導讀

ANSYS Mechanical具有強大的非線性計算能力，能夠對幾何非線性、材料非線性、接觸非線性、混合非線性（塑性和接觸等）、非線性屈曲等計算問題進行非常好的模擬仿真，是目前最強大的非線性問題計算軟件之一。

限于篇幅，本文僅對非線性求解與收斂、接觸非線性問題中涉及的設置等內容進行簡要整理和說明，以期望對于ANSYS Mechanical接觸非線性設置的使用有一定的幫助作用。

本文原稿基于ANSYS Documentation-ANSYS Mechanical User's Guide中部分章節內容以及其他相關技術文檔進行整理編寫，另外原稿整理時間較早，部分設置與ANSYS18/19版本不盡相同。

本文共  6737 個字，預計用時超過10分鐘，您將學到以下內容：

1、非線性求解與收斂

-收斂與收斂判據

-載荷步，時間步與平衡迭代

-求解控制

-重啟動控制

-非線性控制

2、接觸與接觸設置

-接觸協調

-探測方法

-修剪接觸

-穿透和華移容差

-法相接觸剛度

-Pinball 區域

-對稱/非對稱行為

-接觸中的體類型

-界面處理與接觸幾何修正

-接觸工具

-自接觸設置

-單元死生與接觸過程控制

一、非線性分析背景

1、結構非線性的定義

江邊漁者垂釣的魚竿、承載運動器重量的輪胎、重型機械零件的鍛造、薄板零件的沖壓與折彎等，都涉及結構非線性問題。

對這些結構繪制載荷與變形的曲線，均不再符合胡克定理 ，而表現出非線性結構的基本特性，結構剛度不再是常量，而成為函數變量。

2、非線性行為類型

① 幾何非線性

當結構經受大變形時，變化的幾何形狀可能會引起結構的非線性響應。例如魚竿提線的過程、大型殼體結構非線性屈曲的過程，都屬于幾何非線性問題。

② 材料非線性

金屬塑性、橡膠材料超彈體與粘彈性、混凝土問題、率相關性蠕變等問題都是典型的材料非線性問題。

圖1 混合非線性

③ 接觸非線性

接觸是種普遍的非線性行為，是狀態變化非線性類型中特殊而重要的子集。當零件彼此之間接觸與分離，接觸剛度會發生相應的改變。

非線性問題通常不會單一出現，ANSYS Mechanical具有同時處理混合非線性問題的能力，如圖1所示就是混合非線性的問題，同時考慮金屬的塑性與接觸的非線性問題。

3、構建非線性模型

適度的非線性行為求解采用的幾何設置、網格通常無需修正，與線性行為一致。

多數情況需要對若干特性進行修正，包括單元的特性、非線性材料數據（塑性、蠕變、超彈體等）、幾何建模（奇異引起不收斂問題）等。

如下設置與修改，可能有益于非線性分析問題的收斂。

① 修改【Mesh】→【Shape Checking】選項為“Aggressive Mechanical”或“Nonlinear Mechanical”，如圖2所示，這能夠提供一種增強的單元質量處理大應變分析中過度扭曲。

② 修改【Geometry】→【Element Control】選項為“Manual”，可以在完全積分與減縮積分策略中進行切換。該選項影響單元中積分點的數量，如圖3所示。例如強制修改完全積分應用于高階單元（默認采用一致減縮積分），這通常有助于厚度上僅有一層單元的結構，以提高計算求解精度。

③ 默認情況下，結構單元將默認采用具有中間節點的高階單元。通過圖4中所示進行高階單元（Kept）與低階單元（Dropped）的轉換。

圖2 Shape Checking

圖3 Element Control

圖4 Element Midside Nodes

二、非線性求解與收斂

（一）牛頓-辛普森方程

非線性分析中，不能直接由線性方程求得響應，需要將載荷分解成許多增量求解，每一增量確定一平衡條件。

ANSYS Mechanical 使用牛頓-辛普森方程（Newton-Raphson）平衡迭代法進行非線性問題的求解。每個載荷增量步結束時，平衡迭代驅使解回到平衡狀態。

其中：

為切向剛度矩陣；

為位移增量；

是施加的載荷矢量；

為內力矢量。

 圖5 牛頓-辛普森方程

如圖5所示是一個載荷增量四個迭代步的迭代求解過程：

第一次迭代施加總載荷 ，對應的位移結果為，根據位移 ，計算力，若是，系統不收斂，將進行剛度矩陣的修正，如圖中點虛線所示。其中的差值即外力與內力的偏差成為殘差力，殘差力需要足夠小才能得以收斂，然后進行第二次迭代求解，第三次迭代……直至收斂。

（二）收斂與收斂判據

牛頓-辛普森方程需要一個收斂度量以決定迭代的過程，定義“殘差”是外部載荷與內部載荷的差值：

通常認為當殘差足夠小的時候

即當殘差的范數小于指定容差因子乘以參考力值時，就認為得到了收斂的求解數值（實際上殘差從未真正等于0）。

其中：

稱為力收斂準則。

為容差因子。

是載荷與反力的范數。

（三）載荷步，時間步與平衡迭代

1、載荷步，時間步與平衡迭代

非線性求解過程可以按照三個層次進行組織：

① 載荷步是頂層，求解選項、載荷與邊界條件都施加于某個載荷步內。
② 時間步是載荷步中的載荷增量，時間步用于逐步施加載荷。
③ 平衡迭代是為得到給定時間步（載荷增量）的收斂解而采用的方法。

圖6 兩個載荷步的求解

率相關分析（蠕變，粘塑性）與瞬態分析中，“時間”代表真實的時間。

率無關的靜態分析，“時間”表示加載次序。

2、自動時間步

“自動時間步”基于結構對于應用載荷的響應，在每個子步結束將會計算一個優化的時間步長。

 “自動時間步”通過求解過程自動調節載荷增量，可以定義初始載荷步、最小載荷步和最大載荷步。

難收斂的求解問題，將會施加更小的增量。當收斂困難時，自動時間載荷步算法將進行“二分”，求解將返回最后一個成功收斂的子載荷步，按照更小增量施加載荷(通常設置為上次的一半)。

（四）求解控制

 圖7 求解控制

結構靜力學【Static Structural】和結構瞬態動力學【Transient Structural】分析模塊均可以考慮非線性分析問題。

1、【Solver Type】求解類型

(1) Program Controlled程序控制能夠根據求解問題自動選擇求解器。

(2) Direct (Sparse)稀疏求解器更穩健，推薦用于梁殼等結構中。

(3) Iterative (PCG)更有效率，適合用于大型結構求解。

2、【Weak Springs】弱彈簧

用來防止結構剛體位移導致的計算不收斂，引入Weak Springs能幫助求解收斂。由于剛度很小，不會明顯影響結構的計算結果。

3、【Large Deflection】大變形

① 對于結構瞬態動力學，默認設置為Large Deflectio=On。
② 對于靜力學分析模塊，需要修改Large Deflection=On。

Large Deflectio=On，使分析考慮大變形、大旋轉和大應變引起的單元形狀和方向的改變，計算結果更為準確。

（五）重啟動控制

重啟動技術用于已經停止計算的問題再次提交求解。能夠對不收斂的計算進行修改，例如分析設置、載荷等，也能對已經完成求解的模型進行擴展分析，例如增加新載荷步、求解時間等。

如圖8所示，重啟動設置的過程一般如下：

1、修改Generate Restart Points=Manual。

2、 修改Load Step，設置為Last或者All

3、修改Substep選項用于指定“Load Step”內生成多少個重啟動點。可選擇“Last、All、Specified、Equally Spaced”等方法進行定義。

4、默認情況下，重啟動文件是自動刪除的，需要修改Retain Files After Full Solve=Yes，設置Future Analysis=Prestressed analysis或Delete Unneeded Files=No，都可以保留重啟動文件。

5、當求解計算不收斂時，通過圖8步驟的方式，建立重啟動點的設置，再次提交求解計算。

圖8 重啟動控制

（六）非線性控制

1、【Newton-Raphson Option】：略。

2、 默認的收斂準則包括：

①【Force Convergence】

② 【Moment Convergence】

③ 【Displacement Convergence】
④ 【Rotation Convergence】

默認的收斂準則適應于大多數的工程應用，可以重新修改默認收斂準則的容差，使其更加容易收斂，但這也會影響計算結果的精確程度。對于力 / 力矩缺省的容限是0.5%。對于位移 / 旋轉增量的容限是 5%。

3、【Line Search】線性搜索：線性搜索有助于收斂，通過一個0-1的比例因子去影響位移增量幫助收斂，適合于施加力載荷、薄殼、細長桿結構或求解收斂震蕩的情況。

4、【Stabilization】穩定性：用于非線性屈曲分析，限于本文宗旨和篇幅，不進行展開說明。

 圖9 非線性控制 

三、接觸與接觸設置

（一）接觸的基本概念

兩個分離的表面接觸并相互剪切時，就稱它們處于接觸狀態。處于接觸狀態的表面具有如下特點：

① 不互相穿透。
② 能夠傳遞法向壓力和切向摩擦力。
③ 通常不傳遞法向拉力。

接觸一般可以考慮兩類接觸問題：①剛性體-柔性體、②柔性體-柔性體。其中剛性體不計算應力等。

ANSYS Mechanical提供如下接觸類型和接觸行為：

① 綁定Bonded：沒有穿透，不分離，面或者邊以及兩者之間不出現滑動。

② 不分離No Separation：與綁定類似，法向不分離，允許接觸面發生小量無摩擦滑動。

③ 無摩擦Frictionless：不穿透，表面之間自由滑動，分離不受阻礙。

④ 摩擦Frictional：滑動阻力與摩擦系數成正比，自由分離不受阻礙。

⑤ 粗糙Rough：與無摩擦類似，但是不允許滑移。

后三種接觸行為均為非線性接觸行為，接觸行為與迭代次數如表1所示。

表1 接觸行為與迭代次數

（二）接觸協調

 圖10 接觸協調 

ANSYS Mechaniacal提供多個接觸公式來建立接觸面的強制協調性，如圖10所示。

1、罰函數法（Pure Penalty）

罰函數法用一個接觸“彈簧”在兩個面間建立關系，彈簧剛度稱為懲罰參數或接觸剛度；當面分開時(開狀態)，彈簧不起作用；當面開始穿透時(閉合)，彈簧起作用。

彈簧偏移量（穿透量）滿足平衡方程，其中 是接觸剛度。為保證平衡，必須大于零。實際接觸體相互不穿透，理想接觸剛度應該是非常大的值，為得到最高精度，接觸界面的穿透量應該最小，但這會引起收斂困難。

2、Lagrange乘子法

Lagrange乘子法通過增加一個附加自由度 (接觸壓力)來滿足不可穿透條件，不涉及接觸剛度和穿透。

用壓力自由度得到0或者接近0的穿透量，不需要法向接觸剛度，采用直接求解器，只對接觸表面的法向施加力。Lagrange乘子法經常處于接觸狀態的開與關，容易引起收斂震蕩。

3、增廣 Lagrange法

將罰函數法和Lagrange乘子法結合起來強制接觸協調，稱之為增廣agrange法。

由于額外因子，增強拉格朗日法對于接觸剛度的變化不敏感。當采用程序控制選項時，增廣 Lagrange法為默認方法。

④ 多點約束算法（MPC）

MPC通過添加約束方程來“聯結”接觸面之間的位移。采用MPC算法的綁定接觸支持大變形分析。只能用于綁定和不分離類型的接觸。

（三）探測方法

如圖11所示，探測方法（Detection Method）包括如下幾項：

圖11 Detection Method

 圖12 積分點與節點探測 

1、On Gauss point

純罰函數Pure Penalty和增廣Lagrange默認使用“On Gauss point”進行探測。探測點更多，認為是比節點探索更準確的檢測方法.

但有時需要采用基于節點的探測方法，特別是用于楞尖形狀與線面接觸的情況。

2、Nodal- Normal to Target

拉格朗日與MPC公式默認使用“Nodal- Normal to Target”方法，探測點更少。

3、Normal from Contact or Normal to Target

垂直于接觸面或者目標面方法，決定了應用在接觸面上接觸力的方向。

4、Nodal-Projection Normal from Contact

Nodal-Projection Normal from Contact在接觸和目標表面的重疊區域強制作用一個接觸約束。接觸滲透/間隙計算是在重疊區域平均意義上計算的。

相比其他設置，Nodal-Projection Normal from Contact提供更精確的下層單元接觸壓力。

當有摩擦的接觸面和目標面之間存在偏移時，更好的滿足力矩平衡。

（四）修剪接觸

圖13Trim Contact 

1、修剪接觸（Trim Contact）能夠自動減少接觸單元的數量，從而加快計算速度。

① 當設置“Program Controlled”選項時，默認自動開啟“Trim Contact”。

② 手動創建接觸對不進行修剪設置。

③ 大變形滑移時，建議不開啟修剪接觸。

2、修剪容差Trim Tolerance用來定義修剪操作的上限。

① 對于自動接觸，這個選項顯示了接觸探測的值（只讀格式）。

② 對于手動接觸，需要用戶輸入大于零的值。

（五）穿透和滑移容差

1、穿透容差（Penetration Tolerances）

① 該設置僅適用于罰函數法和增強拉格朗日法。

② 可以通過定義一個數值，或者根據下層單元厚度定義一個因子。

③ 默認等于0.1*單元厚度。

2、彈性滑移容差（Elastic Slip Tolerance）

如果彈性滑移在許可的容差范圍內，接觸協調性在切向滿足要求。

① 通過定義一個數值，或者根據下層單元厚度的平均值定義一個因子。

② 綁定、粗糙、摩擦接觸等增強了切向的協調性。

③ 許可容差默認為平均單元長度的1%。

 圖14 穿透和滑移容差 

（六）法向接觸剛度

 圖15 Normal Stiffness 

1、法向接觸剛度（Normal Stiffness）是影響精度和收斂行為最重要的參數，適用于“Pure Penalty”或“Augmented Lagrange”。

2、法向接觸剛度Normal Stiffness是一個相對因子。一般變形問題建議使用1.0，彎曲支配情況下如若收斂困難情況，小于0.1的值對于收斂問題有益。

3、接觸剛度在求解中會自動調整，對于收斂困難問題，剛度自動減小。

4、剛度越大，結果越精確，收斂變得越困難。但是接觸剛度太大，模型會振動，接觸面會相互彈開。

5、系統默認自動設定法向剛度Normal Stiffness。可以輸入法向剛度因子Normal Stiffness Factor”，因子越小，接觸剛度就越小。

① 默認FKN =10 (對于綁定和不分離的接觸)。
② 默認FKN = 1 (其他形式接觸)。

6、 法相剛度的一般準則為：

① 體積為主的問題，接觸剛度因子選擇默認或者為1。
② 彎曲為主的問題，采用0.01-0.1之間比較適合。

（七） Pinball區域

圖16 Pinball區域 

Pinball區域用于區分遠場開放和近場開放狀態，是包圍每個接觸探測點周圍的球形邊界（2D或者3D）。

① 目標面上的節點處于Pinball區域的球體內， ANSYS Mechanical就會認為它“接近”接觸，會更加密切地監測它與接觸探測點的關系。

② 在球體以外的目標面上的節點相對于特定的接觸探測點不會受到密切監測。

③ 如果綁定接觸的縫隙小于Pinball半徑，Workbench -Mechanical仍將會按綁定來處理那個區域。

1、Pinball區域的用途

① 當搜尋給定接觸區域可能發生接觸的單元時，區分開“近”和“遠”接觸，提高接觸計算的效率。

② 確定綁定接觸允許縫隙的大小。如果激活MPC公式，Pinball區域也決定多少個節點包含在MPC方程中。

③ 確定可以包含的初始穿透深度。

2、對于每個接觸探測點有4個選項來控制Pinball區域的大小

① 程序選擇：Pinball區域通過程序控制自動設置，單元類型和單元大小由程序計算給出。

② 自動探測數值：Pinball區域等于全局接觸設置的容差值。

③ 半徑：設置本項后，手動為Pinball區鍵入需要的半徑數值。

④ 因子：采用因子控制，目前為版本的測試功能。

（八） 對稱/非對稱行為

ANSYS Mechanical中對于每一個接觸區域Contact Region中，都會顯示接觸面和目標表面，接觸面以紅色表示，目標面以藍色表示，如圖17所示。

圖17 接觸區域

1、 接觸行為

接觸行為具有如下行為：

① 程序控制（Program Controlled）：程序控制采用自動非對稱（Auto Asymmetric）。

② 對稱接觸（Symmetric）：接觸面和目標面不能相互穿透。

③ 非對稱接觸（Asymmetric）：限制接觸面不能穿透目標面。

④ 自動非對稱（Auto Asymmetric）：接觸面和目標面由程序進行控制。

圖18 接觸行為 

2、非對稱行為接觸表面的正確選擇指導

① 如果一凸的表面要和一平面或凹面接觸，應該選取平面或凹面為目標面。

② 如果一個表面有粗糙的網格而另一個表面網格細密，則應選擇粗糙網格表面為目標面。

③ 如果一個表面比另一個表面硬，則硬表面應為目標面。

④ 如果一個表面為高階而另一個為低階，則低階表面應為目標面。

⑥   如果一個表面大于另一個表面，則大的表面應為目標面。

（九）接觸中的體類型

1、ANSYS Mechanical支持實體結構的表面、殼面、邊與邊、邊與面之間建立接觸行為。

2、面體建立無摩擦或摩擦接觸時，需要確定殼面體哪一側(Top或Bottom)處于接觸關系中，創建失誤會導致無法識別接觸，如圖19所示處理過程。

3、面體素之間建立接觸時，能夠設置面體厚度影響【shell thickness effect】。

4、接觸對支持在剛體之間、剛體和柔體建立。

①  剛體之間采用罰函數方法，需要手動設置反對稱接觸。

② 剛體和柔體建立接觸采用增廣拉格朗日法，程序控制設置接觸行為為反對稱，接觸面是柔性體，目標面體是剛性體。  

 圖19 接觸中體類型設置

（十）界面處理與接觸幾何修正

圖20 界面處理

1、界面處理（Interface Treatment）

如果初始接觸沒有很好建立，零件相互作用，可能導致一個零件直接“穿越”另一個零件，引起剛體運動。

綁定接觸行為通過建立一個足夠大Pinball半徑允許忽略接觸和目標面間任何間隙。但是對于摩擦或無摩擦接觸，初始縫隙無法被自動忽略，這是因為它有可能代表幾何信息（相互接觸或脫離接觸）。

界面處理設置Interface Treatment可以內部偏移接觸面到一指定的位置，如圖20所示。 通過Adjusted to Touch或Add Offset選項，能夠把模型調整到合適位置而不需要修改幾何。

① Adjusted to Touch

ANSYS Mechanical能夠決定需要多大的接觸偏移量來閉合縫隙建立初始接觸，這需要保證Pinball半徑大于最小的縫隙尺寸。

② Add Offset

能夠自定義來指定允許接觸面偏移的正負距離。

(1)正值關閉縫隙。
(2)負值打開縫隙。

Add Offset有兩個選項：

(1)Add Offset, Ramped Effects：一個載荷步分割為幾個子步逐步施加，難于收斂的干涉問題建議使用。

(2)Add Offset, No Ramping：一個子步一次完成載荷施加。

2、接觸幾何修正（Contact Geometry Correction）

接觸幾何修正選項包括Bolt Thread和Smoothing兩項，僅對Contact Geometry Correction -Bolt Thread進行說明。

Bolt Thread能夠利用簡化圓柱模擬螺栓連接，一般設置過程包括：

① 創建接觸關系，如圖21所示。

② 接觸幾何修正：定義Orientation方向，如圖21本例中采用Revolute Axis建立坐標系需要設置起始點Starting Point和終止點Ending Point。

③ 建立起始點和終止點坐標系，如圖22所示。

④ 定義螺栓螺紋基本參數，例如平均螺紋直徑Mean Pitch Diameter，螺距Pitch Diameter，牙型角Thread Angle，單、多線螺紋Thread Type以及左右手定則Handedness等。

圖21 接觸關系設置 

圖22 創建局部坐標系

圖23 接觸結果 

（十一）接觸工具

Connections下能夠建立接觸Contact Tool工具，用于加載前驗證初始信息(狀態, 間隙, 滲透, pinball等)，具體建立流程如圖24所示。其主要用于獲得接觸相關結果數據。

圖24 接觸Contact Tool工具

（十二）自接觸設置

對于橡膠等大變形特性分析的結構，經常出現自接觸問題，需要進行考慮，ANSYS Mechanical進行自接觸設置極為簡單，僅需對自接觸的接觸區域重復兩次即可，如圖25所示，一些自接觸密封件擠壓結果如圖26所示。

圖25 自接觸定義

圖26 自接觸密封分析 

（十三）單元死生與接觸過程控制

單元死生技術與接觸過程控制技術能夠對接觸過程中特定內容進行在特定子步的殺死和激活，如圖27所示。

 圖27 單元死生與接觸控制 

（十四）自適應網格控制

ANSYS Mechanical具有很好的自適應網格控制能力，通過自適應網格劃分技術能夠解決非線性分析問題中單元畸形的問題，但是目前還不能在ANSYS Mechanical中考慮接觸的自適應網格劃分，需要借助于MAPDL完成。

自適應網格劃分首先需要打開如下選項：

① Large Deflection=On
② Store Results At= All Time Points

定義Manual能夠定義起始時間和結束時間，能夠定義多組Nonlinear Adaptive Region，對不同時間內劃分方法進行相應控制。

另外通過Analysis Settings”獲得“Nonlinear Adaptivity Remeshing Controls”策略定義。

圖28 Time Range

圖29 Nonlinear Adaptivity Remeshing Controls 

圖30 求解信息中網格重劃

圖31 網格重劃

四、寫在文后

本文依據ANSYS Documentation-ANSYS Mechanical User's Guide中部分章節內容以及其他相關技術文檔進行整理編寫，給出部分求解收斂、接觸設置最基礎的說明，以期許對于初學者有一定的幫助作用。另外本文無意于去比較其他軟件中對于非線性計算的能力，僅僅作為一種普及ANSYS Mechanical部分知識使用。

作者介紹

付穌昇，男，安世中德結構仿真咨詢專家，中國機械工程學會機械工程師（認證），仿真秀科普作者，目前主要從事大型機械結構的強度、疲勞、復合材料、動力學以及優化等有限元計算工作，編著出版《ANSYS Workbench17.0數值模擬與實例精解》一書。