來源：漫步力學微信公眾號（ID：Walking-mechanics），作者：高天 天津大學。

從牛頓力學創(chuàng)立時起，人們就堅信：對一個確定性動力系統(tǒng)施加確定性的輸入，則該系統(tǒng)的輸出一定是確定的。對于線性系統(tǒng)，這一結論是正確的，但對于非線性系統(tǒng)，則可能出現(xiàn)一種無法精確重復、貌似隨機的運動，人們稱之為混沌。混沌運動，是確定性非線性動力系統(tǒng)所特有的復雜運動狀態(tài)。

通常，確定性動力系統(tǒng)有三種定常狀態(tài)，即平衡態(tài)、周期運動和準周期運動。混沌運動不同于上述三種運動，它是一種不穩(wěn)定的有限定常運動，局限于有限區(qū)域但軌道永不重復。通常混沌運動的研究方法可分為：定性和定量兩大類。

一、定性分析方法

• 直接觀測法：以根據動力學系統(tǒng)的數(shù)值計算結果，畫出系統(tǒng)的相軌跡和時間歷程圖，通過對比、分析和綜合以確定解的分叉與混沌現(xiàn)象。

• 分頻采樣法：對于受迫振動，通常觀測系統(tǒng)運動時，選取采樣周期為外控力周期，當采樣結果為一點時，系統(tǒng)作周期運動，當采樣結果是n個離散點時，運動周期是外控力周期的n倍，當采樣結果是無窮多離散點時，運動可能是混沌的。

• 龐加萊截面法：對于含多個狀態(tài)變量的自治微分方程，可以在多維相空間中適當選取一固定截面，觀測運動軌跡與此固定截面的節(jié)點個數(shù)。當龐加萊截面只有一個不動點或少數(shù)離散點時，運動是周期的；當龐加萊截面上是一閉曲線，運動是準周期的；當龐加萊截面上是成片的密集點且有層次結構時，運動是混沌的。

二、定量分析方法

• 李雅普諾夫指數(shù)分析法：對于一個耗散系統(tǒng)的混沌運動，它存在著兩個相反的過程，一方面耗散作用要使軌道收縮，另一方面軌道又要相互分離。收縮是方程本身決定的（存在耗散項），它是對相空間整體來說的，其作用是使遠處的軌道趨向收縮至有限的范圍內（吸引子）；發(fā)散是局部性質的，它使靠近的軌道相互排斥，這樣，所有的軌道最終集中于相空間的有限范圍內，既相互靠攏又相互排斥，形成復雜的混沌態(tài)。李雅普諾夫指數(shù)就是表示在多次迭代過程中，平均每次迭代所引起的相鄰離散點之間分離或靠近速度。因此，對于多維情況，當最大李雅普諾夫指數(shù)小于0時，沒有產生混沌；而當最大李雅普諾夫指數(shù)大于0時，運動是混沌的。

• 自功率譜密度分析法：根據傅里葉分析，當系統(tǒng)運動是周期時，其功率譜只在運動的基頻及其倍頻處出現(xiàn)尖峰；準周期對應的功率譜在幾個不可約的基頻以及他們疊加所在頻率處出現(xiàn)尖峰；混沌運動的特征在功率譜中表現(xiàn)為出現(xiàn)寬峰的連續(xù)譜。根據功率譜可以很容易地辨識運動的特征是周期的、準周期還是混沌的。

參考文獻：

張琪昌. 分叉與混沌理論及應用[M]. 天津大學出版社.