高還原度的齒輪幾何模型，對(duì)于執(zhí)行耦合了其他物理現(xiàn)象的多體動(dòng)力學(xué)仿真而言幫助巨大。考慮到這一點(diǎn)，COMSOL 在“零件庫”中提供了很多內(nèi)置零件，幫助用戶免去手動(dòng)創(chuàng)建幾何體的麻煩。有了這些高度參數(shù)化的齒輪零件，創(chuàng)建多種多樣的平行軸線齒輪和行星齒輪系變得更加得心應(yīng)手。請(qǐng)閱讀本文了解如何使用不同類型的內(nèi)置零件創(chuàng)建一個(gè)“多體動(dòng)力學(xué)模塊”中高還原度的齒輪模型。

內(nèi)置齒輪零件的優(yōu)勢(shì)

雖然從理論上講，我們能夠在仿真中通過精確模擬齒輪間的接觸相互作用，對(duì)機(jī)械裝置進(jìn)行分析。然而，若將此方法應(yīng)用于多體動(dòng)力學(xué)分析，計(jì)算時(shí)間會(huì)相當(dāng)長。一個(gè)更好的方法是引入數(shù)學(xué)公式來模擬齒輪之間的接觸和相互作用。

借助相應(yīng)的公式，我們能創(chuàng)建出高還原度的齒輪幾何模型，為執(zhí)行瞬態(tài)和頻域研究提供精確的慣性屬性。除此之外，“零件庫”中的齒輪幾何也可用于計(jì)算靜態(tài)接觸分析中齒輪的嚙合剛度，并且適用于多物理場(chǎng)的耦合模擬。需要注意的是，雖然并未對(duì)齒輪的嚙合剛度進(jìn)行有限元分析，但是這種剛度仍然客觀存在于成對(duì)的齒輪齒接觸中。在多體動(dòng)力學(xué)分析中加入真實(shí)齒輪幾何的另一個(gè)好處是：在建立物理場(chǎng)或執(zhí)行后處理時(shí)，可以展示出更好的視覺效果。

使用“零件庫”創(chuàng)建斜齒輪副幾何模型。

雖然可以手動(dòng)建立幾何體，但使用內(nèi)置零件會(huì)讓工作變得更加簡單、高效。這些零件本質(zhì)上是參數(shù)化的，這意味著只需簡單地調(diào)整幾何參數(shù)，就可以改變零件的形狀，包括自由添加軸和圓角等多個(gè)特征。這些零件經(jīng)歷了大量檢驗(yàn)，驗(yàn)證輸入數(shù)據(jù)以及齒輪、軸和接觸邊界等選擇的有效性，這些檢驗(yàn)步驟確保了零件的性能更加接近物理實(shí)體。在“零件庫”的幫助下，指定齒輪的位置和方向、使齒輪嚙合與配對(duì)的齒輪對(duì)齊等操作變得非常簡單。這些零件還包含魯棒性幾何操作，在創(chuàng)建復(fù)雜的齒輪幾何形狀時(shí)十分好用；此外，我們還可手動(dòng)更改零件的幾何操作。

“零件庫”中齒輪零件分為三類：外部嚙合齒輪，內(nèi)部嚙合齒輪與齒條。如您希望了解“零件庫”中有關(guān)齒輪零件的更多信息，請(qǐng)閱讀齒輪模擬系列的博客文章。

基于單個(gè)齒輪構(gòu)建齒輪系

“零件庫”中的齒輪基本上都是單個(gè)齒輪或齒條，但在真實(shí)的應(yīng)用條件下，齒輪一般都是成對(duì)使用。為此，我們要用單個(gè)的齒輪零件來構(gòu)建齒輪系。為了清晰地解釋構(gòu)建步驟，我們將使用以下二維直齒輪副作為示例。已知的物理量如下：

• 第一個(gè)齒輪的位置（x? , y?）

• 第一個(gè)齒輪的節(jié)圓半徑（r?）

• 第二個(gè)齒輪的節(jié)圓半徑（r?）

• 第二個(gè)齒輪的角位置（θ）

直齒輪副示意圖，圖中顯示了兩個(gè)齒輪的中心距和第二個(gè)齒輪的角位置。

為了將第二個(gè)齒輪設(shè)置在適當(dāng)?shù)奈恢茫紫刃枰?jì)算中心距 d：

d = r? + r?

將第二個(gè)齒輪的位置（x? , y?）定義為：

x? = x? + dcosθ

y? = y? + dsinθ

將第二個(gè)齒輪放置在正確的位置上后，下一步是對(duì)準(zhǔn)兩個(gè)齒輪的輪齒，在此示例中則稱為嚙合。具體方法是，將第二個(gè)齒輪在旋轉(zhuǎn)中的嚙合對(duì)齊角 θa 定義為：

其中 θm1 和 θm2 分別表示兩個(gè)齒輪的嚙合周期，其表達(dá)式為：

其中 n? 和 n? 分別表示第一個(gè)和第二個(gè)齒輪的齒數(shù)。

計(jì)算完第二個(gè)齒輪的位置以及嚙合對(duì)齊角后，我們將它們作為表達(dá)式或數(shù)字添加到第二個(gè)齒輪的輸入?yún)?shù)欄中，如下圖所示：

二維直齒輪零件的輸入?yún)?shù)，紅框內(nèi)的參數(shù)為齒輪中心和嚙合對(duì)齊角。

設(shè)立齒輪參數(shù)

在此示例中，我們使用漸開線曲線來定義齒廓。每一種齒輪應(yīng)用都有其獨(dú)特的齒形和尺寸，因此對(duì)于不同的應(yīng)用，須選擇相應(yīng)類型的齒輪齒。以下輸入?yún)?shù)可用于控制齒輪齒的形狀和尺寸：

• 齒數(shù)（n）

• 分度圓直徑（dp）

• 壓力角（α）

• 螺旋角（β）

• 齒頂高與模數(shù)比（adr）

• 齒高度與齒頂高比（htr）

• 齒隙與分度圓直徑比（blr）

• 齒頂圓角半徑與分度圓直徑比（tfr）

• 齒根圓角半徑與分度圓直徑比（rfr）

若這些位置上不需要圓角，那么可以將齒頂圓角半徑或齒根圓角半徑設(shè)為零。

控制外部輪齒的各個(gè)輸入?yún)?shù)。

大部分輸入?yún)?shù)之間存在一定的物理關(guān)系，通過搭配使用這些參數(shù)能使幾何結(jié)構(gòu)具有更好的擴(kuò)展性。我們可以利用這些輸入?yún)?shù)計(jì)算出多個(gè)齒廓參數(shù)：

• 法向模數(shù)：m = dp/n*cosβ
  

• 齒頂：ad = adr*m
  

• 齒高度：ht = htr*m
  

• 齒根高：dd = ht-ad

• 基圓直徑：db = dp*cosα
  

• 齒頂圓角半徑：tf = tfr*dp
  

• 齒根圓角半徑：rf = rfr*dp
  

• 節(jié)圓處的齒厚度：t = π*m/2-blr*dp
  

針對(duì)一些特殊的應(yīng)用，須采用相應(yīng)特定類型的齒輪齒。對(duì)于高速齒輪裝置而言，高壓角齒輪更為適合，因?yàn)槠淠p率小于標(biāo)準(zhǔn)齒輪齒廓的磨損率。同時(shí)高速齒輪裝置中還需專門留出齒隙，為輪齒之間的潤滑油膜留出空間，防止齒輪過熱和輪齒損壞；另一方面，在儀器、機(jī)床和機(jī)器人等精密設(shè)備中，應(yīng)當(dāng)避免出現(xiàn)齒隙，因?yàn)檫@些裝置中的齒隙會(huì)導(dǎo)致輸入軸和輸出軸之間出現(xiàn)空轉(zhuǎn)，從而難以實(shí)現(xiàn)準(zhǔn)確的定位。

具有不同壓力角和模數(shù)的齒輪。左圖：具有標(biāo)準(zhǔn)齒廓的齒輪。中圖：大壓力角齒輪。右圖：大模數(shù)齒輪。

齒輪毛坯和軸的幾何模型

探討完齒輪齒的細(xì)節(jié)后，我們來看一下影響齒輪形狀和尺寸的其他參數(shù)。齒輪的幾何結(jié)構(gòu)可分解為三個(gè)零件：齒輪齒，齒輪毛坯和軸。齒輪軸的相關(guān)參數(shù)如下：

• 齒輪寬度與分度圓直徑比（wgr）

• 環(huán)寬度與齒輪寬度比（wrr）

• 環(huán)外徑與齒根直徑比（dorr）

• 環(huán)內(nèi)徑與孔徑比（dirr）

雖然軸并非齒輪的組成部分，但我們可以用內(nèi)置齒輪零件在齒輪中心添加一個(gè)軸，齒輪的軸向位置可以與軸重疊。

• 軸長與分度圓直徑比（lsr）

• 軸中心的相對(duì)軸向位置（zs）

在默認(rèn)設(shè)置下，齒輪位于原點(diǎn)，其軸被設(shè)置為 z 軸，我們可以通過下列參數(shù)控制齒輪的位置和方向：

• 齒輪中心（{xc,yc,zc}）

• 齒輪軸（{egx,egy,egz}）

為了使齒輪嚙合與嚙合齒輪對(duì)齊，我們采用了嚙合對(duì)齊角參數(shù)，以使齒輪圍繞自己的軸線旋轉(zhuǎn)。

• 嚙合對(duì)齊角（th）

斜齒輪幾何結(jié)構(gòu)示意圖，圖中顯示了多個(gè)輸入?yún)?shù)。

上圖中的輸入?yún)?shù)和齒輪齒的輸入?yún)?shù)一樣也存在物理關(guān)系，我們可以利用這些輸入?yún)?shù)計(jì)算齒輪參數(shù)，它們包括：

• 齒輪寬度：wg = wgr*dp
  

• 齒環(huán)寬度：wr = wrr*wg

• 齒環(huán)外徑：dor = dorr*dr
  

• 齒環(huán)內(nèi)徑：dir = dirr*dh
  

• 軸長：ls = lsr*dp
  

在默認(rèn)設(shè)置中，齒輪幾何會(huì)應(yīng)用一組特征。其中一些特征是可選的，只要將對(duì)應(yīng)的輸入?yún)?shù)設(shè)為零，即可移除它們，建立如下圖所示的不包含軸、齒輪坯環(huán)、中心孔、齒尖圓角和齒根圓角的齒輪幾何模型。

按照從（A）到（F）的順序依次從直齒輪幾何模型中移除了相應(yīng)的可選特征。（A）默認(rèn)的幾何結(jié)構(gòu)；（B）移除了軸；（C）移除了齒輪坯環(huán)；（D）移除了中心孔；（E）移除了齒尖圓角；（F）移除了齒根圓角。

在所有內(nèi)置齒輪零件中，齒輪毛坯的形狀都是一樣的，不過我們可以通過移除齒輪材料在毛坯創(chuàng)建一個(gè)環(huán)。若想自行改造齒輪毛坯的形狀，我們需要手動(dòng)對(duì)內(nèi)置零件的幾何執(zhí)行多次操作。

帶自定義毛坯的齒輪。

齒輪零件庫中的選擇

內(nèi)置的齒輪零件提供了許多選擇，可以方便我們對(duì)物理場(chǎng)或后處理進(jìn)行設(shè)置。這些選擇除包含齒輪零件外，還有齒輪齒的邊界。通過應(yīng)用這些邊界，我們可以模擬兩個(gè)齒輪之間的接觸。

直齒輪的幾何模型。左圖突出顯示了除軸以外的齒輪結(jié)構(gòu)；右圖突出顯示了除齒輪齒邊界和軸以外的齒輪結(jié)構(gòu)。

檢驗(yàn)及驗(yàn)證輸入數(shù)據(jù)

軟件中的齒輪零件是高度參數(shù)化的，所以一定要進(jìn)行大量檢查來驗(yàn)證輸入數(shù)據(jù)。檢查的目的是確保輸入?yún)?shù)無論是獨(dú)立使用，還是與其他參數(shù)組合使用時(shí)均正確無誤。檢查步驟應(yīng)當(dāng)在構(gòu)建幾何前進(jìn)行。

當(dāng)一組輸入?yún)?shù)無效時(shí)，頁面將提示對(duì)應(yīng)的錯(cuò)誤消息。舉例來說，外齒輪的必要幾何檢查包括：

• 齒頂檢查：ad <= (dp-db)/2
  

• 齒根檢查：(2*dd/dp) <= 0.9
  

• 孔徑檢查：dh < (dp-2*dd)
  

接下來，讓我們了解一些基于內(nèi)置零件創(chuàng)建的齒輪幾何結(jié)構(gòu)的示例。

應(yīng)用案例：差動(dòng)輪系

第一個(gè)示例是汽車中的差速輪系機(jī)構(gòu)，輪系的左軸和右軸具有不同的旋轉(zhuǎn)速度。差速輪系在工作狀態(tài)下會(huì)用到五對(duì)錐齒輪（總共六對(duì)）。

差動(dòng)齒系機(jī)構(gòu)的幾何模型。

應(yīng)用案例：三級(jí)風(fēng)機(jī)齒輪箱

下面將介紹的示例是三級(jí)風(fēng)機(jī)齒輪箱。第一級(jí)是行星齒輪系，它包含三個(gè)行星齒輪、一個(gè)太陽齒輪和一個(gè)環(huán)形齒輪。第二級(jí)和第三級(jí)是相互平行的齒輪系，每個(gè)齒輪系都由一對(duì)齒輪組成。該齒輪箱在運(yùn)轉(zhuǎn)時(shí)會(huì)使用到八對(duì)（總共九對(duì)）斜齒輪。此類齒輪箱的典型齒輪比從 50 至 100 不等。

風(fēng)機(jī)齒輪箱的幾何模型及其頂視圖與前視圖。

結(jié)束語

齒輪是一類可以傳遞運(yùn)動(dòng)和動(dòng)力的機(jī)械元件，在汽車和風(fēng)力渦輪機(jī)等各式各樣的機(jī)械中均具有廣泛的應(yīng)用。借助 COMSOL Multiphysics 的新功能，我們可以高效地建立齒輪幾何模型。利用這些強(qiáng)大、高度參數(shù)化的內(nèi)置零件，可以自由地更改齒輪的形狀，從而設(shè)計(jì)出適合特定應(yīng)用的齒輪幾何模型。

來源：COMSOL