在有限元分析中，通常得到以下形式的全局方程組

式中，P為結(jié)點(diǎn)載荷列陣。

對(duì)于接觸問題，約束不等式一般可表示為如下形式

罰函數(shù)法不增加問題的自由度，而且使求解方程的系數(shù)矩陣保持正定，所以得到了廣泛的應(yīng)用。罰函數(shù)法給出以下形式的求解方程：

其算法流程可概述如下：

拉氏乘子法是另外一種得到廣泛應(yīng)用的接觸算法。該方法能夠精確滿足接觸約束條件，但增加了額外的未知量，即拉格朗日乘子。拉氏乘子法給出的求解方程為

以下給出拉氏乘子法的簡要計(jì)算步驟：

增廣拉格朗日法通過對(duì)于罰函數(shù)形勢(shì)相組合的拉格朗日乘子的更新，獲得了罰函數(shù)法和拉氏乘子法之間的折中方式。該算法的求解方程形式為

該方法通常與Uszawa類型的循環(huán)迭代相結(jié)合使用，采用嵌套兩重循環(huán)，分別用于計(jì)算接觸和更新拉氏乘子。算法流程如下：

增廣拉格朗日法通過應(yīng)用下面二式來更新拉氏乘子和罰參數(shù)

連續(xù)二次規(guī)劃法采用牛頓型或者準(zhǔn)牛頓型方法來求解接觸問題的Kuhn-Tucher條件。該方法中，將與接觸問題等價(jià)的不等式約束最優(yōu)化問題

利用二次近似轉(zhuǎn)化為一系列二次規(guī)劃問題

式中，(ū,?)代表迭代求解過程的一個(gè)已知狀態(tài)，即本次迭代開始時(shí)的位移和拉氏乘子的初始值，Δu是位移的增量。

連續(xù)二次規(guī)劃法的基本流程如下：

對(duì)于摩擦情況，需要區(qū)分粘接和滑動(dòng)兩種狀態(tài)。粘結(jié)狀態(tài)相當(dāng)于切向位移約束，摩擦力即界面上的約束反力。與此相反，在滑動(dòng)狀態(tài)下，摩擦力需要根據(jù)界面上的切向滑移本構(gòu)關(guān)系確定。

罰函數(shù)法構(gòu)建的摩擦接觸問題的求解方程可表示如下，

其中，t_T(u)為摩擦力矢量。在tⁿ⁺¹時(shí)刻，粘結(jié)或滑動(dòng)狀態(tài)的摩擦力由下式給出

式中，a_T為相對(duì)滑動(dòng)速度的方向矢量。

根據(jù)以上列式，可以建立求解摩擦接觸問題的算法。對(duì)于總體求結(jié)果中的一個(gè)載荷增量步，罰函數(shù)法的算法流程可概括如下。

以上處理摩擦的流程也可用于拉氏乘子法接觸求解。拉氏乘子法一般僅用于處理法向接觸約束，對(duì)于切向摩擦，仍可使用式(2.54)描述的界面本構(gòu)關(guān)系來處理。

基于增廣拉格朗日法的Uszawa型算法，也可用于摩擦的處理。該種算法在切向也引入一個(gè)拉氏乘子。所形成的求解方程如下：

Uszawa型算法求解摩擦接觸問題的流程如下：

基于變分等式的接觸算法，如拉氏乘子法、罰函數(shù)法、直接約束法、增廣拉格朗日法等，這些變分等式算法首先假定接觸界面已知，然后設(shè)法在接觸面上施加等式約束，因此在計(jì)算中需要進(jìn)行接觸探測(cè)和判斷來確定接觸界面的具體范圍。而基于變分不等式的算法，如連續(xù)二次規(guī)劃法、內(nèi)點(diǎn)法等，則是建立在最優(yōu)化理論基礎(chǔ)上，將接觸問題描述為一個(gè)不等式約束最小化問題，然后采用優(yōu)化方法進(jìn)行求解。

目前拉氏乘子法、罰函數(shù)法和增廣拉格朗日法接觸算法已經(jīng)得到了廣泛的應(yīng)用，而基于最優(yōu)化理論的接觸算法在工程中應(yīng)用的較少。但是后者有可能在數(shù)值穩(wěn)定性和計(jì)算精度方面具有優(yōu)勢(shì)。

接觸的空間搜索和探測(cè)判斷是計(jì)算接觸力學(xué)中的關(guān)鍵問題。目前的空間搜索技術(shù)已經(jīng)可以使搜索時(shí)間減少到O(NlogN)量級(jí)。在接觸探測(cè)方面，也已經(jīng)發(fā)展了多種方法，但是在有限滑動(dòng)情況下，變形體之間的接觸探測(cè)難度很大，仍需要研究更加有效的技術(shù)。

為克服經(jīng)典庫倫摩擦定律的不連續(xù)性，可以對(duì)其規(guī)則化，從而得到更加光滑的摩擦本構(gòu)曲線。規(guī)則化的摩擦模型可以類比彈塑性本構(gòu)關(guān)系，建立相應(yīng)的屈服準(zhǔn)則和流動(dòng)法則，然后采用彈塑性理論中的返回映射方案來計(jì)算摩擦力。

原則上，各種有限單元都可用于接觸分析中，但實(shí)際計(jì)算中通常采用低階單元。因?yàn)楦唠A單元會(huì)導(dǎo)致等效結(jié)點(diǎn)接觸力在角結(jié)點(diǎn)和邊結(jié)點(diǎn)之間的振蕩，對(duì)于接觸狀態(tài)的校核和判斷極為不利。為此，一種改進(jìn)的辦法是采用變結(jié)點(diǎn)單元，例如在二維問題中改用在接觸面上不保留邊中結(jié)點(diǎn)的7結(jié)點(diǎn)單元。另一種替代方案就是采用4結(jié)點(diǎn)雙線性單元，該單元能夠描述較大的形狀變化，而且計(jì)算效率較高，故在實(shí)際分析中較多地采用。但是在積分方案上要注意防止機(jī)動(dòng)模式和剪切鎖死的發(fā)生，特別是對(duì)于板殼單元更應(yīng)注意。

雖然拉氏乘子法和直接約束法能夠完美的描述不可侵入條件，但對(duì)于汽車車身這種復(fù)雜的模型并不是非常合適。拉氏乘子法和直接約束法相當(dāng)于用主控表面的節(jié)點(diǎn)來約束從屬表面的節(jié)點(diǎn)，如果從屬表面的節(jié)點(diǎn)恰好也是某些剛性單元（例如Abaqus中的*KINEMATIC COUPLING、*COUPLING和*MPC以及Nastran中的RBE2和RBE3 ）的從節(jié)點(diǎn)，則相當(dāng)于該從節(jié)點(diǎn)同時(shí)被兩個(gè)主節(jié)點(diǎn)控制，導(dǎo)致求解器報(bào)錯(cuò)。如果從屬表面施加了某些運(yùn)動(dòng)約束，這些約束也經(jīng)常會(huì)與接觸約束發(fā)生沖突，導(dǎo)致無法求解。

罰函數(shù)法雖然只能近似滿足不可侵入條件，界面上將有少量的相互貫入產(chǎn)生，但罰函數(shù)法本質(zhì)是在兩個(gè)表面的節(jié)點(diǎn)之間增加非線性彈簧，非線性彈簧的兩個(gè)端點(diǎn)實(shí)質(zhì)上并沒有主控和從屬的區(qū)分，所以罰函數(shù)法與各種剛性單元和各種運(yùn)動(dòng)約束條件可以兼容，最適合有復(fù)雜連接關(guān)系的模型。

王朋波，清華大學(xué)力學(xué)博士，汽車結(jié)構(gòu)CAE分析專家。重慶市科協(xié)成員、《計(jì)算機(jī)輔助工程》期刊審稿人、交通運(yùn)輸部項(xiàng)目評(píng)審專家。專業(yè)領(lǐng)域?yàn)檎嚻谀途?NVH/碰撞安全性能開發(fā)與仿真計(jì)算，車體結(jié)構(gòu)優(yōu)化與輕量化，CAE分析流程自動(dòng)化等。王朋波私人微信：poplewang。