作者： 葉漢玉

眾所周知，拉伐爾噴管是一種先收縮、后擴張的管道（圖1），作用是產生超聲速氣流。當拉伐爾噴管的反壓與入口總壓的比值p_b/p*小于一個臨界值的時候，噴管喉部的流動馬赫數(shù)達到1，噴管達到壅塞（choked）狀態(tài)。此時，在保持入口總壓不變的條件下，再降低反壓也不會使流量繼續(xù)增加了。

圖1 拉伐爾噴管

但是，這個臨界值（下面稱為壅塞壓力比）究竟是多少呢？相關的資料上并沒有一致的說法。在流體力學教科書中，通常采用一維流動的模型來分析，認為壅塞壓力比就是拉伐爾噴管處于臨界流動狀態(tài)的時候，出口截面壓力和入口總壓的比值。這個臨界流動狀態(tài)如圖2所示，噴管收縮段為亞聲速流動，喉部流動馬赫數(shù)恰好等于1，氣流在噴管擴張段又減速為亞聲速流動。另外，認為氣流在整個流動過程中都是等熵的。

 

圖2  拉伐爾噴管的臨界流動狀態(tài)（一維流動模型）

根據(jù)這種模型推導出的壅塞壓力比是

式中的k是氣體的比熱比。λ是臨界流動狀態(tài)時，噴管出口截面的速度因數(shù)，它是通過下面的非線性方程解出的

其中A_t是噴管喉部面積，A_e是噴管出口面積。

有些資料則直接認為拉伐爾噴管的壅塞壓力比就是臨界壓力比

這兩種方法算出的壅塞壓力比相差甚遠。例如，假設工質為空氣（比熱比k=1.4），噴管面積比A_e/A_t=4，則根據(jù)公式（1）算出的壅塞壓力比是0.98，而根據(jù)公式（2）算出的壅塞壓力比為0.53。

究竟哪個是對的呢？

公式（2）其實是收縮噴管的壅塞壓力比計算公式。收縮噴管由于沒有擴張段，所以最小截面就是出口截面，所以，如果在保持入口總壓不變的條件下逐漸降低反壓，那么當剛好達到壅塞的時候，出口截面的流動馬赫數(shù)等于1，且出口截面的壓力和反壓相等。由于收縮噴管的總壓損失很小，所以流動是很接近于等熵的，因此，這時候出口截面壓力與入口總壓的比值可以按照等熵流動氣動函數(shù)來計算，其結果就是公式（2）。所以，收縮噴管的壅塞壓力比可以用公式（2）計算。

但是，公式（2）其實并不適用于拉伐爾噴管。這是因為，拉伐爾噴管是有擴張段的，它剛好達到壅塞狀態(tài)的時候，喉部截面的流動馬赫數(shù)是1（而喉部壓力就是公式（2）算出的數(shù)值），這時，氣流在噴管擴張段中流動的時候，由于通道截面面積逐漸擴大，而且氣流為亞聲速流動，所以壓力會有所增加，所以出口截面的壓力要比喉部高。又因為這時出口截面是亞聲速流動，所以出口截面的壓力與反壓相等。因此，拉伐爾噴管的壅塞壓力比要高于公式（2）算出的數(shù)值。

其實，上面提到的公式（1）就考慮了氣流在拉伐爾噴管擴張段流動時的壓力增量，因為該式中的λ是定義在噴管出口處的。但是，公式（1）仍然是有問題的。問題就在于，推導公式（1）的時候假定氣體在拉伐爾噴管擴張段流動的時候是等熵的，這并不符合實際。實際上，噴管擴張段中的總壓損失比較大，不能按照等熵流動模型來計算。（漸擴管道的總壓損失比漸縮管道大很多，見[3]。特別是當噴管擴張角較大的時候，往往出現(xiàn)流動分離，造成很大的總壓損失。）因此，公式（1）總是高估了氣流在拉伐爾噴管擴張段流動時的壓力增量。所以，拉伐爾噴管的壅塞壓力比要低于公式（1）算出的數(shù)值。

總而言之，拉伐爾噴管的實際壅塞壓力比一般介于公式（1）和公式（2）算出的數(shù)值之間。具體數(shù)值與噴管擴張段的擴張角有很大關系。擴張角較小的時候，擴張段流動不分離，總壓損失小一些，壅塞壓力比就會大一些；擴張角較大的時候，擴張段流動發(fā)生分離，總壓損失大，壅塞壓力比就小一些。

為了給讀者一個更直觀的理解，這里用計算流體力學軟件模擬了兩個不同擴張角的拉伐爾噴管的壅塞過程。兩個噴管的擴張角度分別為11°和30°，噴管面積比都是4，喉部直徑都是30mm，入口總壓都是5MPa，總溫都是1000K，工質都是空氣（如圖3、圖4所示）。計算結果如圖5、圖6所示?？梢钥闯?1°噴管的壅塞壓力比大約為0.9，而30°噴管的壅塞壓力比大約是0.66。(回顧上面公式（1）算出的壓力比是0.98，公式（2)算出的壓力比是0.53，可見實際的壅塞壓力比在公式（1）和公式（2）之間。)

圖5  11°噴管流量與壓力比的關系。p_b為反壓，p*為噴管入口總壓。

圖6  30°噴管流量與壓力比的關系。p_b為反壓，p*為噴管入口總壓。

圖7和圖8是兩種噴管壅塞發(fā)生的過程。圖中畫出了馬赫數(shù)分布云圖以及流線圖?？梢钥闯觯?1°噴管由于擴張角較小，噴管擴張段的流動分離不明顯；而30°噴管則在擴張段有明顯的流動分離。

圖7  11°噴管的壅塞過程。

圖8  30°噴管的壅塞過程。

工程上使用的拉伐爾噴管一般都是工作在壅塞的狀態(tài)。因此設計的時候一般根據(jù)反壓和入口總壓的比值選用合適的擴張角度。例如，對于火箭發(fā)動機的噴管來說，由于反壓（環(huán)境壓力）遠遠低于入口總壓（燃燒室壓力），因此反壓與入口總壓的比值很小，所以可以采用較大的擴張角。一般來說，采用錐形擴張段的火箭發(fā)動機噴管，其擴張角在24°~36°之間（文獻[4]）。類似的場合還有航空發(fā)動機的超聲速尾噴管（文獻[5]）等（注1）。但是，對于氣體管路中用作流量控制元件的的音速噴嘴，一般來說希望其壓降小一些，所以其反壓和入口總壓的比值較大，因此應采用較小的擴張角（例如，8°），否則在額定工作狀態(tài)下不能達到壅塞狀態(tài)。

感謝上海交通大學的研究生衣然、墨爾本大學的研究生劉麗媛閱讀了本文初稿并提出了很好的修改意見。