目前，傳統的設計方法在結構設計中仍占很大比重，設計中存在著大量的簡化和經驗，通常難以得到最優設計，設計出的結構也難以滿足現代工業的要求。隨著計算機技術的迅猛發展，以有限元法為核心的優化設計方法迅速發展。相比于傳統的設計方法，優化設計方法大大降低了設計的時間和成本，往往能設計出最優的結構。

形狀優化是機械和結構優化領域的一個重要分支。在機械和結構設計中，存在最佳過渡曲線形狀、結構最佳形狀等形狀設計間題，因此形狀優化有著潛在的應用前景。形狀優化面臨的主要問題有幾何建模、形狀靈敏度分析、網格重劃分等幾個方面。

目前，工程上主流的形狀優化工具有iSight、Optimus等。其形狀優化思路基本相同：①采用商業CAD軟件進行參數化建模；②根據設計變量及攝動后的設計變量（攝動值用于計算靈敏度），調用商業CAD軟件提供的API對幾何參數進行更新并生成多個幾何文件；③采用商業CAE網格工具對多個幾何模型進行自動網格劃分，生成多個有限元模型文件；④對所有的限元模型進行求解，并采用差分法計算靈敏度；⑤形狀參數優化。

為了能夠讓優化過程自動循環，主流軟件基本都自帶了腳本驅動功能。通過腳本自動執行上面的每一步，直至優化問題收斂。

目前主流的形狀優化方案仍存在以下問題：

• 需要集成至少三款軟件（CAD軟件、CAE軟件、OPT優化軟件），成本高

• 差分法靈敏度計算效率低

• 有限元網格局部重劃分容易引起網格畸變

目前，SiPESC具備了CAD、CAE、OPT三種功能，可有效降低采購成本。

本文最后詳細介紹了一下“形狀優化面臨的問題”，目前仍有很多問題有待進一步研究解決。

高效的靈敏度分析是提高優化效率的關鍵，已有的靈敏度求解方法包括差分法、解析法與半解析法。

•  差分法計算靈敏度十分簡單，但效率很低。

•  解析法通過推導得到靈敏度公式，計算效率和精度都較高，但推導公式并編程通常復雜且困難，也不具有通用性。

• 半解析法是差分法與解析法的綜合，采用差分法計算單元剛度陣等，采用解析法計算指標函數對單元剛度陣等的靈敏度。

SiPESC通過三方面提高靈敏度分析效率與通用性：

1. 采用半解析靈敏分析方法

2. 通過幾何面與有限元節點映射關系有限元模型需要攝動的節點及節點攝動量（采用幾何面內坐標系確定節點攝動量，攝動更精確，更符合實際）

3. 通過節點與單元映射關系，確定攝動節點相關單元，利用局部單元計算靈敏度，計算效率更高。

對于復雜工程結構（例如：光機機床），與幾何設計變量相關的單元很少（甚至達不到1%），即大部分單元與靈敏度分析無關。利用此特征可大大提高半解析靈敏度分析效率。如下圖，選擇立方體高度為設計變量時，設計變量攝動后，可認為圖中僅灰色面移動。與該設計變量的靈敏度相關的單元是與立方體灰色面相關的單元（藍色單元）。SiPESC提供了確定藍色單元的方法，此方法大大降低靈敏度求解時間。

同時，攝動設計變量引起灰色面的偏移后，不再重新劃分網格，通過移動與面相關聯的節點實現（因攝動量很小，不會引起網格畸變）。

在分析類梁結構時，如果使用形狀參數作為設計變量時，誤差會隨著攝動步長增大以及單元數目增多而變得尤為明顯，究其原因主要在于單元的剛體轉動。

為解決此問題，SiPESC半解析靈敏度分析引入了修正項。以下是對半解析靈敏度分析修正項的測試，測試采用如圖所示懸臂梁模型（100x15x10），左端固支，右端中心施加豎直向下集中力，對靜力位移靈敏度分析在有修正、無 修正、整體差分三種情況下的計算結果進行對比。

結果顯示，在有修正項的結果中，分析得到的靈敏度較穩定，無 修正項分析得到的靈敏度隨攝動步長變化較大。受有限元分析誤差影響，整體差分靈敏度受網格大小和攝動步長的影響更大。

根據材料力學理論，此梁端部位移為：1.275917，靈敏度為：0.38277512。

形狀優化的過程分為參數化建模、攝動節點提取、有限元分析、靈敏度分析和形狀優化，這些過程都是在SiPESC平臺上通過python腳本完成。

(1) 參數化建模

SiPESC平臺可以實現布爾運算、拉伸、旋轉、曲面建模等幾何建模功能。參數化建模全部基于SiPESC平臺實現，主要過程分為：

• 創建幾何模型：通過創建點、線、面、實體創建出要優化的模型。要修改模型的尺寸只需通過修改相關函數的參數即可。

• 賦予相關屬性：在腳本中通過給不同的面賦予不同的顏色，可以達到給指定的面施加約束、載荷、材料屬性。修改屬性的方法與創建幾何模型相同。

將創建出來的幾何模型保存為*.step文件，有限元模型保存為*.bdf文件。

(2) 靈敏度分析

首先確定設計變量相關幾何面，并記錄幾何面上的有限元節點。然后給設計變量增加一個微小的攝動量，通過參數化建模得到變化后的新幾何模型。再通過幾何面內坐標系與整體坐標系轉換關系，確定原幾何面上節點對應的新幾何面內的攝動節點。最后計算攝動前后的節點坐標差值（靈敏度分析需要的參數）。整個過程只需要劃分一次網格，只一次有限元分析，僅計算部分單元剛度陣的差分，大大減少了計算量，提高了計算效率。流程如圖：

將計算得到的坐標差值（擾動值）作為設計變量參數，通過腳本調用半解析法靈敏度分析插件計算得到靜力位移對設計變量的靈敏度，進一步通過SiPESC.OPT進行形狀優化。

(3) 優化算法

SiPESC平臺集成了多種優化算法，例如移動漸近線算法（CMMA）、序列線性算法（SLP）、序列二次規劃算法（SQP）和智能算法等多種算法。

優化過程的部分腳本

(4) 算例

對如圖所示的懸臂梁進行形狀優化，l = 100，w = 15，h = 10。彈性模量E= 2.09e7，泊松比0.28，密度7.3e-3，懸臂梁受1e8的載荷。 

設計變量為懸臂梁的高度，設計變量初始值、上限、下限分別為10、10.5、9.5。約束為梁的自由端Z方向位移不超過0.13。

選擇移動漸近線算法（MMA）對優化問題進行求解，優化結果為9.73878。

(1) 形狀優化的幾何建模

所謂形狀優化的幾何建模，即是采用合適的方法來描述待優化的幾何形狀的邊界，而這一邊界在優化過程中是不斷變化的。幾何建模是形狀優化要解決的首要問題，因為幾何形狀的描述方式直接影響著設計變量的表達、結構有限元分析誤差、敏度分析及優化方法等這些形狀優化的關鍵問題。描述邊界形狀的常用方法有：使用結構離散模型邊界節點的坐標作為設計變量，利用這種設計變量的變化來描述邊界形狀;使用多項式函數來描述邊界形狀;使用樣條函數來描述邊界形狀以及在微分幾何的Frenet標架下來描述邊界形狀等。通過幾何建模，可以使可變形狀得到合理的描述，可方便地控制優化邊界單元的密度和重劃分，同時可減少形狀設計變量數目。

(2) 形狀敏度分析

形狀優化的算法大都需要獲得結構狀態響應對形狀設計變量的導數信息，這就需要進行形狀敏度分析。它涉及到單元剛度矩陣與設計變量之間的復雜非線性關系，因而其敏度分析及計算相對結構尺寸優化來說要困難得多，并且計算量也要大得多。形狀敏度分析直接影響結構狀態響應對形狀設計變量導數的數值計算精度和計算效率，而形狀優化敏度分析的計算量往往要占到整個優化過程的一半。因此，提高形狀優化敏度分析的計算效率和計算精度有著重要意義。

(3) 有限元網格自動重劃分

形狀優化迭代過程中，由于設計變量的變化，引起邊界形狀的相應變化，從而不可避免地引起已劃分好的有限元網格也發生變化。如果此時仍然維持原網格的劃分方案不變，必然會使網格發生畸變，甚至導致不合法的網格。因此在形狀優化過程中，有限元網格自動重劃分是必不可少的。

(4) 形狀優化算法

采用何種優化算法來對形狀設計變量進行優化搜索，將直接影響到形狀優化的效率。通常優化數值算法有可行方向法、序列線性規劃法、序列二次規劃法、罰函數法、優化準則法等。可行方向法求解形狀優化問題是在每次優化搜索過程中，使用梯度信息尋求一個可行的并且是下降的方向，然后沿該方向作一維搜索，確定合適的搜索步長，獲得下一個設計點。這一方法的特點是，每一個新的設計點均是可行設計點，并且優于前一個設計點，因而特別適合于工程優化問題;序列線性規劃和序列二次規劃法則是分別將原問題轉化為一系列線性規劃或二次規劃問題來求解，而線性規劃和二次規劃的算法是相當成熟的。

(5) 形狀優化軟件

開發形狀優化軟件除了需要解決前述的4個關鍵問題外，還要使整個過程完全自動化。SiPESC已經集成開源幾何建模工具OpenCasCade和網格劃分工具NetGen，結合有限元分析模塊SiPESC.FEMS與集成優化模塊SiPESC.OPT，以及半解析靈敏度分析模塊。可以形成一個完美的形狀優化定制模塊。