對于一個單自由度系統（質量為m，彈性系數為k，阻尼比為ξ），我們常常會談到幾個關于振動的頻率：固有頻率、自由振蕩頻率和共振頻率。很多人認為這幾個頻率是一回事，其實這種認識是錯誤的。

固有頻率為ωn=√k/m，它只與系統的質量和彈性系數有關，與系統承受何種外部激勵無關，也與系統的阻尼無關。阻尼可以是內阻尼，也可以是外部造成的，因而不是系統的固有特性，所以固有頻率不考慮阻尼比。但這也引出了另一個概念就是臨界阻尼系數Cc=2√mk=2mωn。

自由振蕩頻率ωd 指的是當單自由度系統受到外部作用偏離平衡位置，當外部作用消失時，系統從初始位置向平衡位置運動的一種特性。注意這里“自由”就意味著系統所受到的外部激勵為零。此時，系統的運行形式可以根據阻尼比ξ=c/Cc分為三種情況：

• 對于無阻尼系統，即ξ=0，系統進行等幅振蕩，自由振蕩頻率ωd 等于其固有頻率ωn。

• 對于欠阻尼系統，即0<ξ<1，系統進行衰減振蕩，自由振蕩頻率ωd 近似但不等于其固有頻率ωn。當阻尼比很小時：

• 對于臨界阻尼ξ=1或過阻尼ξ>1，系統一般不會產生振蕩（取決于初始速度），因而談論自由振動頻率沒有意義。

當單自由度系統受到頻率為ω 的簡諧運動激勵時，系統的響應也是頻率為ω 的簡諧運動。

共振的定義是系統的響應與激勵之比在某個頻率上得到最大值，該頻率也就是所謂的共振頻率，所以共振頻率指的是系統進行受迫振動時外部激勵的頻率。實際上系統的響應一般又有三種表達方式，即位移、速度和加速度。這三個量的共振頻率并不相同。見表1。

表1 不同響應量的共振頻率

可以看出位移共振頻率比固有頻率略低，速度共振頻率等于固有頻率，加速度共振頻率比固有頻率稍高。一般來說進行振動試驗時主要關注的物理量是加速度，因而共振頻率一般指的是加速度共振頻率。當阻尼比ξ 很小時，可以認為共振頻率等于固有頻率。

綜上所述，固有頻率、自由振蕩頻率和共振頻率并不是一回事，盡管在工程為了簡化，認為這三個頻率在量值上相等，但其物理含義是不一樣的，希望大家能夠了解其中的區別。

來源：北航航空可靠性綜合重點實驗室公眾號（ID：wmlbuaa318），作者：吳颯。