

圖19

工程師希望確定活塞拍打的準確時刻，以確定曲軸轉角大小。 傅里葉變換方法并不能準確確定活塞拍打時刻，但小波分析可以明確指示出活塞拍擊時刻和頻率成分。

 在圖20所示，上圖顯示了發動機缸體附近傳聲器采集獲得的聲壓時域信號，一些瞬態事件(對應活塞拍打)用黑圈圈出， 該數據以兩種方式分析：FFT(中圖)和小波(下圖)。

 對比結果可以看出：FFT結果無法指示時域或頻域特征，小波分析具有更好的時間及頻率分辨率，活塞拍打時刻和頻率可以從彩色圖上清晰獲取。

圖20

小波分析可適用于任何類型的瞬態信號：活塞拍打聲、門板撞擊聲、沖擊聲、柴油咔嗒聲、噴射滴答聲和按鈕咔嗒聲等。