離子束和電子束

離子或電子“束”指的是動能幾乎相同、沿近似同一方向運動的粒子組成的集群。通常情況下，每個粒子的總動能比常溫下粒子的熱能大得多，因此粒子束擁有極佳的方向性。

首先我們來觀察帶電粒子束的二維圖像。我們用 z 軸正方向表示束流傳播方向（“軸向”），用 x 軸表示與傳播方向垂直的方向（“橫向”）。雖然一開始您或許會覺得這種表示方式十分奇怪，但是請記住，我們最終的討論目的是三維束流，到時候您就會發現用 x 和 y 軸表示兩個橫向方向將會帶來很大的方便。

如上文所述，束流的特點在于它是由大量運動方向和能量都近似相同的粒子組成的集群——然而這里的重點正是“近似”！現實中任何束流中的粒子都不可能具有完全相同的速度。事實上，與束流的釋放和傳播相關的數學問題基本上都涉及到了束流粒子位置和速度的微小變化。

我們可以借助“束包絡”來表征束流形狀，束包絡指的是束流粒子的最外層，它能讓我們了解束流的形狀。如果束流存在一個銳減——即束流粒子的數密度在確定的位置上驟降為零——那么束包絡或許只是一個曲線或包含所有粒子軌跡的表面。然而更常見的情況是，束流粒子的密度會在一個較大的距離內逐漸下降，因此束流終點和周圍的空白空間并沒有明確的界限。在這種情況下，束包絡可以被定義為包含絕大部分發射粒子數的曲線或表面，通常包含 95% 左右。若束流的包絡在傳播方向上會逐漸變小，則此束流為“會聚”束流；若包絡隨著束流的傳播而變大，則為“發散”束流。“束流腰部”指的是束流剛剛結束會聚并即將開始發散時的位置。我們將在下文中對此進行詳細介紹。

比較層束流和非層束流

下圖為一個簡單的二維電子束，并描繪了其中具有代表性的粒子軌跡，模型暫時忽略了空間電荷效應及外力。坐標軸上添加了標簽，以便指示軸向和橫向。我們將它看成一個理想的“帶狀電子束”——也就是說，電子束在面外（y）方向上無限延伸。這些線指示了束流電子的路徑，末端箭頭表示各自的速度。每條線上的顏色表示電子在 x 坐標軸（或者說“橫向位置”）上的變化，也稱為“橫向位移”。

請注意，我們選定原點是為了使 x 軸的起始端位于電子束的中心。同時將中心線或“標稱軌跡”上的某一點作為起點，這會讓橫向粒子位置的測量變得十分容易。橫向位置的變化率即“橫向速度” v_x。

從上圖和后文的圖片中我們可以看出，橫向位移和橫向速度相當夸張，十分容易觀察到。但實際上，與沿電子束軸線的位移和速度相比，它們往往顯得極其渺小。

由于具有下列屬性，上圖中的電子束被稱為“層束流”：

1. 橫向位置和速度之間存在一一對應的關系。在任意的橫向位置上，電子束粒子的路徑不會發生交叉。唯一的例外是會聚電子束，此類束流的全部粒子將交匯于同一點。

2. 橫向位置和速度的比例關系是呈線性的。

第二個屬性具有重要的意義，因為它保證了之后的過程不會被違背初始屬性。在下方圖示中，會聚電子束的橫向位置和速度之間為平方關系，而非線性關系。初始時（z = 0）粒子軌跡無相交，但在后來某一點上發生了交叉。在圖表中的任意一個交點上，一個橫向位置可能對應著多個橫向速度值，這與第一條屬性是相悖的。

如下圖所示，對于層流束而言，除非束流是會聚束流（所有軌跡相交于同一點），否則層束流的粒子永遠也不會發生碰撞。

在真實環境中，任意一個橫向位置都會存在具有橫向速度的粒子分布，并且粒子軌跡之間會不斷相互交叉，所以真實的粒子束均為“非層束流”，上文討論的層束流只是一種理想情況。下圖顯示了一種更貼近現實的非層束流的橫向速度分布情況。

接下來，為了更好地理解層束流和非層束流之間的差異，我們來觀察一下二者的“相空間分布”。相空間分布具有多種形式，不過在本文中，我們只需要將粒子作為二維空間中的分布的點來進行研究，其中兩條坐標軸分別表示橫向位置和速度。當然，我們也可以將位置和動量用作坐標軸，這樣做雖然會影響分布區域，但不會從根本上改變其形狀。借助“相圖”繪圖類型，我們可以很方便地在 COMSOL Multiphysics 中繪制上述的相空間分布狀況。

首先，讓我們觀察一下層束流的相圖。下圖顯示了時間 t = 0 時，一條釋放邊界上的分布情況。

正如我們所料，邊界上的點形成了一條穿過原點的直線。（請記住，按照定義，層束流中粒子的橫向位置和速度之間存在一種線性關系。）下圖為非層束流的相圖。

這些點不再位于同一條直線上，而是在以原點為中心的相空間中形成了一片邊界模糊不清的云。這些點看似分布隨機，位置并不存在任何明顯的位置關聯。為了更加清楚地了解相位空間分布，我們將此電子束的樣本量大幅擴充到了 1000 顆粒子。

現在，我們得到了一張更加清晰的圖像：粒子形成了一個相空間橢圓。橢圓中心的粒子最為密集，這說明與靠近束包絡邊緣的粒子相比，靠近電子束軸線的粒子速度分布范圍更廣。在束流物理中，這一類橢圓形的分布極其常見，不過在其他情況中，橢圓的比例和取向會發生變化，粒子具體位置也會相應地改變。與束包絡的描述一樣，相空間橢圓的數密度要么存在一個銳減，要么逐漸下降。在后一種情況中，我們可以對橢圓進行定義，使其包含特定比例的束流粒子，例如 95%。

在真實環境中，多數帶電粒子束為近軸，這意味著與縱向速度相比，橫向的速度分量非常小。在近軸極限處，我們可以使用粒子的橫向位置 x 和傾角 x’ = v_x / v_z 對其進行描述。之所以可以將后者看為角，是因為 sin(x’) ≈ x’ 受近軸條件限制。束流粒子的 x 和 x’ 值的分布即跡空間分布，包含該分布的橢圓便是跡空間橢圓。

相空間橢圓的演化過程

上圖中的橢圓關于 x 軸和 v_x 軸近似對稱。然而，這種情況不會一直持續下去；粒子束傳播時，即使沒有施加任何力，橢圓形狀也會改變，這只是因為沿兩條坐標軸的表達式是相互關聯的。根據定義 dx / dt = v_x，橫向速度值為正（v_x > 0）的粒子在相空間中向右移動（x 軸正方向）；同樣地，橫向速度值為負的粒子將向左移動。

若橢圓關于 x 軸和 v_x 軸鏡面對稱，我們便稱此橢圓為“直立”的。直立的相空間橢圓對應的是束流軌跡上的束流腰部。

束流發射度簡介

在束流物理場中，更為方便的做法是在跡空間（x-x’ 平面）中處理問題，而非在 x-v_x平面或 x-p_x 平面中。一部分原因在于，與橫向速度或動量相比，借助傾角 x’ 對束流形狀進行可視化能獲取更加實用的效果。跡空間橢圓（即位于 x-x’ 平面內且包含跡空間粒子的橢圓）的通式如下

其中，參數 γ、β 及 α 被稱為 Twiss 參數 或 Courant-Snyder 參數，它們都不是獨立的參數，而是共同構成了 Courant-Snyder 條件，

      (1)

物理量 也被稱為 Courant-Snyder 不變量。

參數 γ、β、α 及 ε 可用于描述跡空間橢圓的形狀、尺寸和取向，具體方式如下：

• 相對于方程（1）使用的其他參數而言，γ 是最常用的的參數，它用于描述束流的比例。ε 恒定不變，γ 增加時，束流占據的空間區域將隨之減小（x 值范圍縮小），與此同時速度分布隨之增大（x’ 值范圍擴大）。

• α 用于描述跡空間橢圓的傾斜度。在直立橢圓中，α 對應的是束流腰部，且 α = 0。若 α > 0，則為會聚束流；若 α < 0，則為發散束流。

• β 也被稱為振幅函數或電子感應加速函數，用于描述束流的比例。ε 恒定不變，β 增加時，束流占據的空間區域將隨之增大（x 值范圍擴大），與此同時速度分布隨之減小（x’ 值范圍縮小）。

• ε 用于描述跡空間橢圓的大小，又被稱為發射度。因為我們正在討論橫向位置和動量，所以將其稱為橫向發射度會更加形象具體。

雖然束流發射度能夠描述橢圓的大小，但對于發射度和橢圓面積之間的實際關系，存在多個不同的描述方式。其中一種方式是使用橢圓的長半軸長度和短半軸長度的乘積來表示發射度，此時 A = 4πε。下方圖表便使用了這一方式，同時還進一步演示了 Twiss 參數是如何影響橢圓的比例和取向的。

將上述的發射度乘以 4 是一種極其常見的做法，此時 A = πε。一些文獻中還會將發射度除以 π，使 A = ε，這一步驟通常并不會特別說明。綜上所述，在輸入或閱讀束流發射度記錄時，我們必須確保自己了解使用的是哪一種方式。

從統計學角度解釋發射度

到目前為止，我們已經確認了束流發射度的大小代表著被束流覆蓋的相空間面積。除了從幾何角度解釋之外，我們還可以從統計學角度進行解釋，即使用全部粒子的平均值來描述發射度。

均方根發射度（或 RMS 發射度）可以被定義為

      (2)

其中尖括號代表的是算術平均，即

在發射度的幾何定義中，人們往往將 RMS 發射度的表達式乘以 4

    (3)

在 COMSOL Multiphysics 中，為了明確定義發射度，我們采取了額外的預防措施：將方程（2）稱為 1-rms 發射度，并將方程（3）稱為 4-rms 發射度。如果跡空間橢圓的中心與 x-x’ 平面的原點重合，則方程（2）可以簡化為

其中，方程左側的項帶有下標，是為了更清楚地表明它是 1-rms 發射度。同樣地，Twiss 參數的統計定義可以寫成（再次使用了簡化假設 ）：

由 Twiss 參數的統計定義可以明確看出：當大部分粒子位于跡空間的第二象限和第四象限時，則 α 為正，這說明束流正在會聚。

從統計學角度解釋束流發射度還有一個好處：為了確定不規則相空間分布的面積，我們要圍繞它繪制一個橢圓，但橢圓會帶來一定的模糊性，而統計解釋可以消除這種模糊性。同時這種方法也有一個缺點，那就是如果不存在明顯的截斷距離，遠離束流中心的少量粒子會給發射度和 Twiss 參數出現明顯的偏差。有時，這些粒子被刻意排除在束流發射度的統計定義之外，例如高斯分布“尾巴”上的粒子。

有關束流發射度的討論

較小的束流發射度數值，通常與以下束流屬性有關：

• 束流尺寸較小（x 值范圍減小）

• 速度分布較窄（x’ 值范圍減小）

人們通常希望盡可能地降低束流發射度。然而，在大多數情況下，束流發射度要么為恒定不變，要么還會增加。目前已有多種技術可實現束流冷卻或者發射度降低，但本系列博客不會對束流冷卻技術進行深入的探討。

為什么我們要如此關注如何降低發射度的問題？排除其他原因不談，我們一定還記得粒子物理學的基礎研究極大地推動了粒子加速器的發展，尤其是在高能物理應用領域。為了讓粒子在極高的能量條件下發生碰撞，一定要保證兩束粒子相交，而不是讓粒子束與靜止目標相交。但是，對于兩條相交的束流，其碰撞截面遠小于一條束流與靜止目標相交時的碰撞截面。

出于上述原因，現代粒子加速器的技術目標便是使盡可能多的高能粒子進入一個狹窄空間，從而最大限度地提高碰撞概率。發射度較高意味著粒子擴散的區域面積較大或粒子速度的差異較大，后者會導致粒子占據較寬闊的區域。無論是哪個原因，都不利于提高交叉束流之間的碰撞頻率。

擴展到三維環境

到目前為止，我們探討了什么是粒子束、如何區分層束流和非層束流，以及非層束流的相空間分布是如何與橫向發射度的概念聯系在一起的。我們還了解到，真實的束流通常在相空間或跡空間中占據有限尺寸的區域，同時其發射度是一個品質因數，且通常在某種程度上與相空間的面積成正比。此外，我們還探討了束流發射度的兩種解釋方式：相空間區域內的幾何法和以束流粒子的平均值及其傾角進行表示的統計法。

本文僅對理想的二維帶狀電子束進行了討論。當擴展到三維時，我們需要考慮兩個正交橫向上的發射度。真實的束流在軸向上也有一定的速度分布，因此會產生縱向發射度。

在下一篇文章中，我們將首次對三維粒子束中的相空間分布進行研究，并學習如何從相空間分布取樣，以便對目前為止我們觀察到的相空間橢圓進行重現。

參考文獻

1. Humphries, Stanley. Charged Particle Beams. Courier Corporation, 2013.

2. Davidson, Ronald C., and Hong Qin. Physics of intense charged particle beams in high energy accelerators. Imperial college press, 2001.

來源：COMSOL