在這個《CFD基礎課程系列》里，針對剛剛開始，或者將要開始進行熱流體仿真的工程師，我們盡量通過通俗易懂的語言和直觀的現象來闡述CFD的概念。在第四章，作為熱的基礎，我們討論了溫度與熱，浮力的關系，自然對流和強制對流，熱的傳遞形態（包括導熱，熱對流，熱輻射）4個課題。在第五章里，我們將介紹熱流體仿真的基本思想方法和實用仿真流程。內容比較多，我們將分3次發布。這次的內容包括了熱流體的運動方程式，有限體積法的概念以及仿真區域選定的思想方法。

5.1基本方程及離散

流體的運動和熱的傳遞由微分方程來描述。如果討論基于不可壓縮流體的話，有以下方程：

• 納維-斯托克斯方程式（動量守恒方程式）

• 連續性方程

• 能量守恒方程
  

納維-斯托克斯方程和流體的連續性方程描述流體的運動，而能量守恒方程用來描述熱傳遞現象。它們是熱流體仿真的基礎，所以也被稱為基本方程。

如果用理論方法能夠求解基本方程的話，就可以馬上得到流體的流速，壓力以及溫度的分布。可惜的是除了一些簡單的問題，對于絕大部分的實際問題，無法得到方程式的理論解。

因此就有了利用計算機采用數值計算來求解熱流體基本方程的仿真方法。但是計算機仿真的問題是它不能應對連續值。

這個問題用計算器的例子就比較容易理解 比如，y = x + 1 的函數用計算器求解時 x = 1 時  y = 1 + 1 = 2 x = 2 時  y = 2 + 1 = 3 x = 3 時  y = 3 + 1 = 4 　　　　　　　: 　　　　　　　: 對應輸入的數字可以得到計算結果，但是對于連續函數原型得不到連續的解。因此需要使用離散的值來改寫，或者表述基礎方程式，這就是所謂的離散化。

圖5.1 離散化的例子

為了更好的理解離散化，我們再看看天氣的例子。天氣的變化也是連續的，計算機不能直接對應連續變化的天氣。

圖5.2 實際的天氣

用計算機考慮天氣問題時，需要首先決定參考地點，然后確定這個地點的天氣與周圍城市的關系。這個關系的求導就是離散化過程。比如，假設離散化的結果得到的函數關系是，某地點的天氣是周圍城市天氣的平均，那么北京的天氣是晴，上海的天氣是雨，就可以求得南京的天氣就是多云。

圖5.3 計算機對應天氣問題

 以上的例子用的是平均法，實際的熱流體仿真計算會采用更復雜的方法建立周圍的信息和關系。常用的離散化方法有幾種，其中具有代表性的方法有以下3種。

• 有限差分法（Finite Difference Method, FDM）※ 簡稱差分法

• 有限體積法（Finite Volume Method, FVM）

• 有限元法（Finite Element Method, FEM）

大多數商用熱流體仿真軟件采用有限體積法（有關有限體積法我們在下一節介紹）。雖然基本方程是微分方程式，但是空間周圍臨近點離散化后的關系可以用代數方程式（用四則運算表述的方程式）來描述。

利用熱流體仿真再現建筑物，車輛周圍風的流動以及室內溫度分布的現象時，首先需要把空間用被稱為單元的網格進行切割，再加上適當的邊界條件和初始條件，最后，通過求解離散化后的納維-斯托克斯方程式和流體的連續式得到流體的流速和壓力分布，通過求解能量方程得到溫度分布。

5.2有限體積法

有限體積法（Finite Volume Method, FVM）是基于分割后單元空間的流入量和流出量的差之間儲蓄的物理量進行求解的方法。

為了理解有限體積法的概念，我們探討往容器里注水狀態的例子（圖5.4）。假設我們需要計算在一定的時間段容器儲水量的變化，即注入量和流出量的差。如果知道目前容器的儲水量，即可以知道水位的變化。這個水位的變化與注入量和流出量的差相當。

圖5.4 有限體積法的思想方法

實際的仿真中，因為仿真對象有若干的網格（單元）空間，就如有若干個容器串聯在一起的狀態（圖5.5），某一個容器的流出量等于臨近容器的流入量。

圖5.5 若干網格（單元）空間的例子

以上的例子中， 容器1的流出量 = 容器2的流入量 容器2的流出量 = 容器3的流入量 : : 容器n-1的流出量 = 容器n的流入量

把握了有限體積法的形象概念后，我們再來看看具體的問題。在從能量守恒式求解溫度分布時，由熱傳導或者熱對流等流入的熱量和從網格空間流出的熱量之差（即在單元空間儲存下來的熱量），可以求得溫度的變化。

圖5.6 網格空間的熱量出入

仿真中，對每個網格空間進行這樣的熱量進與出的計算，最后可以得到整個仿真空間的溫度分布。

我們來看看圖5.7，左端高溫右端低溫，各個網格以低溫狀態為初始條件（最上面的圖）的例子。剛開始時由于溫差比較大，流入各空間的熱量比較多，由左向右溫度逐漸上升。經過一段時間后，如最下面的圖所示，各空間的熱量出入基本平衡，溫度不再變化，進入定常狀態。這相當于圖5.5，所有的容器的流入量與流出量處于平衡（水位不再變化）狀態。

圖5.7 熱的傳遞和溫度分布

關于流體流動的求解，有限體積法的基本思想是相同的。只是除了流入的運動量和流出的運動量以外，還要計算粘性和壓力引起的流速變化。

圖5.8 空間運動量的出入

 其中，因為壓力項在基本方程里不存在，需要用不同的方法求解。壓力的計算方法有幾種，一般采用假設壓力來計算流速。假設壓力在計算中不斷地被調整，直到流動的連續性得到滿足。

5.3仿真求解域

比如，大家想象一下飛行器周圍的氣體流動的仿真。飛行器周圍有天空，天空周圍有宇宙。如果追求無限真實的仿真結果，仿真區域就會變得無限大。

而計算機的能力是有限的。如圖5.9所示，在計算機仿真時需要從無限的空間中適當地切出一個空間區域作為計算范圍。這個被切除的空間被稱為仿真求解域。

圖5.9 仿真區域

仿真區域的邊界并不實際存在，而是為了減少計算時間和計算機硬件限制人為設置的“圍墻”。所以仿真區域的邊界需要與仿真對象物保持充分的距離，以保證界面對流體流動不會有大的影響。圖5.10是一個仿真區域取的不合理的例子。一部分流動會發生在仿真區域以外，圖中點線所示部分的流動將得不到計算，得到的結果與實際現象的差距就會很大。同時，也需要避免把仿真區域設置得過度寬廣而花費過長的計算時間，導致設計開發進程的拖延和人力物力的浪費。

圖5.10 仿真區域的設置

仿真區域應該取多大是一個不容易把握的難題。在設置仿真區域前合理預測流體流動的范圍就變得十分重要。

下次的發布，我們會討論網格劃分，邊界條件以及初始條件的思想方法以及設置方法。