基于SiPESC的通用非線性曲殼單元研究
來(lái)源： SiPESC
通用曲殼單元
薄殼承載能力強(qiáng)，廣泛應(yīng)用于重量要求嚴(yán)格的工程結(jié)構(gòu)中（如機(jī)翼蒙皮等）。屈曲和失穩(wěn)是其主要失效模式，可通過(guò)加筋增強(qiáng)結(jié)構(gòu)的抗屈曲能力。薄殼在彈性范圍內(nèi)也會(huì)失穩(wěn)，分析時(shí)需要考慮幾何非線性的影響。使用梁、殼單元對(duì)于這類(lèi)結(jié)構(gòu)進(jìn)行建模，能夠有效降低有限元分析的求解規(guī)模。
一種6自由度曲殼單元
4節(jié)點(diǎn)殼單元計(jì)算高效，在有限元分析中廣泛應(yīng)用。但是低階插值造成4節(jié)點(diǎn)單元會(huì)產(chǎn)生一系列的數(shù)值問(wèn)題。同時(shí)通用殼單元還需具備和梁?jiǎn)卧黄鸱治鼋M合結(jié)構(gòu)的能力。研發(fā)了具有以下特點(diǎn)的單元：
1.使用應(yīng)力合成，不需要沿著厚度積分，適合大規(guī)模計(jì)算。
2.包含面內(nèi)旋轉(zhuǎn)（每個(gè)節(jié)點(diǎn)具有6個(gè)自由度）；能夠和梁?jiǎn)卧ㄟ^(guò)共用節(jié)點(diǎn)實(shí)現(xiàn)自然連接，并正確傳遞彎矩。
3.非協(xié)調(diào)元技術(shù)處理膜鎖定
4.假設(shè)自然應(yīng)變方法克服剪切鎖定
膜鎖定
鎖定的幾何解釋
雙線性插值使得四節(jié)點(diǎn)單元的位移在邊界上呈線性分布。純彎曲條件下，積分點(diǎn)會(huì)產(chǎn)生虛假剪應(yīng)力，這導(dǎo)致單元在數(shù)值上十分剛硬。
純彎曲時(shí)，單元中心不會(huì)產(chǎn)生虛假剪應(yīng)變，因此減縮積分可以改善鎖定現(xiàn)象（可能會(huì)引入零能模式）。提高插值階次也能有效改善膜鎖定，如：增強(qiáng)假設(shè)應(yīng)變，應(yīng)力雜交元方法、非協(xié)調(diào)位移模式。
增強(qiáng)假設(shè)應(yīng)變方法
增強(qiáng)假設(shè)應(yīng)變方法首先將應(yīng)變分解為協(xié)調(diào)部分和非協(xié)調(diào)部分：
非協(xié)調(diào)應(yīng)變用于改善單元插值，不滿足單元間連續(xù)性條件。
為了構(gòu)造收斂的有限單元，非協(xié)調(diào)應(yīng)變插值必須滿足三個(gè)條件：
條件1：為了避免零能模式，協(xié)調(diào)應(yīng)變與非協(xié)調(diào)應(yīng)變需要線性無(wú)關(guān)。
條件2：非協(xié)調(diào)應(yīng)變至少和常應(yīng)力狀態(tài)正交
應(yīng)變能中不能包含非協(xié)調(diào)應(yīng)變的貢獻(xiàn)：
這一條件在離散后很難精確滿足，可將其放松為非協(xié)調(diào)應(yīng)變與常應(yīng)力狀態(tài)正交。即隨著問(wèn)題趨近于連續(xù)，非協(xié)調(diào)應(yīng)變對(duì)于應(yīng)變能的貢獻(xiàn)消失。
滿足上式的一種可能的非協(xié)調(diào)位移插值模式可以表示為：
利用上式可以構(gòu)造出新單元，不再贅述。
條件3：構(gòu)造的新單元需要通過(guò)拼片實(shí)驗(yàn)。
不同方法對(duì)于膜鎖定的改善
將增強(qiáng)假設(shè)應(yīng)變方法、應(yīng)力雜交元、非協(xié)調(diào)元技術(shù)運(yùn)用到普通4節(jié)點(diǎn)單元上，發(fā)現(xiàn)不同的單元技術(shù)均可有效改善單元的性態(tài)。
剪切鎖定
假設(shè)自然應(yīng)變方法（ANS）被廣泛用于克服低階單元的剪切鎖定。ANS方法使用單元邊中點(diǎn)的橫向剪切應(yīng)變對(duì)于積分點(diǎn)切應(yīng)變進(jìn)行獨(dú)立插值。
假設(shè)應(yīng)變點(diǎn)位置如圖所示。
積分點(diǎn)的切應(yīng)變可以表示為：
殼的轉(zhuǎn)動(dòng)描述
如圖所示，無(wú)限小增量轉(zhuǎn)動(dòng)與有限轉(zhuǎn)動(dòng)之間存在映射關(guān)系，使用正交旋轉(zhuǎn)張量可以描述任意大小的三維有限轉(zhuǎn)動(dòng)。
5自由度殼
為克服殼理論缺乏面內(nèi)旋轉(zhuǎn)剛度造成的奇異性，將增量轉(zhuǎn)動(dòng)在節(jié)點(diǎn)處的局部Cartesian坐標(biāo)系下表達(dá)：
只有兩個(gè)自由度進(jìn)入總剛，得到一種無(wú)面內(nèi)旋轉(zhuǎn)自由度的（drill free）殼。這種單元的優(yōu)勢(shì)在于實(shí)現(xiàn)簡(jiǎn)單。
一種6自由殼（包含面內(nèi)旋轉(zhuǎn)自由度）
將Boit應(yīng)力的反對(duì)稱部分與面內(nèi)旋轉(zhuǎn)聯(lián)系起來(lái)，從而提供面內(nèi)旋轉(zhuǎn)剛度：
將這一約束條件引入變分原理，可構(gòu)造出一種6自由度的殼單元。這種單元的優(yōu)勢(shì)在于：
1：和SiPESC已有的幾何精確梁?jiǎn)卧?/a>的轉(zhuǎn)動(dòng)描述完全相同，實(shí)現(xiàn)了和梁?jiǎn)卧淖匀贿B接
2：能夠方便地模擬非光滑殼邊界
6自由度殼單元數(shù)值算例
純彎曲變形
測(cè)試單元對(duì)三維有限轉(zhuǎn)動(dòng)的描述能力。
Cook膜問(wèn)題
測(cè)試非協(xié)調(diào)插值對(duì)于膜鎖定的改善及解的收斂性。模型如圖所示；其一條底邊固定，另外一條底邊受到分布力作用。彈性模量E=1.0，泊松比μ=0.33，殼的厚度h=1。
結(jié)構(gòu)變形結(jié)果：
隨著網(wǎng)格加密，單元計(jì)算結(jié)果收斂到精確解：
膜彎曲問(wèn)題
進(jìn)一步測(cè)試膜性能，同時(shí)測(cè)試單元對(duì)面內(nèi)彎矩的處理能力。長(zhǎng)方形板的一端固定，另一端受到面內(nèi)彎矩作用。
懸臂板端部受壓
測(cè)試單元對(duì)于剪切鎖定的改善。懸臂板（長(zhǎng)L=10、寬b=1、厚度h=0.01；長(zhǎng)厚壁1000）一端固定，另一端受到豎直向下、大小為F=5×10^4×h^3的載荷作用。材料屬性為E=10^7；μ=0.4。
結(jié)構(gòu)變形：
單元計(jì)算結(jié)果和ANSYS shell181 （打開(kāi)非協(xié)調(diào)模式）對(duì)比：
18度開(kāi)孔球殼
測(cè)試曲殼單元對(duì)大轉(zhuǎn)動(dòng)、剛體位移的描述能力。殼單元徑向受到一組方向朝內(nèi)，另一組方向朝外的外載荷作用。球殼半徑R=10，厚度h=0.04。材料常數(shù)：彈性模量6.285*10e7,泊松比0.3。
結(jié)構(gòu)變形如圖所示：
載荷作用節(jié)點(diǎn)的載荷位移曲線：
鉸支柱殼后屈曲
利用弧長(zhǎng)法對(duì)于柱殼的后屈曲行為進(jìn)行測(cè)試。模型幾何及結(jié)構(gòu)尺寸如下圖所示：
薄殼的結(jié)構(gòu)變形為：
兩種厚度計(jì)算得到的載荷位移曲線均與ANSYS一致：
槽型梁后屈曲分析
測(cè)試殼單元對(duì)非光滑殼結(jié)構(gòu)的分析能力。包含了面內(nèi)旋轉(zhuǎn)自由度的曲殼單元可以直接對(duì)非光滑殼結(jié)構(gòu)建模。
結(jié)構(gòu)變形：
載荷位移曲線：
1.隨著網(wǎng)格加密，SiPESC和ANSYS的結(jié)果均收斂到真實(shí)屈曲載荷值。
2.網(wǎng)格較梳時(shí)，SiPESC計(jì)算的屈曲載荷偏高。
3.曲線ANSYS meshSize=1的屈曲載荷小于精確解，可能是因?yàn)闇p縮積分產(chǎn)生了零能模式
梁、殼組合懸臂板純彎曲
測(cè)試單元進(jìn)行梁、殼組合結(jié)構(gòu)分析的能力。梁、殼組合結(jié)構(gòu)在工程結(jié)構(gòu)中大量出現(xiàn)，使用殼單元和梁?jiǎn)卧獙?duì)懸臂梁建模，計(jì)算結(jié)構(gòu)的純彎曲變形
加筋柱殼
對(duì)鉸支柱殼的自由邊加筋，進(jìn)一步測(cè)試對(duì)梁、殼組合結(jié)構(gòu)的分析能力。
筋條尺寸為：h=25.4mm,b=12.7mm。使用梁?jiǎn)卧M筋條。加筋后結(jié)構(gòu)的抗屈曲能力明顯增強(qiáng)。
加筋后，結(jié)構(gòu)的變形為：
特別鳴謝
感謝SiPESC軟件所董凱駿、王歡在非線性曲殼單元方面所做的研究工作。
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