引言

隨著計算機的發(fā)展，針對混凝土的靜、動力學性質已有較多研究，目前對混凝土彈性常數的預測所采用的模型較多的是并聯(lián)模型（Voigt模型）和串聯(lián)模型（Reuss模型），但該模型只能得出等效模型的上下限，不能準確的預測混凝土的有效彈性模量。馬懷發(fā)等未考慮孔隙對混凝土等效彈性模量的影響。馬輝等從理論上得出了等效彈性模量的解析公式，但忽略了泊松比的影響，結果存在一定偏差。另外，研究混凝土的力學特性的試驗也相對較多，但試驗研究的成本高和耗時，且較難得出一般性規(guī)律。

混凝土作為多相復合材料，文中基于Digimat對混凝土等效彈性模量進行研究。Digimat是一種非線性多尺度復合材料與結構建模平臺，它是基于Eshelby夾雜理論，采用Mean Field均勻化方法的多相材料非線性材料本構預測工具，在細觀尺度上，它可以對所有增強相為橢圓形拓撲的多相材料進行快速準確的性能預測，獲得剛度矩陣和工程常數，故可基于Digimat較為精確的預測出混凝土的等效彈性模量以及分析出各組相對混凝土等效彈性模量的影響。

混凝土均勻化方法

2.1   基本原理

 解決力學問題時不能僅停留在細觀尺度上，因此需區(qū)分兩個尺度：細觀尺度和宏觀尺度，這兩個尺度是通過代表性體積單元（RVE）來聯(lián)系的。在宏觀尺度上，對于每個宏觀材料點（假設每個材料點是RVE的中心），為宏觀應力和為宏觀應變。細觀尺度上有RVE區(qū)域、體積和邊界條件。RVE應該足夠大來代表細觀結構的非均質特性，但相對于整個材料來說也足夠小。RVE在線性邊界條件作用下，宏觀上的應力和應變等價于RVE區(qū)域內細觀應力和細觀應變。文中采用平均場均勻化方法對混凝土進行分析，然而，平均場均勻化方法也有不足，它無法得出每個相中的應力和應變場數值。

圖1  平均場均勻化過程

圖1為平均場均勻化方法的過程。（1）局部應變根據宏觀應變計算；（2）局部應力根據局部應變和每個相的模型來計算；（3）宏觀應力根據平均局部應力計算。

2.2   混凝土均勻化理論分析

細觀力學將混凝土看作由界面包裹的粗骨料和含有孔隙和微裂縫的水泥砂漿組成的非均質復合材料。在RVE中，將界面包裹的粗骨料作為夾雜相和含有孔隙和微裂縫的水泥砂漿作為基體項，因宏觀剛度是微觀剛度的體積平均值，可通過應變集中張量定義來求得宏觀剛度。

       在RVE上對應力場的平均化定義：

（1）

為RVE內部的細觀應力場，為宏觀坐標點，為細觀坐標點。

    在基體和夾雜相上對應力場的平均化定義：

（2）

式中0和1分別表示基體和夾雜相，

RVE、基體相和夾雜相應變場的體積平均關系為：

（3）

（4）

平均場均勻化模型可通過應變集中張量來定義：

（5）

夾雜體應變的體積平均與整個RVE（宏觀應變）的體積平均相關，通過應變集中張量來定義：

（6）

平均場均勻化模型是以Eshelby張量為基礎，利用Eshelby解，在夾雜體內部的應變是均勻的，且與遠程應變相關：

（7）

其中，為單夾雜體的應變集中張量，定義為：

（8）

為Eshelby張量。

對于均勻化模型來說，宏觀剛度為：

（9）

2.3   混凝土模型

混凝土模型采用平均場均勻化方法，是基于Eshelby夾雜理論，等效顆粒運用Mori-Tanaka均化算法以及等效基體運用雙夾雜均化算法。混凝土混合夾雜模型如圖2所示,將含有孔隙和微裂縫的水泥砂漿作為等效基體，粗骨料和其包裹粗骨料的界面看作是球形等效顆粒，作為夾雜相，形成混凝土混合夾雜模型。為建立混凝土混合夾雜模型，假設混凝土各細觀組成相材料都是理想均勻、各向同性的彈性材料，并且忽略骨料形狀、級配的影響，采用同一粒徑的球形顆粒模擬骨料。

圖2  混凝土混合夾雜模型

其中界面層包裹的骨料采用雙夾雜模型，雙夾雜模型如圖3所示，它基于以下想法：剛度為的夾雜體被由剛度為的材料包裹，在該材料之外的區(qū)域是剛度為的基體材料。此時，真實RVE被由虛擬的復合材料所代替，該材料由剛度為的參考基體和剛度為的夾雜體以及覆蓋在其表層的剛度為的材料所構成，因此稱為雙夾雜。

圖3  雙夾雜模型示意圖

數值模擬以及結果對比

我想請大家來看這樣一個圖。這個圖是從全球很多的經濟體的增長歷史中得到的數據。橫軸表示的是某個國家在某個歷史階段的經濟發(fā)展水平，縱軸表示的是這個國家在同樣歷史階段的勞動生產率的增長速度。首先經濟發(fā)展水平比較低的國家情況差異非常大，紅色的這些點勞動生產率的增長速度非常快，白色的這些點勞動生產率的速度非常慢。紅色的和藍色的點，代表著實現了經濟增長潛力的國家和地區(qū)，或者說最成功的經濟體，它們的勞動生產率增長速度隨著經濟發(fā)展水平的提升在逐漸下降。

選擇Stock的試驗數據，根據建立的混凝土模型對其抗壓彈性模量和抗拉彈性模量進行計算，通過與試驗數據的比對驗證該模型的有效性。Stock通過試驗的方法測得數據如下：水灰比為0.5，水泥砂漿的抗壓和抗拉彈性模量分別為、E_m=1.34×10⁴N/mm²、E_p=1.16×10⁴N/mm²，水泥砂漿的泊松比為v_m=0.25，粗骨料的彈性模量為E_a=7.45×10⁴N/mm²、粗骨料的泊松比為v_a=0.15，界面層的彈性模量取為水泥砂漿彈性模量的0.4倍、泊松比為v_i=0.3、厚度為粗骨料粒徑的0.005，孔隙和微裂縫所占的混凝土體積比均取為1%。混凝土模型如圖4所示，圖（a）可以直觀的顯示混凝土的組成成分，圖（b）對混凝土模型進行了網格劃分，采用六面體網格，經計算該細觀模型共有148202個單元和298654個節(jié)點。

(a)

(b)

圖4  混凝土模型

取粗骨料體積百分比為0.4，由均勻化方法得出混凝土的等效彈性矩陣如表1所示。

表1  混凝土的等效彈性矩陣

經過計算，混凝土泊松比為v=0.21,宏觀抗壓彈性模量為E_c=2.23×10⁴N/mm²,而Stock等人得到的實驗值為E_c=2. 32×10⁴N/mm²，相對誤差為3.9%。

      其他參數不變，只改變粗骨料在混凝土中所占體積百分比，分別取0.2,0.4,0.6和0.8，抗壓彈性模量值如表2所示，抗拉彈性模量值如表3所示。

表2  混凝土抗壓彈性模量值  GPa

表3  混凝土抗拉彈性模量值  GPa

       圖5和圖6分別給出在不同粗骨料體積比下，實驗測定和模型預測的混凝土等效抗壓彈性模量值和抗拉彈性模量值。結果表明，模型預測值和試驗測定值相近，隨著粗骨料體積比的增加混凝土的等效彈性模量成指數增加，粗骨料體積比相同時混凝土的抗壓彈性模量大于抗拉彈性模量。

圖5  試驗測定和模型預測的混凝土等效抗壓彈性模量

圖6  試驗測定和模型預測的混凝土等效抗拉彈性模量

 在細觀結構層次上，影響混凝土等效彈性模量的因素很多，文中運用混凝土混合夾雜模型分別預測出不同基體水泥砂漿的彈性模量、不同粗骨料縱橫比和不同孔隙所占的水泥砂漿體積比對混凝土等效彈性模量的影響。

 圖7給出基體水泥砂漿的彈性模量分別為8.4GPa，13.4GPa和18.4GPa時對混凝土等效彈性模量的影響。結果表明，基體水泥砂漿的彈性模量對混凝土等效彈性模量的影響較大，隨著水泥砂漿彈性模量的增加混凝土等效彈性模量隨之增加。

圖7  水泥砂漿彈性模量對混凝土等效彈性模量的影響

 上述實驗測定值和模型預測值的前提是粗骨料縱橫比為1.0（即為球形），為了進一步研究粗骨料對混凝土等效彈性模量的影響，預測了粗骨料的縱橫比分別為1.0，1.2,1.4和1.6時混凝土的等效彈性模量值。圖8給出不同粗骨料縱橫比對混凝土等效彈性模量的影響。結果表明，在其他參數不變的情況下，隨著粗骨料縱橫比的增大混凝土等效彈性模量呈上升趨勢。并且由圖可知，當骨料體積比為0.2時，隨著粗骨料縱橫比的增大對混凝土等效彈性模量的影響并不太顯著，但隨著骨料所占體積比的增加，粗骨料縱橫比對混凝土等效彈性模量有較大影響。

圖8  粗骨料縱橫比對混凝土等效彈性模量的影響

 水泥在硬化過程中不可避免地會產生孔隙，同時，由于振搗不實、養(yǎng)護不好等原因也會在混凝土中留下孔隙，因此，在對混凝土進行細觀數值分析的過程中，混凝土的孔隙也是一個不可忽視的重要影響因素。圖9給出孔隙所占的水泥砂漿體積比分別為0.01,0.03和0.05時對混凝土等效彈性模量的影響。結果表明，孔隙所占水泥砂漿體積比對混凝土的等效彈性模量有密切的關系:在其他參數不變的情況下，隨著所占水泥砂漿體積比的增大混凝土等效彈性模量呈下降趨勢。

圖9 孔隙所占的水泥砂漿體積比對混凝土等效彈性模量的影響

結論

(1)基于Digimat，將混凝土作為由水泥砂漿、粗骨料、界面、孔隙和微裂縫組成的多相復合材料，將含有孔隙和微裂縫的水泥砂漿作為基體，粗骨料和其包裹粗骨料的界面看作是球形顆粒，作為夾雜相，建立了混凝土模型，分別計算出等效抗壓和抗拉彈性模量值。結果表明，模型預測值與試驗測定值較為吻合。

(2)隨著粗骨料體積比的增加混凝土的等效彈性模量成指數增加；在粗骨料體積比相同的情況下，混凝土的抗壓彈性模量大于抗拉彈性模量。另外，粗骨料體積百分比在40%至70%之間時，該模型計算值與試驗測定值相對誤差較小，而大壩混凝土粗骨料體積百分比一般在該區(qū)間，故為預測大壩混凝土等效彈性模型提供了較為合理的參考值。

(3)各組相力學特性對混凝土的等效彈性模量均有較大影響。隨著水泥砂漿彈性模量的增加混凝土等效彈性模量隨之增加；隨著粗骨料縱橫比的增加混凝土等效彈性模量呈上升趨勢；孔隙所占水泥砂漿體積比增加混凝土等效彈性模量減小。

(4)通過計算表明該模型在一定程度上能夠反映出細觀上的粗骨料所占不同體積百分比對混凝土抗拉和抗壓彈性模量的影響以及分析了水泥砂漿彈性模量、粗骨料縱橫比和孔隙所占水泥砂漿體積比對混凝土彈性模量的影響。此模型既可以用于預測混凝土的抗壓和抗拉彈性模量，也能優(yōu)化混凝土的材料性能。