本文來源：iStructure(ID:iStructure2017)

作者：楊笑天

形是力的圖解。形與力相結合的形態，廣泛存在于自然界和生活中。比如，森林中懸垂的藤蔓、粘著露水的蛛絲，以及人類建造的吊橋和輸電線，都是形與力高度結合的懸鏈線 Catenary 形態。

▲ 粘著露水的蜘蛛網 

▲ 鐵塔之間懸垂的電線

▲ Capilano suspension bridge, Canada

 

    形 與 力    

早在1490年，達芬奇繪制《抱銀貂的女人》時，曾提出一個問題。女人戴的項鏈的形狀，即在均勻重力作用下，項鏈自然下垂的形態是什么？

▲ 抱銀貂的女人，達芬奇，1490年

伽利略錯誤地猜測懸鏈曲線也是拋物線。直到1690年雅各布·伯努利正式提出懸鏈線問題，向數學界征求答案。1691年他的弟弟約翰·伯努利和萊布尼茲、惠更斯三人各自都得到了正確答案，給出懸鏈線的數學表達式--雙曲余弦函數。

▲ 用微積分推導懸鏈線的過程

值得說明的是，合理的曲線形態與荷載有關。如下圖所示，沿跨度投影方向均布的豎向荷載作用下，合理形狀是二次拋物線。在沿著構件單元長度均布的荷載下，是懸鏈線。在沿著曲線法線的均布荷載下，合理形狀則是圓弧 (想象一下肥皂泡)。

 

有趣的是，它們時常以看似“相反”的形式出現。比如，美國圣路易斯的杰斐遜紀念拱門，主要豎向荷載是拱的自重，因此它的合理形狀是懸鏈線。而我們常見的懸索橋，主要荷載是沿跨度方向均布的橋面，它的形狀反而是拋物線。

▲ 杰斐遜紀念拱門，高 192 米：懸鏈線拱

▲ 舊金山金門大橋：拋物線形狀的懸索

實際上，拋物線和懸鏈線的形狀差別并不大。對于能承受一定彎矩的剛性結構來說，這種差別帶來的影響不大。但對于零彎矩的柔性結構，形態尤為重要。初始的形態偏離越多，加載后的形變越大。

 

   懸 鏈 拱    

早在17世紀，發現彈性定律的科學家羅伯特·胡克提出，“將懸掛的柔性曲線翻轉形成拱”。【"As hangs a flexible cable so, inverted, stand the touching pieces of an arch."】

▲ 胡克和他的發明 (手持懸鏈線)

高迪 與 逆吊法

19世紀70年代，安東尼奧·高迪(1852-1926) 率先在建筑設計中嘗試使用懸鏈逆吊法，通過實驗手段探索空間形態。

▲ 高迪設計的吊掛試驗模型

鐵鏈在自重下呈懸鏈線形態

高迪在圣家大教堂和巴特由之家等建筑中，都經常使用懸鏈拱，在燈光和色彩的襯托下，構成一個奇幻的視覺空間。

▲ 高迪設計的懸鏈拱

杰斐遜紀念拱門

說到紀念碑，人們都會聯想到厚重的雕塑形象，而由建筑師埃羅·沙里寧設計的杰斐遜紀念拱門(Gateway Arch)則是一個特例。

▲ 懸鏈線形的杰斐遜紀念拱門 (1967)

高 192 米，建筑師Eero Saarinen

它是一個矢高和拱腳跨度均為192米的懸鏈形拱。拱身斷面為等邊三角形，從下到上逐漸收小。拱身外包不銹鋼板，表現出雕塑感。

▲ 拱門不銹鋼表皮的質感

拱門的懸鏈曲線由數學家給出公式定義。如果把拱門的曲線與懸鏈線、拋物線做對比，我們會發現懸鏈線與拱門完全貼合，而拋物線在拱身有比較大的偏差。

▲ 懸鏈拱門的曲線公式（單位為英制）

▲ 拱門與懸鏈線、拋物線對比

淺綠色為懸鏈線，洋紅色為拋物線

▲ 施工中的操作平臺和三角形結構斷面

懸鏈形拱門抵抗著巨大自重和風荷載的同時，也上演了光與影、力度與纖細的相互交織。

在拱頂有一個觀光瞭望廳，那么如何上去呢？其實三角形斷面內是一個空腔，內藏著樓梯通道和膠囊有軌電車，便于人們上下。

講一個小故事。建造杰斐遜紀念拱門時，兩個拱腳同時開始建設。兩邊即將在頂點匯合的那天，有一萬人來見證拱心石的安裝。當工人把“拱心石”吊裝到位時，卻發現預留的間隙小了130mm。

原來是陽光照在拱表面，引起了不均勻的溫度伸長和微微彎曲變形。于是消防員用噴水降溫，在整體位置校正無誤后，才能嵌入“拱心石”。然后又用千斤頂把拱頂撬開1.8m，以抵消拱腳懸臂施工的彈性變形，最終拱頂完全封閉固定。

限于篇幅，其它幾個懸鏈拱項目不便展開。 

▲ 布達佩斯火車站

 ▲ 瑞士博覽會水泥館(1939)，懸鏈拱形薄殼結構

結構師：羅伯特?馬亞爾（1872-1940)

跨度16m，矢高12m，拱頂厚度僅為6cm

 

   懸 鏈 屋 面    

懸鏈屋面與懸鏈拱相比，有兩個特點：

1. 限于建筑使用功能的要求，懸鏈屋面的垂度(矢高)小，顯得比較扁平，由此導致懸鏈兩端巨大的水平反力，需要強大的反力構件。

▲ 懸鏈屋面的反力構件方案

2. 懸鏈是形與力高度適應的結果，在均勻荷載下效率非常高，但對集中荷載、不均勻荷載的適應能力差，因此懸鏈屋面應具有必要的剛度。

杜勒斯機場航站樓 

華盛頓杜勒斯機場航站樓，由建筑師埃羅·沙里寧設計。航站主樓最大的特點是大跨度懸吊屋面，猶如老鷹般優雅展翅。據說其設計靈感是系在兩根樹之間的吊床。

 ▲ 杜勒斯機場航站樓  

Dulles International Airport, 1962

 在重力荷載下，屋面自然下垂成懸鏈狀，巨大的混凝土柱子向外傾斜，用以平衡和抵抗懸索端部的水平力。

▲ 建筑剖面簡圖

 懸鏈的水平拉力 與斜柱軸力的水平分量平衡

航站樓懸垂屋蓋跨度約43米，提供了十分開闊的空間，整個大廳內部沒有任何立柱的阻礙。

  

▲ 施工中: 斜柱與柱頂水平反力梁 

 

里斯本世博會葡萄牙館

1998里斯本世博會葡萄牙館，是建筑師西扎與結構師巴爾蒙德合作設計的。最有吸引力的部分無疑是一片長67.5米，寬50多米的半開敞公共大廳。

▲ Portugal Pavilion，EXpo1998，LiSboa

▲ 里斯本世博會葡萄牙館剖面示意圖

20cm厚的白色混凝土包裹著高強鋼索，懸鏈屋面跨越了近70m，卻輕盈得像是一條毛毯。結構的精妙之處在于，用極輕巧的懸索結構強化了結構的感知。

預拉力是受壓混凝土與受拉鋼索整合在一起的根本。對鋼索施加預應力使混凝土受壓，既保證混凝土不開裂；又依靠混凝土薄板提供必要的剛度，以自重抵抗風吸力，并。

▲ 施工過程對預應力控制簡圖

建筑兩側巨柱以夸張的尺寸暗示著拉力的存在，厚重的巨柱與輕薄屋面形成鮮明的對比。

精妙之處還在于，屋面混凝土板在兩端支座處戛然而止，以狹縫斷開，暴露出鋼索，清晰地表達出結構的邏輯，有著千鈞系一發的緊張感。

▲ 混凝土板與支座間的暴露的鋼索

陽光從狹縫照進來，帶來有趣的光影變化。

▲ 光影的變化

長野奧林匹克紀念體育館

M波浪(M-Wave)，是1998年長野冬奧會速滑比賽場館。屋頂形狀意象取自信州的山脈，像波浪一樣連綿不斷。

從建筑草圖中我們可以看到，方案之初建筑師即受到杜勒斯機場航站樓懸鏈屋面的啟發。不同的是它采用了當地產的落葉松的層壓板木材，富于獨創性。

▲ 建筑方案草圖

M形屋蓋由15個單元組成，每個單元寬約18米，縱向長216米，以其僅僅30cm的厚度，創造出跨度達到80m的無柱空間，并且抵擋著當地嚴酷的風雪荷載。

▲ 建筑模型，藏于東京建筑倉庫

▲ 建筑結構構造解析圖

 

限于篇幅，其它懸鏈屋面項目不便展開。 

▲ Municipal swimming pool

懸鏈線，是形與力關系的最好詮釋，是廣泛存在于自然界和生活中的優雅，是建筑中一抹微笑曲線。

最后，如果您讀到這里對懸鏈線感興趣，不妨嘗試著構造一個杰斐遜紀念懸鏈拱門的模型。Grasshopper提供了懸鏈線電池，以下是杰斐遜紀念拱門的數學表達和參數，更詳線的參數取值請查閱維基百科。

f _c = 625.0925 ft (191 m) 為拱的頂點高度；

L = 299.2239 ft (91 m)為兩個拱腳跨度的一半；

Q_b = 1,262.6651 sq ft (117 m²) 為拱腳等邊三角形斷面的面積； Q_t = 125.1406 sq ft (12 m²) 為拱頂等邊三角形斷面的面積；

斷面三角形從下向上隨著高度線性變化。

參考資料：

1. 結構.空間.界面的整合設計及表現，戴航,張冰著

2. 日本結構技術典型實例100選,日本建筑構造技術者協會編,滕征本等譯

3. 維基百科